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{{Expand|time=2013-02-14T04:49:29+00:00 }}
選擇一個正整數<math>k</math>作為一個數列的開首，數列的之後的項都是上一項的[[真因子]]之和（因數函數<math>\sigma_1</math>），即：
* <math>s_0 = k</math>
* <math>s_n = \sigma_1(s_{n-1}) - s_{n-1}</math>

這樣組成的數列稱為'''真因子和數列'''（aliquot sequence）。

例如取10為首項，之後是<math>1+2+5=8, 1+2+4=7, 1=1</math>（任何質數的唯一真因子都是1，1沒有真因子）。

真因子和數列有幾種可能的發展方式：

* 在1結束：好像上面的10、任何[[質數]]、18（<math>18, 1+2+3+6+9=21, 1+3+7 = 11, 1</math>） ……（[[OEIS:A080907]]）
* 循環不斷：對於完全數、相親數、[[相親數鏈]]的成員，真因子和數列是循環的。如果有些數本身並不屬於上述提到那類數，卻因為數項中有些項的真因子之和屬於那類數，而有循環的真因子和數列，它們稱為aspiring numbers（[[OEIS:A063769]]）。譬如：
*# 完美數<math>28=1+2+4+7+14</math>：28, 28, 28...
*# 四環相親數鏈的成員1264460：1264460, 1547860, 1727636, 1305184, 1264460, ....
*# aspiring number 95：95, 25, 6, 6, 6,
* 不循環地一直延續下去：19世紀數學家[[歐仁·查理·卡塔蘭]]猜想任何真因子和數列都是按上面兩種方式延續下去，但人們不但未能證明或推翻這個猜想，而且不能確定一些整數的真因子和數列。在1至1000之間，便有五個這樣的數，它們稱為Lehmer Five —— 276, 552, 564, 660, 966。截止2007年7月，1至10<sup>5</sup>間有909個這樣的數，1至10<sup>6</sup>間有9466個。

== 外部連結 ==
* [http://www.aliquot.de/aliquote.htm Aliquot Pages] {{Wayback|url=http://www.aliquot.de/aliquote.htm |date=20201224024021 }}
* [https://web.archive.org/web/20070808214834/http://amicable.homepage.dk/ Tables of Aliquot Cycles]

[[Category:數論]]