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'''相平面'''（phase plane）是在[[应用数学]]（特別是[[非線性系統]]）中，視覺化的展示特定[[微分方程]]特徵的方式。相平面是一個由二個狀態變數為座標軸組成的平面，例如說(''x'', ''y'')或(''q'', ''p'')等。相平面是多維度[[相空間]]在[[二维空间]]中的例子。

'''相平面法'''（phase plane method）是指用繪圖的方式，來確認微分方程的解中是否存在[[極限環]]。

微分方程的解可以形成[[函数]]族。用繪圖的方式，可以畫在二維的相平面上，類似二維的[[向量場]]。向量會表示某一點對應特定參數（例如時間）的導數，也就是(''dx''/''dt'', ''dy''/''dt'')，會繪製在對應的點上，以箭頭表示。若有夠多的點，就可以分析此區域內的系統行為，若有極限環，也可以識別出來。

整個場即可形成[[相圖 (動態系統)|相圖]]，在流線上的特定路徑（一個永遠和向量相切的路徑）即為相路徑（phase path）。向量場上的相表示微分方程所說明的系統隨時間的演化。

相平面可以用來解析[[物理系统]]的行為，特別是振盪系統，例如{{le|獵食者-獵物模型|predator-prey model}}（可參考[[洛特卡－沃爾泰拉方程]]）。這些模型中的相路徑可能是向內旋轉，慢慢趨近0，也可能是向外旋轉，慢慢趨近無限大，或是接近中性的平衡位置，此情形稱為centre，路徑可能是圓形、橢圓或是其他形狀。在判斷其系統是否穩定時很有用<ref name="Jordan, Smith">{{cite book|title=Non-Linear Ordinary Differential Equations: Introduction for Scientists and Engineers|edition=4th|author1=D.W. Jordan |author2=P. Smith |publisher=Oxford University Press|year=2007|isbn=978-0-19-920825-8}}</ref>。

另一個振盪系統的例子是一些多步的化學反應，其中有些會有化學平衡，不是完全反應。此情形下可以將反應物及生成物濃度（或質量）的變化利用微分方程來建模，可以對其[[化学动力学]]有更清楚的瞭解<ref>{{cite book|title=Chaos: An Introduction to Dynamical Systems|url=https://archive.org/details/chaosintroductio0000alli|author1=K.T. Alligood |author2=T.D. Sauer |author3=J.A. Yorke |publisher=Springer|year=1996|isbn=978-0-38794-677-1}}</ref>。

==線性系統的例子==
二維的[[线性微分方程]]系統可以寫成以下的形式<ref name="Jordan, Smith"/>：

:<math> \begin{align}
\frac{dx}{dt} & = Ax + By \\
\frac{dy}{dt} & = Cx + Dy 
\end{align}</math>

可以整理為[[矩阵]]方程式：

:<math> \begin{align}
& \frac{d}{dt} \begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
A & B \\
C & D \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
\end{pmatrix} \\

& \frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{A}\mathbf{x}.

\end{align}</math>

其中'''A'''是2 × 2的{{link-en|係數矩陣|coefficient matrix}}，而'''x''' = (''x'', ''y'')是二個自變量組成的{{link-en|座標向量|coordinate vector}}。

此系統可以解析求解，例如積分下式<ref>{{cite book|title=Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems|url=https://archive.org/details/elementarydiffer4th00boyc|url-access=registration|edition=4th|author1=W.E. Boyce |author2=R.C. Diprima |publisher=John Wiley & Sons|year=1986|isbn=0-471-83824-1}}</ref>：

<math>\frac{dy}{dx} = \frac{Cx+Dy}{Ax+By}</math>

不過此解是''x''和''y''的[[隐函数]]，也不容易詮釋<ref name="Jordan, Smith"/>。

===用特徵值求解===
上述方程常見的解法是用右邊矩陣型式的係數，利用[[特徵值]]<math>\lambda</math>求解，利用以下的[[行列式]]求得：

:<math>\det(\mathbf{A}- \lambda \mathbf{I})=0</math>

以及以下的特徵向量

:<math> \mathbf{A}\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}</math>

特徵值表示指數項的幂次，而特徵向量為其係數。若將解寫成代數型式，可以表示為幾個指數項配合對應係數的和。因為特徵向量的唯一性，每一個此方式得到的解會有待確定的係數''c''<sub>1</sub>, ''c''<sub>2</sub>, ... ''c<sub>n</sub>''.

通解為：

:<math>x = \begin{bmatrix} k_{1} \\ k_{2} \end{bmatrix} c_{1}e^{\lambda_1 t} + \begin{bmatrix} k_{3} \\ k_{4} \end{bmatrix} c_{2}e^{\lambda_2 t}. </math>

其中λ<sub>1</sub>和λ<sub>2</sub>是特徵值，而(k<sub>1</sub>, k<sub>2</sub>), (k<sub>3</sub>, k<sub>4</sub>)是基礎特徵向量。係數''c''<sub>1</sub>和''c''<sub>2</sub>和特徵向量的唯一性有關，只有在初始條件已知時才能求解。

上述行列式可以得到以下的[[特徵多項式]]：

:<math>\lambda^2 - (A+D)\lambda + (AD-BC)=0</math>

是以下型式的[[一元二次方程]]：

:<math>\lambda^2 - p\lambda + q=0</math>

其中;

::<math>p = A+D = \mathrm{tr}(\mathbf{A}) \,,</math>
（"tr"表示矩陣的[[跡]]）以及
::<math>q=AD-BC=\det(\mathbf{A})\,.</math>

特徵值的顯式解可以由求得[[二次方程]]而得：

:<math>\lambda = \frac{1}{2}(p\pm \sqrt{\Delta})\,</math>

其中

::<math>\Delta=p^2-4q \,.</math>

===特徵向量及節點===
特徵向量及[[節點 (自治系統)|節點]]會決定相路徑的輪廓，可以用圖像來描繪動態系統的解，如下所述：

[[File:Phase plane nodes.svg|thumb|300px|[[线性微分方程|线性]][[自治系统 (数学)|自治系统]]平衡點的分類<ref name="Jordan, Smith"/>。若是非線性自治系统，進行線性化近似後也會有類似的分類]]

要畫相平面時，會先畫對應二個特徵向量的直線（表示系統既不趨近直線，也不遠離直線的穩定條件）。之後相平面就會用有箭頭的實線代替有向量場上每點的箭頭。特徵值的正負號會影響的相平面的特點：

*若二個符號一正一負，特徵向量的交點為[[鞍點]]。
*若二個符號都為正，表示系統會遠離特徵向量，交點是不穩定[[節點 (自治系統)|節點]]。
*若二個符號都為負，表示系統會趨向特徵向量，交點是穩定節點。

以上說明可以用微分方程解中指數解的行為來理解。

===重覆的特徵值===
若是二個特徵值為相同的實數，會需要透過一個未知的向量以及第一個特徵向量來求解係數矩陣，產生第二個解。不過若系統對應，也可以用正交的特徵向量來產生第二個解。

===有虛部的特徵值===
有虛部的複數特徵值，表示其解包括有[[正弦]]及餘弦函數（可以表示為幂次為複數的次數）。此情形比較簡單，只需要一個特徵值以及一個特徵向量就可以產生系統的完整解。

==相關條目==
*{{link-en|相線 (數學)|Phase line (mathematics)|相線}}，一維的例子
*[[相空間]]，''n''維下的例子
*[[相圖 (動態系統)]]

==參考資料==
{{reflist}}

==外部連結==
*[http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/phaseplane.aspx Lamar University, Online Math Notes - ''Phase Plane'', P. Dawkins] {{Wayback|url=http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/phaseplane.aspx |date=20210414232829 }}
*[http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/systemsde.aspx Lamar University, Online Math Notes - ''Systems of Differential Equations'', P. Dawkins] {{Wayback|url=http://tutorial.math.lamar.edu/classes/de/systemsde.aspx |date=20210429035300 }}
*[https://web.archive.org/web/20110927183123/http://virtual.cvut.cz/dynlabmodules/ihtml/dynlabmodules/nonlin/node8.html Overview of the phase plane method]

[[Category:非線性控制]]
[[Category:常微分方程]]