查看“︁相似矩陣”︁的源代码

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在[[线性代数]]中，'''相似矩阵'''（{{lang-en|'''similar matrix'''}}）是指存在'''相似关系'''的[[矩阵]]。'''相似关系'''是两个矩阵之间的一种[[等价关系]]。两个''n''×''n''[[矩阵]]''A''与''B''为'''相似矩阵'''[[当且仅当]]存在一个''n''×''n''的[[逆矩阵|可逆矩阵]]''P''，使得：
:<math>\! P^{-1} A P = B</math>

''P''被称为[[矩阵]]''A''与''B''之间的'''相似变换矩阵'''。

相似矩阵保留了矩阵的许多性质，因此许多对矩阵性质的研究可以通过研究更简单的相似矩阵而得到解决。

判断两个矩阵是否相似的辅助方法：

1.判断[[特征值]]是否相等；
2.判断[[行列式]]是否相等；
3.判断[[跡]]是否相等；
4.判断[[秩 (线性代数)|秩]]是否相等；
以上条件可以作为判断矩阵是否相似的必要条件，而非充分条件。

== 严格定义 ==
两个系数[[体 (数学)|域]]为''K''的''n''×''n''的[[矩阵]]''A''与''B''为域''L''上的'''相似矩阵'''[[当且仅当]]存在一个系数[[体 (数学)|域]]为''L''的''n''×''n''的[[逆矩阵|可逆矩阵]]''P''，使得：
:<math>\! P^{-1} A P = B</math>

这时，称[[矩阵]]''A''与''B''“相似”。''B''称作''A''通过'''相似变换矩阵'''：''P''得到的矩阵。术语'''''相似变换'''''的其中一个含义就是将矩阵''A''变成与其相似的矩阵''B''。

== 性质 ==
相似变换是矩阵之间的一种[[等价关系]]，也就是说满足：
# 反身性：任意矩阵都与其自身相似。
# 对称性：如果'''A'''和'''B'''相似，那么'''B'''也和'''A'''相似。
# 传递性：如果'''A'''和'''B'''相似，'''B'''和'''C'''相似，那么'''A'''也和'''C'''相似。

矩阵间的相似关系与所在的域无关：设''K''是''L''的一个[[子域]]，''A''和''B''是两个系数在''K''中的矩阵，则''A''和''B''在''K''上相似当且仅当它们在''L''上相似。这个性质十分有用：在判定两个矩阵是否相似时，可以随意地扩张系数域至一个代数闭域，然后在其上计算[[若尔当标准形]]。

如果两个相似矩阵''A''和''B''之间的转换矩阵''P''是一个[[置换矩阵]]，那么就称 ''A''和''B''“'''置换相似'''”。
如果两个相似矩阵''A''和''B''之间的转换矩阵''P''是一个[[酉矩阵]]，那么就称 ''A''和''B''“'''酉相似'''”。[[谱定理]]证明了每个[[正规矩阵]]都酉相似于某个[[对角矩阵]]。

== 相似变换下的不变性质 ==
两个相似的矩阵有许多相同的性质：
* 两者的[[矩阵的秩|秩]]相等。
* 两者的[[行列式值]]相等。
* 两者的[[迹数]]相等。
* 两者拥有同样的[[特征值]]，尽管相应的特征向量一般不同。
* 两者拥有同样的[[特征多项式]]。
* 两者拥有同样的[[初等因子]]。

这种现象的原因有两个：
* 两个相似的矩阵可以看做是同一个[[线性变换]]的“两面”，即在两个不同的[[基 (代數)|基]]下的表现。
* [[映射]]''X'' <math>\mapsto</math> ''P''<sup>−1</sup>''XP''是从''n''阶方阵射到''n''阶方阵的一个[[双射]]同构，因为''P''是可逆的。

因此，在给定了矩阵''A''后，只要能找到一个与之相似而又足够“简单”的“规范形式”''B''，那么对''A''的研究就可以转化为对更简单的矩阵''B''的研究。比如说''A''被称为[[对角化|可对角化的]]，如果它与一个[[对角矩阵]]相似。不是所有的矩阵都可以对角化，但至少在复数域（或任意的代数闭域）内，所有的矩阵都相似于一些被称为[[若尔当标准形]]的简单的矩阵。另一种标准形：[[弗罗贝尼乌斯标准形]]则在任意的域上都适用。只要查看''A''和''B''所对应的标准形是否一致，就能知道两者是否相似。

== 参见 ==
* [[合同矩阵]]
* [[正则形式]]
* [[等价矩阵]]

== 参考资料 ==
{{Reflist}}

== 外部链接 ==
* [https://web.archive.org/web/20090122140507/http://aihuau.com/xd5/5.2.htm 相似矩阵]
* [https://web.archive.org/web/20101031130704/http://kecheng.lut.cn/xianxingdaishu/jiaoxuezy/dzkj/5.3_page_1.htm 相似矩阵的特征值]

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[[Category:矩阵]]