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{{NoteTA|1=zh:傅里叶; zh-hans:傅里叶; zh-hant:傅立葉;}}
在[[信號處理]]中，觀察信號的'''瞬時頻率'''是很重要的課題。假設一实信號&nbsp;<math>x(t)\,</math>&nbsp;可寫成指數信號的N項相加(有無穷多種表示法，以&nbsp;<math>N\,</math>&nbsp;小的為宜)，即<br />
<math>x(t)=\sum_{k=1}^N a_k \cdot e^{j \cdot \phi_k(t)}</math>， 其中&nbsp;<math>a_k\,</math>&nbsp;為虚常數。
<br />則'''瞬時頻率'''(以頻率表示)<math>f_k(t)= \frac{\phi_k^\prime (t)} {2 \pi}</math>，  k=1,...,N

== 瞬時頻率 <span style="font-size:smaller;">(Hz)</span> ==
<br />以頻率來表示(單位為[[赫茲]])：
<math>f_k(t)= \frac{\phi_k^\prime (t)} {2 \pi}</math>，  k=1,...,N
== 瞬時頻率 <span style="font-size:smaller;">(rad/s)</span> ==
<br />以[[角頻率]]來表示(單位為弧度每秒)：
<math>f_k(t)= \phi_k^\prime (t)</math>，  k=1,...,N
== 以解析訊號法定義瞬時頻率 ==
直觀上，瞬時頻率為相位的微分。對於自然界中的實數訊號，如何定義訊號的相位。Gabor提出解析訊號法(Analytic Signal Method)，將實數訊號表示為對應的複數訊號，即可定義複數訊號的大小與相位，將實數訊號的瞬時頻率求出。
實數訊號<math>s \left( t\right )</math>的解析訊號(Analytic Signal)<math>z \left( t\right )</math>定義為
[[File:極座標表示.PNG|thumb|300px|解析函數的極座標表示]][[File:瞬間相位.png|thumb|300px|瞬時相位]][[File:瞬間頻率.png|thumb|300px|瞬時頻率]]
:<math>
z(t) = s(t)+\frac{j}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{s(\tau)}{t-\tau}\, d\tau.\, </math>
其中虛數項為實數訊號<math>s \left( t\right )</math>的[[希爾伯特轉換]](Hilbert Transform)，將它定義為<math>\widehat{s}\left( t\right )</math>。稱作解析函數的理由是，此型式的複數函數滿足柯西-里曼(Cauchy-Riemann)的可微分條件，稱之為解析函數(Analytic Function)。因此，解析訊號<math>z \left( t\right )</math>可以表示為
:<math>z(t) = s(t) + j \widehat{s}\left( t\right )=m(t)\cdot e^{j\theta(t)}\, </math>
其中
:<math>m(t)=\sqrt{s^2(t)+\widehat{s}^2(t)}</math> ; <math> \theta(t)=\arctan\left({\widehat s(t) \over s(t)}\right)\,</math>
如果<math>s \left( t\right )</math>是沒有任何限制條件的時間訊號，計算出來的瞬時頻率可能不是正確的結果。對於平均值為零的局部對稱訊號而言，前述定義的瞬時頻率才具有物理意義。在1998年，[[黃鍔]](Norden E. Huang)博士提出一個有效的演算法，將訊號先行分解成具有局部對稱之分量，以正確地求得資料的瞬時頻率。這個方法稱為[[希爾伯特-黃轉換]](Hilbert Huang Transform, HHT)。
:
以下簡單的例子來說明，對於平均值為零的訊號，此瞬時頻率的定義才具有物理意義。對於一個弦波訊號<math>s \left( t\right )</math>，
:<math>s \left( t\right ) = \beta+\cos{(t)} </math>
考慮三種情況: (1) <math> \beta=0 </math> (2) <math> 0<\beta<1 </math> (3) <math> \beta>1 </math>
:
(1) <math> \beta=0 </math>: 當弦波訊號平均值為零時，<math>z \left( t\right )</math>在複數平面上的描述是以座標原點為中心的單位圓，它的相位角<math>\theta(t)</math>則是以座標原點為中心，[[反時針方向]]呈線性遞增，其圖形為斜率1的直線，而瞬時頻率是一個常數值。
:
(2) <math> 0<\beta<1 </math>: <math>z \left( t\right )</math>在複數平面上仍然是一個單位圓，但其圓心從原點偏移了<math> \beta </math>個單位，其相角<math>\theta(t)</math>不再呈現線性遞增，瞬時頻率出現震盪的現象，而不是應有的常數值。
:
(3) <math> \beta>1 </math>: 因為<math> \beta </math>值超過單位圓的半徑，因此<math>z \left( t\right )</math>的圓心在單位圓之外。如此相位角<math>\theta(t)</math>在[''<math>-\pi</math>/<math>2</math>'', ''<math>\pi</math>/<math>2</math>'']震盪，瞬時頻率出現負值，與原訊號的特性有極大的差別。

== 觀察瞬時頻率的重要性 ==
因為在目前許多[[數位信號處理]]的應用上都與信號的頻譜或信號的頻寬有很大的關係。<br />若能確實地偵測信號的瞬時頻率，則通道頻寬可以被可適性(adaptive)的決定，如此一來能更有效地利用系統資源，提高系統效能。
=== 相關應用 ===
*調變(modulation)
*多工方式(multiplexing)
*濾波器的設計(filter design)
*信號壓縮(data compression)
*信號分析(signal analysis)
*信號辨識(signal identification)
*語音信號處理(acoustical signal processing)
*製作系統的模型(system modling)
*雷達系統的分析(rader system analysis)
*取樣(sampling)
== 如何觀察信號的瞬時頻率 ==
=== 瞬時頻率為常數－使用[[傅立葉變換]] ===
當瞬時頻率為常數即&nbsp;<math> \phi(t)\,</math>&nbsp;為一階時間函數，使用[[傅立葉變換]]做信號分析。<br />由於從[[傅立葉變換]]中是無法觀察出信號頻譜隨著時間改變的變化。<br />故只有當瞬時頻率為常數，不是時間的函數時，便可使用[[傅立葉變換]]做信號分析。
=== 瞬時頻率不為常數－使用[[時頻分析]] ===
當瞬時頻率不為常數即&nbsp;<math> \phi(t)\,</math>&nbsp;為高階時間函數，使用[[時頻分析]]做信號分析。<br />從[[時頻分析]]可觀察出信號頻率隨著時間變化的改，這是[[傅立葉變換]]無法做到的。<br />因此當瞬時頻率為時間的函數，使用[[時頻分析]]做信號分析，如下圖，可以確切地觀察到信號瞬時頻率的變化。<br />'''<math>x(t)=\begin{cases} cos(\pi t) \ \ \ t\le10 \\ cos(3\pi t)\ \ \ 10<t\le20 \ \ \  \\ cos(2\pi t) \ \ \ t>20 \end{cases}</math>'''
=== 解析訊號法 ===
==== 信號為單一的sinusoid曲線－使用希爾伯特轉換 (Hilbert Transform) ====
當信號只有一個成分，且曲線是周期性的，具有固定的振幅、頻率和相，可以使用希爾伯特轉換，計算信號的相位求瞬時頻率。
:瞬時頻率<math> \, =\frac{1}{2\pi} \frac{d}{dt} \theta, \quad \theta = tan^{-1}\frac{x_H(t)}{x_(t)}</math>

:<math>x_H(t) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x(\tau)}{t-\tau}d\tau \, </math>

舉例:
:<math>cos(2\pi ft)\;\xrightarrow{Hilbert} \; sin(2\pi ft) </math>
:<math>\theta =  tan^{-1}(tan(2\pi ft))=2\pi ft </math>
:<math>\frac{1}{2\pi} \frac{d}{dt} \theta =f</math>

==== 信號為多個成分的非sinusoid曲線－使用希爾伯特-黃轉換 (Hilbert Huang Transform) ====
當信號為複數函數、非sinusoid曲線、有多個成分或<math>\theta </math>有多個解，此時可以先將信號分成sinusoid-like成分和趨勢，再運用Hilbert transform或短時距傅立葉變換 (STFT) 求零交叉的數量。

:1. 使用經驗模態分解 (EMD) 將信號分解為一系列本徵模態函數 (IMFs）的振蕩模態和趨勢
:2. 對每個IMF算瞬時頻率:
::*使用Hilbert transform
::*計算STFT，瞬時頻率 = <math>\frac{\text{number of zero-crossings between} \; t-B \; \text{and} \; t+B}{4B} </math>
::*直接計算零交叉，零交叉 = <math>\frac{\text{number of periods}}{2} </math>


== 同時參閱 ==
*[[信號處理]]
*[[傅立葉變換]] 
*[[時頻分析]]
== 參考資料 ==

*Jian-Jiun Ding, class lecture of Time Frequency Analysis and Wavelet transform, Graduate Institute of Communication Engineering, National Taiwan University, Taipei, Taiwan, 2007.
* Leon Coen, Time-Frequency Analysis, Prentice Hall, 1995.
* 陳韋佑, "以希爾伯特-黃轉換法為GPS接收機抑制調頻干擾", 國立台灣大學電機工程研究所碩士論文, 2007.

[[Category:信號處理|S]]
[[Category:數位信號處理|S]]