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{{DISPLAYTITLE:子空間拓樸}}

在[[拓撲學]]和[[數學]]的其他相關領域裡，[[拓扑空间|拓撲空間]] <math>X</math> 的'''子空間'''是指在 <math>X</math> 中[[子集]] <math>S</math> 及在 <math>S</math> 上賦予的由 <math>X</math> 的拓撲所導出的拓撲。這個導出的拓撲叫做 <math>X</math> 的拓撲在 <math>S</math> 上的'''子空間拓撲'''，也稱為'''相對拓撲'''。導出方式參見 [[#定義]]。

== 定義 ==

給定拓撲空間 <math>(X,\tau)</math> 和 <math>X</math> 內的[[子集]] <math>S</math>，於 <math>S</math> 上的'''子空間拓撲'''被定義爲
:<math>\tau_S = \lbrace S \cap U \mid U \in \tau \rbrace.</math>
亦即，<math>S</math> 的子集於子空間拓撲中為開集[[若且唯若]]其爲 <math>S</math> 和一於 <math>(X,\tau)</math> 內的[[开集|開集]]的[[交集]]。若 <math>S</math> 被設上子空間拓撲，則其本身即為一拓撲空間，並被稱之爲 <math>(X,\tau)</math> 的'''子空間'''。除非有額外敘述，一般拓撲空間的子集都會假定設有一子空間拓撲。

若 <math>S</math> 爲 <math>(X,\tau)</math> 內的[[开集|開集]]、[[閉集]]或[[稠密集]]，則分別稱 <math>(S,\tau_S)</math> 爲 <math>(X,\tau)</math> 內的一'''開子空間'''、'''閉子空間'''或'''稠密子空間'''。

另外，也可以定義 <math>X</math> 內的子集 <math>S</math> 的子空間拓撲為會使得[[內含映射]]
:<math>\iota: S \hookrightarrow X</math>
為[[連續函數 (拓撲學)|連續]]的[[拓撲比較|最弱拓撲]]。

更一般地，設 <math>\iota</math> 爲一由集合 <math>S</math> 至拓撲空間 <math>X</math> 的[[单射|單射]]，則於 <math>S</math> 上的子空間拓撲即為定義爲 <math>\iota</math> 爲連續的最弱拓撲。此拓撲的開集恰好會是 <math>\iota^{-1}(U)</math> 的其中一個，其中的 <math>U</math> 爲 <math>X</math> 內的開集。<math>S</math> 因此[[同胚]]於在 <math>X</math> 內的值域（也是帶子空間拓撲），且 <math>\iota</math> 會被稱之為[[拓撲嵌入]]。

如果單射 <math>\iota</math> 是一個[[開映射和閉映射|開映射]]，那麼子空間 <math>S</math> 被稱為一個'''開子空間'''；同樣地，如果單射 <math>\iota</math> 是一個[[開映射和閉映射|閉映射]]，那麼子空間 <math>S</math> 被稱為一個'''閉子空間'''。

== 例子 ==

* 給定一具一般拓撲的[[實數]]，其[[自然數]]（實數的一子空間）的子空間拓撲會是一個[[離散空間|離散拓撲]]。
* [[有理數|有理數 <math>\mathbb{Q}</math>]] 做為一個 [[有理數|<math>\mathbb{R}</math>]] 的子空間，不帶有離散拓撲（[[有理數|<math>\{0\}</math>]] 在 [[有理數|<math>\mathbb{Q}</math>]] 內不是開集）。
* 令 [[有理數|''<math>S=[0,1)</math>'']] 為實線 [[有理數|'''<math>\mathbb{R}</math>''']] 的一子空間，則 [[有理數|<math>[0,\frac{1}{2})</math>]] 在 <math>S</math> 內為開集，但在 [[有理數|'''<math>\mathbb{R}</math>''']] 內則不是。相似地，[[有理數|''<math>[\frac{1}{2},1)</math>'']] 在 [[有理數|''<math>S</math>'']] 內為閉集，但在 [[有理數|'''<math>\mathbb{R}</math>''']] 內則不是。''<math>S</math>'' 為其自身的開子集和閉子集，但做為 [[有理數|'''<math>\mathbb{R}</math>''']] 的子集則兩者皆不是。

== 性質 ==
子空間拓樸具有以下特性。設 <math>Y</math> 是 <math>X</math> 的一個子空間且 <math>i:Y\to X</math> 是一個內含映射。對於任何拓樸空間 <math>Z</math>，<math>f:Z\to Y</math> 是[[连续映射 (拓扑学)|連續映射]]若且唯若合成映射 <math>i\circ f</math> 是連續的。
[[File:Subspace-01.png|居中]]
這個特性可以被用來定義 <math>Y</math> 上的子空間拓樸。我們列出一些更進一步的性質。設 <math>S</math> 是 <math>X</math> 的子空間拓樸。

* 如果 <math>f:X\to Y</math> 是連續的，那麼 <math>f</math> 到 <math>S</math> 的[[限制 (數學)|限制]]也是連續的。
* 如果 <math>f:X\to Y</math> 是連續的，那麼 <math>f:X\to f(X)</math> 也是連續的。
* <math>S</math> 中的閉集是，嚴謹地來說，<math>S</math> 與 <math>X</math> 中閉集的交集。
* 如果 <math>A</math> 是 <math>S</math> 的一個子空間，那麼 <math>A</math> 也是 <math>X</math> 的一個子空間。換言之，<math>A</math> 從 <math>S</math> 繼承的子空間拓樸與從 <math>X</math> 繼承的一樣。
* 假設 <math>S</math> 是 <math>X</math> 的一個開子空間（則 <math>S\in\tau</math>），那麼 <math>S</math> 的子集合在 <math>S</math> 中是開的若且唯若其在 <math>X</math> 中是開的。
* 假設 <math>S</math> 是 <math>X</math> 的一個閉子空間（則 <math>X\backslash S\in\tau</math>），那麼 <math>S</math> 的子集合在 <math>S</math> 中是閉的若且唯若其在 <math>X</math> 中是閉的。
* 如果 <math>B</math> 是 <math>X</math> 的基，那麼 <math>B_S=\{U\cap S:U\in B\}</math> 是 <math>S</math> 的基。
* 透過限制度量到一個子集，[[度量空间|度量空間]]上的[[導出拓撲|導出拓樸]]會導出對於這個子集的子空間拓樸。

== 拓樸不變量的保持 ==
如果一個拓樸空間的一些[[拓扑不变量|拓樸不變量]]能夠保證它們的子空間也有相同的性質，那麼我們稱這些性質具有'''可遺傳性'''。如果某些性質只有保證閉子空間才擁有，那我們稱這些性質具有'''弱遺傳性'''。

* 每個可完備度量化空間的開子空間與閉子空間是可完備度量化的。
* 每個貝爾空間的開子空間是貝爾空間。
* 每個[[紧空间|緊空間]]的閉子空間是緊緻的。
* [[豪斯多夫空间|豪斯多夫空間]]具有可遺傳性。
* [[正规空间|正規空間]]具有弱遺傳性。
* [[完全有界]]具有可遺傳性。
* [[完全不连通空间|完全不連通]]具有可遺傳性。
* [[第一可數空間|第一可數性]]與[[第二可數空間|第二可數性]]具有可遺傳性。

== 另見 ==

* [[商空間]] 
* [[積空間]]
* 直和拓撲
* [[诱导拓扑|誘導拓樸]] (induced topology)

== 參考文獻 ==
<div class="references-small">
* Bourbaki, Nicolas, ''Elements of Mathematics: General Topology'', Addison-Wesley (1966)
* Steen, Lynn A. and Seeback, J. Arthur Jr., ''[[Counterexamples in Topology]]'', Holt, Rinehart and Winston (1970) ISBN 0-03-079485-4.
* Wilard, Stephen. ''General Topology'', Dover Publications (2004) ISBN 0-486-43479-6
</div>

[[Category:拓撲學|Z]]
[[Category:點集拓撲學|Z]]
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