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在[[数学分析]]， 特别是[[凸分析]]与[[最优化]]中， 凸函数 '''f''' 在[[扩展实数线]]上的取值若满足存在 ''x'' 使得

:<math>f(x) < +\infty</math>

同时对所有 ''x'' 满足

:<math>f(x) > -\infty</math>

称被称作'''真凸函数'''。 这意味着，若凸函数为“真”， 则其[[有效域]]非空，值不为 <math>-\infty</math>.<ref name="AB">{{cite book|last1=Aliprantis|first1=C.D.|last2=Border|first2=K.C.|title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|edition=3|publisher=Springer|year=2007|isbn=978-3-540-32696-0|doi=10.1007/3-540-29587-9|page=254}}</ref>。

不满足真条件的凸函数被称作“非真凸函数”。<ref>{{cite book|author=[[Rockafellar, R. Tyrrell]]|title=Convex Analysis|url=https://archive.org/details/convexanalysis00rock|publisher=Princeton University Press|location=Princeton, NJ|year=1997|origyear=1970|isbn=978-0-691-01586-6|page=[https://archive.org/details/convexanalysis00rock/page/24 24]}}</ref>

若函数 ''g'' 的负函数 <math>f = -g</math> 为真凸函数， 则 ''g'' 为“真凹函数”。

== 性质 ==

对于'''R'''<sup>n</sup> 上任意真凸函数''f''， 存在'''R'''<sup>n</sup>上的 ''b'' 与实数 β， 使得所有 ''x''满足
:<math>f(x) \ge x \cdot b - \beta</math>

两个真凸函数的和未必保持真与凸的性质。举例来说， 假设集合 <math>A \subset X</math> 与 <math>B \subset X</math> 均为[[向量空间]] ''X'' 上的非空 [[凸集]]， 那么[[Characteristic function (convex analysis)|特征函数]] <math>I_A</math> 和 <math>I_B</math> 为真凸函数， 但是当 <math>A \cap B = \emptyset</math> 时， <math>I_A + I_B</math> 始终等于 <math>+\infty</math>.

两个真凸函数的[[infimal convolute|卷积下确界]]为凸函数， 但未必是真凸。<ref>{{citation|title=Theory of extremal problems|volume=6|series=Studies in Mathematics and its Applications|first1=Aleksandr Davidovich|last1=Ioffe|first2=Vladimir Mikhaĭlovich|last2=Tikhomirov|publisher=North-Holland|year=2009|isbn=9780080875279|page=168|url=http://books.google.com/books?id=iDRVxznSxUsC&pg=PA168}}.</ref>

== 参考文献 ==
{{Reflist}}

[[Category:凸分析]]
[[Category:函数]]