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{{Differential equations}}[[File:Pendulum phase portrait.svg|thumb|312x312px|[[單擺]]的[[位能]]及相圖。其中X軸是角度，有2π的週期性]]
[[Image:Pendulum phase portrait illustration.svg|400px|thumbnail|用單擺的運動來推導相圖]]
[[File:Van der pols equation phase portrait.jpg|right|300px|thumb|[[范德波爾方程式]] <math>\frac{d^2y}{dt^2}+\epsilon(y^2-1)\frac{dy}{dt}+y=0,\quad\epsilon=1</math>的相圖]]

'''相圖'''是在用繪圖的方式在[[相平面]]上表示[[動態系統]]的軌跡。每一個不同的初始條件都用一條曲線（或是一個點）表示。

在研究動態系統時，相圖是很重要的工具。相圖是由在相空間中各點軌跡的{{le|點圖|plot (graphics)}}組成。相圖可以看出動態系統在給定的參數下，是否有[[吸引子]]、排斥子或是[[极限环]]。{{le|拓撲共軛|topological conjugacy|拓撲等價}}的概念在為系統行為分類時非常重要，例如二個不同的相圖可能會出現相同的本質性動態特性。

在相圖中會描繪系統的軌跡（以箭頭表示）、穩定穩態（以黑點表示）及不穩定穩態（以圓圈點表示），相圖的軸對應[[狀態變數]]。
==例子==
*[[單擺]]的相圖（右圖）
*簡易的[[諧振子]]，相圖是一組中心點在原點的椭圆。
*[[范德波爾振蕩器]]的相圖（右圖）
*{{le|分枝圖|Bifurcation diagram}}
*<!--[[Complex_quadratic_polynomial#Parameter_plane|Parameter plane (c-plane)]]及-->[[曼德博集合]]
== 微分方程行為的可視化  ==
相圖可以呈現[[微分方程]]（ODE）系統的行為，也可以看出系統的穩定性<ref name=":0">Haynes Miller, and Arthur Mattuck. ''18.03 Differential Equations.'' Spring 2010. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, <nowiki>https://ocw.mit.edu</nowiki>. License: Creative Commons BY-NC-SA. (Supplementary Notes 26 by Haynes Miller: <nowiki>https://ocw.mit.edu/courses/18-03-differential-equations-spring-2010/resources/mit18_03s10_chapter_26/</nowiki>) </ref>
{| class="wikitable"
|+穩定性<ref name=":0" />
|不穩定
|隨著時間增加，系統大部份的解會逐漸趨近∞
|-
|漸近穩定
|隨著時間增加，系統所有的解會逐漸趨近0
|-
|中性穩定
|隨著時間增加，系統中沒有解會趨近∞，但大部份的解也沒有趨近0
|}
ODE系統相圖上的特性也可以用系統的[[特徵值]]或[[跡]]（trace）以及[[行列式]]判別（跡 = λ<sub>1</sub> + λ<sub>2</sub>，行列式 = λ<sub>1</sub> x λ<sub>2</sub>）<ref name=":0" />
{| class="wikitable"
|+相圖行為<ref name=":0" />
!特徵值、跡、行列式
!相圖形狀
|-
|λ<sub>1</sub> & λ<sub>2</sub>為實數，異號
行列式 < 0
|鞍型（不穩定）
|-
|λ<sub>1</sub> & λ<sub>2</sub>為實數，同號，λ<sub>1</sub> ≠ λ<sub>2</sub>;
0 < 行列式 < (trace<sup>2</sup> / 4)
|節點（跡 < 0 表示穩定，跡 > 0 表示不穩定）
|-
|λ<sub>1</sub> & λ<sub>2</sub>均有實部有虛部
(trace<sup>2</sup> / 4) < determinant
|螺旋（trace < 0 表示穩定，trace > 0 表示不穩定）
|}

== 相關條目 ==
*[[相空間]]
*[[相平面]]

==參考資料==
{{reflist}}
*{{cite book
 | last = Jordan
 | first = D. W.
 | last2 = Smith
 | first2 = P. 
 | year = 2007
 | edition = fourth
 | title = Nonlinear Ordinary Differential Equations
 | publisher = Oxford University Press
 | isbn = 978-0-19-920824-1
}} Chapter 1.
*{{cite book|author=Steven Strogatz|title=Non-linear Dynamics and Chaos: With applications to Physics, Biology, Chemistry and Engineering|url=https://archive.org/details/nonlineardynamic00stro|year=2001|isbn=9780738204536}}

==外部連結==
* [http://onlinesciencetools.com/tools/phaseportrait Phase Portrait Generator] {{Wayback|url=http://onlinesciencetools.com/tools/phaseportrait |date=20160427195817 }} a tool for sketching phase portraits of 2D systems.
* [http://mathlets.org/mathlets/linear-phase-portraits-matrix-entry/ Linear Phase Portraits] {{Wayback|url=http://mathlets.org/mathlets/linear-phase-portraits-matrix-entry/ |date=20210124171659 }}, an MIT Mathlet.
[[Category:动力系统]]