查看“︁相等”︁的源代码

{{NoteTA
|G1=Math
|1=zh-cn:數學對象;zh-tw:數學物件;
}}
在[[數學]]的領域中，若兩個[[数学对象]]在各个方面都相同，则称他们是'''相等的'''。这就定义了一个[[二元谓词]]'''等于'''，写作“<math>=</math>”；<math>x=y</math>[[当且仅当]]<math>x</math>和<math>y</math>相等。通常意义上，等于是通过两个元素间的[[等价关系]]来构造的。将两个[[表达式]]用等于符号连起来，就构成了'''等式'''，例如<math>6-2=4</math>，即<math>6-2</math>與<math>4</math>是相等的。

注意，有些时候“<math>A=B</math>”并不表示等式。例如，<math>T(n)=O(n^2)</math>表示在数量级<math>n^2</math>上渐进。因為这裡的符号“<math>=</math>”不滿足[[若且唯若]]的定義，所以它不等於等于符号；实际上，<math>O(n^2)=T(n)</math>是没有意义的。请参见[[大O符号]]了解这部分内容。

[[File:Equality.svg|right|等价二元关系的表格]]

集合<math>A</math>上的等于关系是种[[二元关系]]，满足[[自反性]]，[[对称性]]，[[反对称性]]和[[传递性]]。
实际上，这是''<math>A</math>'' 上唯一满足所有这些性质的关系。
去掉对反对称性的要求，就是[[等价关系]]。
相应的，给定任意等价关系<math>R</math>，可以构造[[商集]]<math>A/R</math>，并且这个等价关系将‘下降为’<math>A/R</math>上的等于。

在任何条件下都成立的等式称为[[恒等式]]，包含未知数的等式称为[[方程式]]。

== 邏輯形式 ==
[[謂詞邏輯]]含有標準的關於相等的[[公理]]來形式化[[萊布尼茨律]]。萊布尼茨律是由[[哲學家]][[萊布尼茨]]在17世紀提出來的。
萊布尼茨的想法是，兩樣物體是[[同一性|同一的]]，當且僅當它們有完全相同的[[性質]]。
形式化這一說法，可以寫成
:對[[任意]]<math>x</math>和''<math>y</math>''，<math>x=y</math>[[當且僅當]]對任意[[謂詞]]<math>P</math> ，<math>P(x)</math>當且僅當<math>P(y)</math>。
然而，在[[一階邏輯]]中，不能對謂詞進行量化。因此，需要使用下述[[公理]]：
:對任意<math>x</math>和''<math>y</math>''，若<math>x</math>等於''<math>y</math>''，則<math>P(x)</math>當且僅當<math>P(y)</math>。

這條公理對任意單[[變量]]的謂詞<math>P</math>都有效，但只定義了萊布尼茨律的一個方向：若<math>x</math>和''<math>y</math>''相等，則它們具有相同的性質。
可以通過簡單的假設來定義萊布尼茨律的另一個方向：

:對任意''<math>x</math>''，<math>x</math>等於''<math>x</math>''。

則若<math>x</math>和''<math>y</math>''具有相同的性質，則特定的它們關於謂詞<math>P</math>是相同的。這裡謂詞<math>P</math>為：<math>P(z)</math>當且僅當<math>x=z</math>。
由於<math>P(x)</math>成立，<math>P(y)</math>必定也成立（相同的性質），所以<math>x=y</math>（' '<math>P</math>''的變量為<math>y</math>）.''

== 等于的一些基本性质 ==
=== 替代性 ===
{{Seealso|等量公理}}
对任意量<math>a</math>和<math>b</math>和任意表达式<math>F(x)</math>，若<math>a = b</math>，则<math>F(a) = F(b)</math>（设等式两边都有意义）。
在[[一阶逻辑]]中，不能量化像<math>F</math>这样的表达式（它可能是个[[函数谓词]]）。
一些例子：
* 对任意[[实数]]<math>a, b, c</math>，若<math>a = b</math>，则<math>a + c = b + c</math>（这里<math>F(x)</math>为<math>x + c</math>）
* 对任意实数<math>a, b, c</math>，若<math>a = b</math>，则<math>a - c = b - c</math>（这里<math>F(x)</math>为<math>x - c</math>）
* 对任意实数<math>a, b, c</math>，若<math>a = b</math>，则<math>ac = bc</math>（这里<math>F(x)</math>为<math>xc</math>）
* 对任意实数<math>a, b, c</math>，若<math>a = b</math>且<math>c \ne 0</math>，则<math>a / c = b / c</math>（这里<math>F(x)</math>为<math>x / c</math>）

=== 自反性 ===
对任意量<math>a</math>，<math>a=a</math>。

这个性质通常在[[数学证明]]中作为中间步骤。

=== 对称性 ===
例子：如果<math>a=b</math>，那么<math>b=a</math>

=== 传递性 ===
例子：如果<math>a=b</math>，<math>b=c</math>，那么<math>a=c</math>

[[实数]]或其他对象上的[[二元关系]]“[[近似|约等于]]”，即使进行精确定义，也不具有传递性（即使看上去有，但许多小的[[差]]能够叠加成非常大）。然而，在[[绝大多数]]情况下，等于''具有''传递性。

尽管对称性和传递性通常看上去是基本性质，但它们能够通过替代性和自反性证明得到。

== 符号的历史 ==
{{Main|等號}}
「'''等于'''」符号或 「'''<math>=</math>'''」被用来表示一些[[算术]]运算的结果，是由[[罗伯特·雷科德]]在1557年发明的。

由于觉得书写文字过于麻烦，雷科德在他的作品 ''The Whetstone of Witte'' 中采用了这一符号。原因是符号中的两条线一样长，表明其连接的两个量也相等。这一发明在[[威尔士]]的St Mary教堂有记录。

[[近似|约等于]]的符号是<math>\approx</math>或'''≒'''，[[不等于]]的符号是<math>\neq</math>。

==参见==
* [[等号]]

== 外部链接 ==
*[https://web.archive.org/web/19981205051406/http://members.aol.com/jeff570/relation.html 关系符号的早期使用（英文）]

[[Category:数学关系]]
[[Category:初等数学]]
[[Category:數理邏輯|D]]
[[Category:算术]]