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{{NoteTA
|G1=物理學
}}
{{dablink|關於原本在[[牛頓力學]]中的同一物理量，參閱[[角動量]]。}}
'''相對論角動量'''是[[角動量]]在[[狹義相對論]]與[[廣義相對論]]中的數學形式與物理概念，其與傳統在[[古典力學]]中的（三維）角動量有些許差異 (GR)。

角動量是由[[位置]]與[[動量]]衍生出的[[物理量]]，其為一物體「轉動程度」的測度，也反映出對於停止轉動的阻抗性。此外，如同[[動量守恆]]對應到平移對稱性，角動量守恆對應旋轉對稱性——[[諾特定理]]將對稱性與守恆律聯結起來。這些觀念在古典力學中即相當重要，而在狹義與廣義相對論中亦佔有重要角色。透過[[抽象代數]]中的[[龐加萊群]]、[[勞侖茲群]]可描述角動量、[[四維動量]]以及其他時空中的對稱的不變性。

在古典物理中不同類別的物理量，透過[[相對性原理]]在狹義與廣義相對論中自然的統合：比如時間與空間結合為[[四維位置]]，[[能量]]與動量結合為[[四維動量]]。這些[[四維向量]]與所使用的[[參考系]]相依，參考系之間的變換關係由[[勞侖茲變換]]來聯繫。相對論角動量的關係式則不那麼明顯…古典力學中的角動量定義為位置'''x'''與動量'''p'''的[[叉積]]，產生了一個[[贗向量]]'''x'''×'''p'''；其亦可透過[[外積]]產生一個二階[[反對稱張量]]'''x'''&and;'''p'''。

上述提到自然統合，在角動量的情形為何呢？在此有一不常提及的向量——時變質量矩（{{lang-en|time-varying moment of mass}}），其非[[慣性矩]]，而是與[[質心]]的相對速度有關。時變質量矩與古典力學的角動量一起形成一個二階反對稱張量。對於旋轉的[[質能]]分佈（比如[[陀螺儀]]、[[行星]]、[[恆星]]、[[黑洞]]等），角動量張量與旋轉物體的[[應力-能量張量]]有關。

在狹義相對論情形，在自轉物體的[[靜止系]]中有一內稟角動量，類似於[[量子力學]]中的自旋，差別在於本篇談論對象是巨觀物體，而量子力學的自旋粒子是點粒子不可分割。[[相對論量子力學]]中，自旋角動量算符與軌道角動量算符加總為總[[角動量算符]]，為一張量[[算符]]。通例上，這樣的加總關係可以{{link-en|包立—盧班斯基贗向量|Pauli–Lubanski pseudovector}}來描述。<ref>{{cite book|title=Geometry and quantum field theory|edition=2nd|author=D.S.A. Freed, K.K.A. Uhlenbeck|publisher=American Mathematical Society|location=Institute For Advanced Study (Princeton, N.J.)|isbn=0-821-886-835|url=http://books.google.co.uk/books?id=Hs4uGmcLkmIC&pg=PA203&dq=angular+momentum+in+special+relativity&hl=en&sa=X&ei=F92pUc_6Jeiw0QXf04GgDg&ved=0CD0Q6AEwAjgU#v=onepage&q=angular%20momentum%20in%20special%20relativity&f=false|access-date=2015-04-09|archive-date=2015-04-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20150422195605/http://books.google.co.uk/books?id=Hs4uGmcLkmIC&pg=PA203&dq=angular+momentum+in+special+relativity&hl=en&sa=X&ei=F92pUc_6Jeiw0QXf04GgDg&ved=0CD0Q6AEwAjgU#v=onepage&q=angular%20momentum%20in%20special%20relativity&f=false|dead-url=no}}</ref>

== 狹義相對論 ==
[[File:Angular momentum bivector and pseudovector.svg|275px|thumb|一粒子具有質量''m''及瞬時三維位置'''x'''、瞬時三維動量'''p'''。其三維角動量，為一[[二重向量]]（平面單元（plane element））及[[軸向量]]。]]

===軌道三維角動量===
角動量的古典力學定義可沿用在狹義相對論與廣義相對論，但需做一些調整。

====叉積定義：贗向量====
古典力學中，一粒子的軌道角動量是由其瞬時三維位置向量'''x''' = (''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, ''x''<sub>3</sub>) = (''x'', ''y'', ''z'')與動量向量'''p''' = (''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, ''p''<sub>3</sub>) = (''p<sub>x</sub>'', ''p<sub>y</sub>'', ''p<sub>z</sub>'')以[[叉積]]來定義的，其結果為一[[軸向量]]：
:<math>\mathbf{L} = \mathbf{x}\times \mathbf{p}</math>

其三個分量為：
:<math>L_3 = x_1 p_2 - x_2 p_1</math>
:<math>L_1 = x_2 p_3 - x_3 p_2</math>
:<math>L_2 = x_3 p_1 - x_1 p_3\,.</math>

這個物理量可以加成。對孤立系統而言，總角動量是守恆的。然而這項定義只可用在三維空間——叉積定義出一個軸向量，垂直於由'''x'''與'''p'''所架構出的平面。在四維的情形，不僅只一個軸可以垂直此二維平面，實際上有兩個軸。

====楔積定義：反對稱張量====
另一種定義將軌道角動量視為一個平面單元（plane element）。將叉積改成[[外代數]]中的[[楔積]]，角動量則變為[[逆變]]二階反對稱張量：<ref name="Penrose p433">{{cite book |author=[[羅傑·潘洛斯]]| title=[[The Road to Reality]]| publisher= Vintage books|pages=433| year=2005 | isbn=978-00994-40680}} 潘洛斯在[[楔積]]使用了2的因子，其他作者可能沿用。</ref>

:<math>\mathbf{L}=\mathbf{x}\wedge\mathbf{p}</math>

其分量為：
:<math>L^{ij} = x^i p^j - x^j p^i = 2 x^{[i} p^{j]}</math>

指標''i''跟''j''的值為1、2、3。這些分量組合成一個3 × 3反對稱矩陣：
:<math>\begin{align}
\mathbf{L} & = \begin{pmatrix}
L^{11} & L^{12} & L^{13} \\
L^{21} & L^{22} & L^{23} \\
L^{31} & L^{32} & L^{33} \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & L_{xy} & L_{xz} \\
L_{yx} & 0 & L_{yz} \\
L_{zx} & L_{zy} & 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
0 & L_{xy} & -L_{zx} \\
-L_{xy} & 0 & L_{yz} \\
L_{zx} & -L_{yz} & 0
\end{pmatrix} \\
& =\begin{pmatrix}
0 & xp_y - yp_x & -(zp_x - xp_z) \\
-(xp_y - yp_x) & 0 & yp_z - zp_y \\
zp_x - xp_z & -(yp_z - zp_y) & 0
\end{pmatrix}
\end{align}</math>

== 相關條目 ==
* [[角動量]]
* [[角動量算符]]
* [[相對論]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

{{相對論}}

[[Category:角動量]]
[[Category:相對論]]