查看“︁矢 (幾何)”︁的源代码

{{File2
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|1=300px|2=right|3=thumb|4=圓弧的矢、弦和半徑}}
[[圓弧]]的'''矢'''（sagitta，有時縮寫成'''sag'''<ref name="Shaneyfelt">{{cite web | title=德博士的 Notes About Circles, ज्य, & कोज्य: What in the world is a hacovercosine? | first=Ted V. | last=Shaneyfelt | publisher=[[University of Hawaii]] | location=Hilo, Hawaii | url=http://www2.hawaii.edu/~tvs/trig.html | access-date=2015-11-08 |url-status=live | archive-url=https://web.archive.org/web/20150919053929/http://www2.hawaii.edu/~tvs/trig.html | archive-date=2015-09-19}}</ref>）或'''弓形高'''<ref>{{cite web | url = https://tw.dictionary.search.yahoo.com/search?p=%E5%BC%93%E5%BD%A2%E9%AB%98 | title = 弓形高 | publisher = Yahoo奇摩字典 | access-date = 2023-12-28 | archive-date = 2023-12-28 | archive-url = https://web.archive.org/web/20231228100711/https://tw.dictionary.search.yahoo.com/search?p=%E5%BC%93%E5%BD%A2%E9%AB%98 | dead-url = no }}</ref>是指該[[圓弧]]對應的[[弦 (幾何)|弦]]之中點到[[弧]]之中點的距離<ref name="Woodward_1978">{{cite book | title=Geometry - Plane, Solid & Analytic Problem Solver | author-first=Ernest | author-last=Woodward<!-- professor of mathematics at Austin Peay State University, Clarkesville, Tennessee, USA, not to be confused with (Ernest) [[Llewellyn Woodward]] --> | series=Problem Solvers Solution Guides | publisher=[[Research & Education Association]] (REA) | year=December 1978 | isbn=978-0-87891-510-1 | page=359 | url=https://books.google.com/books?id=4iNvcGB3M9sC&pg=PA359}}</ref>。
在建築學中，矢廣泛用於計算跨越一定高度和距離所需的弧度，並且在光學中用於評估球面鏡或透鏡的厚度。矢的英文sagitta來自拉丁文sagitta意思是「箭」。

三角函數的[[正矢函數]]正是得名於'''矢'''<ref name="Brummelen_2013">{{cite book |author-first=Glen Robert |author-last=van Brummelen |author-link=Glen Robert van Brummelen |title=Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry |date=2013 |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=9780691148922 |id=0691148929 |url=https://books.google.com/books?id=0BCCz8Sx5wkC&pg=PR7 |access-date=2015-11-10}}</ref><ref name="OED_Sagitta">{{OED|sagitta}}</ref>，在[[割圓八線]]中，矢對應到[[正矢]]。

矢與弓形高是相似的概念，差別僅在矢專指一個弧中點到弧兩端連線之中點的那條線，而弓形高是弓形的高。矢與弧相關，而弓形高與弓形相關。

== 公式 ==
在下列等式中，<math>s</math>代表矢（弓形高），<math>r</math>為圓的半徑，<math>l</math>為圓弧兩端點的距離，也就是弦長。其中半弦<math>\tfrac12l</math>和弓心距<math>r - s</math>正好是直角三角形的兩條邊，半徑<math>r</math>剛好是其斜邊，根據勾股定理則有：
: <math>r^2 = \left(\tfrac12l\right)^2 + \left(r-s\right)^2.</math>
由此可以推導出矢<math>s</math>、弦<math>l</math>和半徑<math>r</math>的關係式：
: <math>\begin{align}
s &= r - \sqrt{r^2 - \tfrac14l^2}, \\[10mu]
l &= 2\sqrt{2rs - s^2}, \\[5px]
r &= \frac{s^2 + \tfrac14l^2}{2s} = \frac{s}{2}+\frac{l^2}{8s}.
\end{align}</math>
矢也可以透過[[正矢]]函數來計算出來。若圓弧對應的圓心角為{{math|Δ}}，令{{math|Δ {{=}} 2''θ''}}，則矢為：
: <math>s = r \operatorname{versin}\theta = r\left(1-\cos\theta\right) = 2r\sin^2\frac\theta 2.</math>

== 近似值 ==
當矢相對於半徑很小時，可以使用以下公式來近似計算<ref name="Woodward_1978"/>：
:<math>s\approx \frac{l^2}{8r}.</math>
或者，如果矢長（弓形高）很小，且已知矢長、半徑和弦長，則可以透過以下公式來估計計弧長：
:<math>a\approx l+\frac{2 s^2}{r}\approx l+\frac{8 s^2}{3 l},</math>
其中，{{mvar|a}}是[[弧長]]。這個公式為中國數學家[[沈括]]所知，兩個世紀後，[[郭守敬]]提出了一個更準確的公式。<ref name="Needham_1959">{{cite book |title=Science and Civilisation in China: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth | first=Noel Joseph Terence Montgomery |last=Needham |author-link=Noel Joseph Terence Montgomery Needham |publisher=[[Cambridge University Press]] |year=1959 |volume=3 |isbn=9780521058018 |page=39 |url=https://books.google.com/books?id=jfQ9E0u4pLAC&pg=PA39}}</ref>

== 參見 ==
*[[弦 (幾何)]]
*[[弧]]
*[[弓形]]

== 參考文獻 ==
{{Reflist}}

[[Category:几何量测量]]