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{{noteTA
|G1=数学
}}
在[[泛代数]]和[[格理论]]中，'''相容关系'''（{{lang-en|tolerance relation}}）是指被[[代数结构]]的每个运算所保持的[[自反关系|自反]][[对称关系]]。是[[同余关系]]去掉[[传递关系|传递性]]的要求而得到的概念。

具体内容参考：左孝凌离散数学，石纯一数理逻辑与集合论，对“相容关系与覆盖”的再认识。注意，左孝凌和再认识一文对完全覆盖的定义是不同的，左文定义的完全覆盖和相容关系是一一对应的，而再认识一文定义的完全覆盖和相容关系不是一一对应的。

== 定义 ==
[[代数结构]]<math>(A,F)</math>上的'''相容关系'''通常定义为与<math>(A,F)</math>的所有运算都兼容的[[自反关系|自反]][[对称关系]]，也可视为满足某些条件的<math>A</math>的[[覆盖 (拓扑学)|覆盖]]。可以证明两个定义是相互等价的。[[代数结构]]<math>(A,F)</math>上的相容关系关于[[蕴涵]]构成[[代数格]]<math>\operatorname{Tolr}(A)</math>。每个[[同余关系]]是相容关系，因此同余关系格<math>\operatorname{Cong}(A)</math>是相容关系格<math>\operatorname{Tolr}(A)</math>的一个子集，但<math>\operatorname{Cong}(A)</math>不必是<math>\operatorname{Tolr}(A)</math>的子格。<ref name="ChajdaRadeleczki">{{cite journal|date=2014|doi=10.14232/actasm-012-861-x|first1=Ivan|first2=Sándor|issn=0001-6969|issue=3-4|journal=Acta Scientiarum Mathematicarum|language=en|last1=Chajda|last2=Radeleczki|mr=3307031|pages=389–397|s2cid=85560830|title=Notes on tolerance factorable classes of algebras|volume=80|zbl=1321.08002}}</ref>

=== 作为二元关系 ===
[[代数结构]]<math>(A,F)</math>上的'''相容关系'''定义为满足以下条件的<math>A</math>上的[[二元关系]]<math>\sim</math>。
* （[[自反关系|自反性]]）对于任意<math>a\in A</math>，有<math>a\sim a</math>。
* （[[对称关系|对称性]]）对于任意<math>a,b\in A</math>，如果<math>a\sim b</math>，那么有<math>b\sim a</math>。
* （相容性）<math>\{(a,b)\colon a\sim b\}</math>构成两个<math>A</math>的[[直积]]<math>A^2</math>的子代数。也就是说，对于每个<math>n</math>元运算<math>f\in F</math>以及<math>a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n\in A</math>，如果<math>a_i\sim b_i</math>对每个<math>i=1,\dots,n</math>成立，那么有<math>f(a_1,\dots,a_n)\sim f(b_1,\dots,b_n)</math>。
'''[[同余关系]]'''定义为[[传递关系|传递的]]相容关系。

=== 作为覆盖 ===
[[代数结构]]<math>(A,F)</math>上的'''相容关系'''定义为满足以下条件的<math>A</math>的[[覆盖 (拓扑学)|覆盖]]。<ref name="ChajdaNiederle">{{cite journal|date=1976|doi=10.21136/CMJ.1976.101403|first1=Ivan|first2=Josef|first3=Bohdan|issn=0011-4642|issue=101|journal=Czechoslovak Mathematical Journal|language=en|last1=Chajda|last2=Niederle|last3=Zelinka|mr=0401561|pages=304–311|title=On existence conditions for compatible tolerances|volume=26|zbl=0333.08006}}</ref>{{rp|307, Theorem 3}}
* 对于任意<math>C\in\mathcal C</math>以及<math>\mathcal S\subseteq\mathcal C</math>，如果<math>\textstyle C\subseteq\bigcup\mathcal S</math>，那么有<math>\textstyle\bigcap\mathcal S\subseteq C</math>。
** 特别地，<math>\mathcal C</math>的任何两个不同元素是不可比较的。（取<math>\mathcal S=\{D\}</math>。）
* 对于任意<math>S\subseteq A</math>，如果<math>S</math>不是<math>\mathcal C</math>的元素的子集，存在二元素子集<math>\{s,t\}\subseteq S</math>使得<math>\{s,t\}</math>不是<math>\mathcal C</math>的元素的子集。
* 对于每个<math>n</math>元运算<math>f\in F</math>以及<math>C_1,\dots,C_n\in\mathcal C</math>，存在<math>(f/{\sim})(C_1,\dots,C_n)\in\mathcal C</math>使得<math>\{f(c_1,\dots,c_n)\colon c_i\in C_i\}\subseteq(f/{\sim})(C_1,\dots,C_n)</math>。（这样的<math>(f/{\sim})(C_1,\dots,C_n)</math>不一定唯一。）
[[集合分划]]满足定义中的前两个条件，但是反之不然。'''[[同余关系]]'''定义为构成[[集合分划|分划]]的相容关系。

=== 两种定义的等价 ===
相容关系作为[[二元关系]]和作为[[覆盖 (拓扑学)|覆盖]]的定义是等价的。具体地，设<math>(A,F)</math>是一个[[代数结构]]，<math>\sim</math>是<math>A</math>上的[[二元关系]]，并且是<math>A</math>上的相容关系。记<math>A/{\sim}</math>是由[[极大元|极大]][[子集]]<math>C\subseteq</math>使得对于每个<math>c,d\in C</math>有<math>c\sim d</math>所构成的集合。使用[[图论]]术语，<math>A/{\sim}</math>是[[图 (数学)|图]]<math>(A,\sim)</math>的[[极大团]]的集合。在[[同余关系]]的情形下<math>A/{\sim}</math>就是[[等价类]]组成的[[商集]]。那么，<math>A/{\sim}</math>是<math>A</math>的[[覆盖 (拓扑学)|覆盖]]，并且满足作为覆盖定义中的三个条件。（最后一个条件可以使用[[佐恩引理]]予以证明。）反之，设<math>\mathcal C</math>是<math>A</math>的[[覆盖 (拓扑学)|覆盖]]，并且作为覆盖构成相容关系。定义<math>A</math>上的[[二元关系]]<math>\sim_{\mathcal C}</math>，使得<math>a\sim_{\mathcal C}b</math>当且仅当存在<math>C\in\mathcal C</math>使得<math>a,b\in C</math>。那么<math>\sim_{\mathcal C}</math>作为[[二元关系]]构成<math>(A,F)</math>上的相容关系。因此两种定义等价。一个相容关系作为[[二元关系]]是[[传递关系]]当且仅当作为[[覆盖 (拓扑学)|覆盖]]是[[集合分划|分划]]。所以[[同余关系]]的两种刻画也是一致的。

=== 关于相容关系的商代数 ===
设<math>(A,F)</math>是[[代数结构]]，<math>\sim</math>是其上的相容关系，并且设对于每个<math>n</math>元运算<math>f\in F</math>以及<math>C_1,\dots,C_n\in A/{\sim}</math>，存在唯一的<math>(f/{\sim})(C_1,\dots,C_n)\in A/{\sim}</math>使得有
:<math>\{f(c_1,\dots,c_n)\colon c_i\in C_i\}\subseteq(f/{\sim})(C_1,\dots,C_n)</math>
那么，这就自然地定义了<math>(A,F)</math>关于<math>\sim</math>的'''商代数'''
:<math>(A/{\sim},F/{\sim})</math>
对于[[同余关系]]，上面的唯一性条件必然成立，并且上面定义的商代数与通常的商代数是一致的。

与[[同余关系]]不同，对于相容关系，上面的唯一性条件不一定成立；即使成立，商代数<math>(A/{\sim},F/{\sim})</math>不一定继承用来定义<math>(A,F)</math>所属[[簇 (泛代数)|簇]]的恒等式，于是<math>(A/{\sim},F/{\sim})</math>不一定仍然落入这个簇。因此，对于代数结构簇<math>\mathcal V</math>，我们需要考虑它可能满足的以下两个条件。<ref name="ChajdaRadeleczki" />
* （相容可分解性）对于所有<math>(A,F)\in\mathcal V</math>以及其上的相容关系<math>\sim</math>，上面表述的唯一性条件成立。（从而可以定义商代数<math>(A/{\sim},F/{\sim})</math>。)
* （强相容可分解性）对于所有<math>(A,F)\in\mathcal V</math>以及其上的相容关系<math>\sim</math>，上面表述的唯一性条件成立，并且有<math>(A/{\sim},F/{\sim})\in\mathcal V</math>。
前者蕴涵后者，但是反之不一定成立。

== 例 ==
=== 集合 ===
[[集合 (数学)|集合]]是没有任何运算的[[代数结构]]。此时，相容关系无非是集合上的[[自反关系|自反]][[对称关系]]。显然，集合簇是强相容可分解的。

=== 群 ===
在[[群]]中，所有相容关系是[[同余关系]]。特别地，对于那些具有群子结构的[[代数结构]]，如[[环 (代数)|环]]、[[向量空间]]、[[模 (数学)|模]]、[[布尔代数]]也是如此。<ref name="Schein">{{cite journal|date=1987|doi=10.1016/0012-365X(87)90194-4|first1=Boris M.|issn=0012-365X|journal=Discrete Mathematics|language=en|last1=Schein|mr=0887364|pages=253–262|title=Semigroups of tolerance relations|url=https://archive.org/details/sim_discrete-mathematics_1987-04_64_2-3/page/253|volume=64|zbl=0615.20045}}</ref>{{rp|261–262}}因此，这些[[代数结构]]的簇也是强相容可分解的。

=== 格 ===
设<math>L</math>是[[格 (数学)|格]]，<math>\sim</math>是其上的相容关系。那么<math>L/{\sim}</math>的每个元素是<math>L</math>的[[凸子格]]。因此，对于每个<math>A\in L/{\sim}</math>，我们有
:<math>A=\mathop\uparrow A\cap\mathop\downarrow A</math>
特别地，下面结果成立。
* <math>a\sim b</math>当且仅当<math>a\vee b\sim a\wedge b</math>。
* 如果<math>a\sim b</math>并且<math>a\le c,d\le b</math>，那么<math>c\sim d</math>。

格簇是强相容可分解的。也就是说，给定[[格 (数学)|格]]<math>(L,\vee_L,\wedge_L)</math>以及其上的相容关系<math>\sim</math>，对于任意<math>A,B\in L/{\sim}</math>，存在唯一的<math>A\vee_{L/{\sim}}B,A\wedge_{L/{\sim}}B\in L/{\sim}</math>满足
:<math>\{a\vee_Lb\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\vee_{L/{\sim}}B</math>
:<math>\{a\wedge_Lb\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\wedge_{L/{\sim}}B</math>
并且商代数
:<math>(L/{\sim},\vee_{L/{\sim}},\wedge_{L/{\sim}})</math>
仍然构成[[格 (数学)|格]]。<ref name="Czédli">{{cite journal|date=1982|first=Gábor|issn=0001-6969|journal=Acta Scientiarum Mathematicarum|language=en|last=Czédli|mr=0660510|pages=35–42|title=Factor lattices by tolerances|url=https://archive.org/details/sim_acta-scientiarum-mathematicarum_1982_44_1-2/page/35|volume=44|zbl=0484.06010}}</ref><ref name="GrätzerWenzel">{{cite journal
|first1=George
|last1=Grätzer
|first2=G. H.
|last2=Wenzel
|title=Notes on tolerance relations of lattices
|url=https://archive.org/details/sim_acta-scientiarum-mathematicarum_1990_54_3-4/page/229
|language=en
|journal=Acta Scientiarum Mathematicarum
|volume=54
|issue=3-4
|pages=229–240
|date=1990
|issn=0001-6969
|mr=1096802
|zbl=0727.06011
}}</ref><ref name="Grätzer">{{cite book
|first1=George
|last1=Grätzer
|title=Lattice Theory: Foundation
|language=en
|publisher=Springer
|location=Basel
|date=2011
|isbn=978-3-0348-0017-4
|doi=10.1007/978-3-0348-0018-1
|mr=2768581
|zbl=1233.06001
|lccn=2011921250
}}</ref>{{rp|44, Theorem 22}}

特别地，[[分配格]]和[[模格]]关于相容关系的商格总是存在。但是这种商格不一定仍然构成[[分配格]]或[[模格]]。也就是说，分配格簇和模格簇是相容可分解的，但不是强相容可分解的。<ref name="Czédli" />{{rp|40}}<ref name="ChajdaRadeleczki" />其实，格簇的所有子簇是相容可分解的，但是格簇的强相容可分解子簇只有自身和由单元素格构成的平凡子簇。这是因为，所有[[格 (数学)|格]]都[[同构]]于二元素格的[[直积]]的子格关于相容关系的商格的子格。<ref name="Czédli" />{{rp|40, Theorem 3}}

== 参考文献 ==
{{reflist}}

[[Category:泛代数]]
[[Category:格理论]]
[[Category:离散数学]]
[[Category:数学关系]]