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'''直言三段论'''是所有[[前提]]都是[[直言命题]]的[[演绎推理]]。前兩個[[命題]]被分别称为'''大前提'''和'''小前提'''<ref>{{cite book |author1=中国社会科学院语言研究所词典编辑室 |title=现代汉语词典 |year=2016 |url=https://archive.org/details/modern-chinese-dictionary_7th-edition |publisher=商务印书馆 |isbn=978-7-100-12450-8 |page=[https://archive.org/details/modern-chinese-dictionary_7th-edition/page/n43 1121]-1122 |edition=2016年9月第七版 |accessdate=2020-07-05 |language=中文（大陆简体） |quote=.......【三段论】.......由大前提和小前提推出结论。如“凡金属都能导电”（大前提），“铜是金属”（小前提），“所以铜能导电”（结论）。.......}}</ref>。如果這個三段論是[[有效的]]，這兩個前提邏輯上蕴涵了最後的命題，它叫做'''結論'''。結論的真實性建立在前提的真實性和它們之間的聯繫之上：[[中項]]在前提中必須'''[[周延 (哲學概念)|周延]]'''（distribute）至少一次，形成在結論中的主詞和謂词之間的連接。例如：
{{exampleH}}
:所有生物都會死。
:所有人都是生物。
:所以，所有人都會死。
{{exampleF}}

這裡的中項“生物”在大前提中周延，大項“會死者”在大前提和結論中都不周延，小項“人”在小前提和結論中周延；這個三段論符合[[周延 (哲學概念)|周延]]規則：中項至少在一個前提中[[周延 (哲學概念)|周延]]。一些直言[[三段論]]不是有效的，例如：
{{exampleH}}
:所有鳥都有翅膀。
:所有人都不是鳥。
:所以，没有人有翅膀。
{{exampleF}}
即使此例子的兩個前提和結論都是正確的，中項“鳥”在大前提和小前提中周延，大項“有翅膀”在結論中周延，小項“人”在小前提和結論中周延；此三段論卻是一種[[大詞不當|大項不當]][[形式謬誤|謬誤]]，將結論“沒有人有翅膀”理解為同樣表達的“所有人沒有翅膀”如此一來方便了解其中的谬误；此三段論不有效的原因是它不符合另一個[[周延 (哲學概念)|周延]]規則：在結論中周延的詞項，在前提中也必須周延。在該三段論中大項“有翅膀”在結論被否定了，也就是說表達了人沒有“有翅膀”，大項在此周延，但在大前提中未周延，因為在大前提中“有翅膀”並沒有涉及該項的所有個體。


==语气和格式==
[[File:Square of opposition, set diagrams.svg|thumb|300px|[[對立四邊形]]圖，揭示傳統邏輯四種命題語氣的關係，紅色表示非空，黑色表示空。]]

三段論有如下典型形式：
:大前提：所有M是P。
:小前提：所有S是M。
:結論：所有S是P。
其中S代表結論的[[主詞]]（'''S'''ubject），P代表結論的[[謂詞]]（'''P'''redicate），M代表中詞（'''M'''iddle）。

三段論的命題可分為[[全稱量化|全称]]（universal）、[[存在量化|特称]]（particular），及肯定、否定，組合起來有以下四類'''語氣'''（Mood）：
:{| class="wikitable"
! 類型 !! 代號 !!  形式 !! 範例
|-
| 全稱肯定型 || <tt>A</tt>（SaP） || 所有S是P || 所有人是會死的
|-
| 全稱否定型 || <tt>E</tt>（SeP） || 沒有S是P || 沒有人是完美的
|-
| 特稱肯定型 || <tt>I</tt>（SiP） || 有些S是P || 有些人是健康的
|-
| 特稱否定型 || <tt>O</tt>（SoP） || 有些S不是P || 有些人不是健康的
|}

三段論中，結論中的謂詞稱作'''大詞'''（P，或稱大項），包含大詞在內的前提稱作'''大前提'''；結論中的主詞稱作'''小詞'''（S，或稱小項），包含小詞在內的前提稱作'''小前提'''；沒有出現在結論，卻在兩個前提重複出現的稱作'''中詞'''（M，或稱中項）。大詞、中詞、小詞依不同排列方式，可分成四種'''格'''（Figure）：
:{| class="wikitable" style="font-family:Arial;"
! !!第1格!!第2格!!第3格!!第4格
|-
! 大前提
|M-P||P-M||M-P||P-M
|-
! 小前提
|S-M||S-M||M-S||M-S
|-
! 結論
|S-P||S-P||S-P||S-P
|-
|}

將以上整合在一起，三段論的大前提、小前提、結論分別可為<tt>A</tt>、<tt>E</tt>、<tt>I</tt>、<tt>O</tt>型命題之一，又可分為4格，故總共有256種三段論（若考慮大前提與小前提對調，便有512種，但邏輯上是相同的）。

三段論依語氣與格的分類縮寫，例如'''AAA-1'''（也可以寫成'''1-AAA'''）代表「大前提為'''A'''型，小前提為'''A'''型，結論為'''A'''型，第'''1'''格」的三段論。

此外，三段論的四種格之间可相互转换：

*第1格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第2格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第3格。
*第2格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第1格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第4格。
*第3格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第4格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第1格。
*第4格：对换大前提的主词和谓词的位置就变成第3格，对换小前提的主词和谓词的位置就变成第2格。

<tt>E</tt>和<tt>I</tt>命题对换主词和谓词的位置而保持同原命题等价。<tt>A</tt>命题和<tt>O</tt>命题不能对换主词和谓词的位置，但是可以采用[[直接推理]]中的“对置法”。A命题还可以在确实主词有元素存在的前提下，转换成弱于原命题的<tt>I</tt>命题后再对换主词和谓词的位置。

==有效性==

考虑各种直言三段论的有效性將是非常冗长耗時的。前人想出了三个可供选择的方法来找出有效性。方法之一是记住下一章节中列出的所有論式。

還可以通过构造[[文氏图]]的方法得到有效形式。因为有三种项，文氏图需要三个交叠的圓圈来表示每一个类。首先，为小项构造一个圓圈。临近小项的圓圈的是同小項有着交叠的大项的圓圈。在这两个圓圈之上是中项的圓圈。它应当在三个位置有着交叠：大项，小项和大项与小项交叠的地方。一個三段论是有效的，其必然条件是通过图解两个前提得出结论的真实性。永不图解结论，因为结论必须从前提推导出来。总是首先图解全称命题。这是通过对一个类在另一个类中没有成员的区域加黑影来实现的。所以在前面例子的AAA-1形式中大前提“所有M是P”中，对M不与P交叠的所有区域加黑影，包括M与S交叠的部分。接着对小前提重复同样的过程。从这两个前提中可推导出在类S中所有成员也是类P的成员。但是，不能推出类P的所有成员都是类S的成员。

:[[File:Modus Barbara.svg|thumb|none|400px]]

作为文氏圖方法的另一个例子，考虑形式EIO-1的三段论。它的大前提是“没有M是P”，它的小前提是“有些S是M”，它的结论是“有些S不是P”。这个三段论的大项是P，它的小项是S，它的中项是M。大前提在图中通过对交集M ∩ P加阴影表示。小前提不能通过对任何区域加黑影表示。转而，我们可以在交集S ∩ M的非黑影部分使用<font color=red>'''x'''</font>符号来表示“有些S是M”。（注意：黑影区域和[[存在量化]]区域是互斥的）。接着因为存在符号位于S内但在P外，所以结论“存在一些S不是P”是正确的。

:[[File:Modus Ferio.svg|thumb|none|400px]]

本文最後一節列出了所有24個有效論式的文氏圖。

最后一种方法是记住下面非形式表述的幾條规则以避免[[謬論]]。尽管文氏图对于诠释目的是好工具，有人更喜欢用這些规则来检验有效性。

基本規則：
# 結論中[[周延 (哲學概念)|周延]]的詞必須在前提中[[周延 (哲學概念)|周延]]（謬誤：[[大詞不當]]、[[小詞不當]]）。
# 中詞必須[[周延 (哲學概念)|周延]]至少一次（謬誤：[[中詞不周延]]）。
# 結論中否定命題的數目必須和前提中否定命題的數目相等：
## 二前提皆肯定，則結論必須為肯定（謬誤：[[肯定前提推得否定結論]]）。
## 一前提是否定，則結論必須為否定（謬誤：[[否定前提推得肯定結論]]）。
## 二前提皆否定，則三段論必無效（謬誤：[[排它前提謬誤]]）。
# 結論中特稱命題的數目必須和前提中特稱命題的數目相等：
## 二前提皆全稱，則結論必須為全稱。
## 一前提是特稱，則結論必須為特稱。
## 二前提皆特稱，則三段論必無效。

若一個三段論式滿足以上的所有規則，就必定有效。

其他檢查：
* 如果語境上不能假設所有提及的集合非[[空集合|空]]，部分推論將會無效（謬誤：[[存在謬誤]]）。
* 必須包含嚴格的三個詞，不多不少。且須注意所有關鍵詞和結構的語義是否一致（謬誤：[[四詞謬誤]]、[[歧義謬誤]]）。

=== 有效三段論式 ===

唯有第一格的所有有效三段論式的結論涵蓋了<tt>A</tt>、<tt>E</tt>、<tt>I</tt>、<tt>O</tt>全部四種命題，第二格的所有有效三段論式皆為否定結論（<tt>E</tt>或<tt>O</tt>），第三格的所有有效三段論式皆為特稱結論（<tt>I</tt>或<tt>O</tt>），第四格的所有有效三段論式皆為否定結論或特稱結論（<tt>E</tt>、<tt>I</tt>或<tt>O</tt>）。下面表格中加下劃線者必須假設所有提及的集合非空才有效。

:{| class="wikitable"
!第1格
!第2格
!第3格
!第4格
|-
|AAA
|AEE
|A<u>A</u>I
|AA<u>I</u>
|-
|EAE
|EAE
|E<u>A</u>O
|E<u>A</u>O
|-
|AII
|AOO
|AII
|AEE
|-
|EIO
|EIO
|EIO
|EIO
|-
|AA<u>I</u>
|AE<u>O</u>
|IAI
|IAI
|-
|EA<u>O</u>
|EA<u>O</u>
|OAO
|AE<u>O</u>
|}

在全部256種三段論式中，有24種有效，但是如果不能確定所有提及的集合為非空，則只有15種有效。

=== 常犯的無效三段論式 ===

 1-AEE, 1-AEO, 1-EEA, 1-EEE, 1-EEI, 1-AIA, 1-IAA, 1-IAI, 1-III, 1-AOO, 1-OAO, 1-IEO
 2-AAA, 2-AAI, 2-AII, 2-IAI, 2-OAO, 2-IEO, 2-EOI, 2-OEI, 2-IOO, 2-OIO
 3-AAA, 3-AEE, 3-EAE, 3-AEO, 3-AOO, 3-AIA, 3-IAA, 3-III, 3-EOI, 3-OEI, 3-IEO
 4-AAA, 4-EAE, 4-AII, 4-IEO

==三段论式列表==
总共有19个有效的论式，算结论弱化（全称弱化为特称）的5个论式則為24個有效论式，其中每一格刚好各有6個有效论式。為便於記憶，中世纪的学者將這些有效論式分別取了對應的[[拉丁語]]名字，每個名字的加了下劃線的[[元音]]即是對應的語氣：

:{| class="wikitable" style="font-family:Arial;"
! 第1格
! 第2格
! 第3格
! 第4格
|-
| B<u>a</u>rb<u>a</u>r<u>a</u>
| C<u>a</u>m<u>e</u>str<u>e</u>s
| D<u>a</u>r<u>a</u>''p''t<u>i</u>
| B<u>a</u>m<u>a</u>l<u>i</u>''p''
|-
| C<u>e</u>l<u>a</u>r<u>e</u>nt
| C<u>e</u>s<u>a</u>r<u>e</u>
| F<u>e</u>l<u>a</u>''p''t<u>o</u>n
| F<u>e</u>s<u>a</u>''p''<u>o</u>
|-
| D<u>a</u>r<u>ii</u>
| B<u>a</u>r<u>o</u>c<u>o</u>
| D<u>a</u>t<u>i</u>s<u>i</u>
| C<u>a</u>l<u>e</u>m<u>e</u>s
|-
| F<u>e</u>r<u>io</u>
| F<u>e</u>st<u>i</u>n<u>o</u>
| F<u>e</u>r<u>i</u>s<u>o</u>n
| Fr<u>e</u>s<u>i</u>s<u>o</u>n
|-
| <i>B<u>a</u>rb<u>a</u>r<u>i</u></i>
| <i>C<u>a</u>m<u>e</u>str<u>o</u>s</i>
| D<u>i</u>s<u>a</u>m<u>i</u>s  
| D<u>i</u>m<u>a</u>r<u>i</u>s
|-
| <i>C<u>e</u>l<u>a</u>r<u>o</u>nt</i>
| <i>C<u>e</u>s<u>a</u>r<u>o</u></i>
| B<u>o</u>c<u>a</u>rd<u>o</u>
| <i>C<u>a</u>l<u>e</u>m<u>o</u>s</i>
|}

===经典三段论式===

下面列出的是[[亚里士多德]]的《[[前分析篇]]》中关于前3个格的14个三段论式。

====第1格====

* '''AAA'''（Barbara）
<tt>&nbsp;</tt>所有M是P。<br />
<tt>&nbsp;</tt>所有S是M。<br />
<tt>∴</tt>所有S是P。

<math> \cfrac{\forall x(M(x)\rightarrow P (x)) \qquad \forall x(S(x)\rightarrow M (x))}
             {\forall x(S(x) \rightarrow P (x))}</math>

* '''EAE'''（Celarent）
<tt>&nbsp;</tt>没有M是P。<br />
<tt>&nbsp;</tt>所有S是M。<br />
<tt>∴</tt>没有S是P。

<math> \cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x)) \quad \forall x(S(x)\rightarrow M (x))}
              {\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P (x))}</math>

* '''AII'''（Darii）
<tt>&nbsp;</tt>所有M是P。<br />
<tt>&nbsp;</tt>有些S是M。<br />
<tt>∴</tt>有些S是P。

<math> \cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P (x)) \qquad \exists x(S(x)\land M (x))}
              {\exists x(S(x) \land P (x))}</math>

* '''EIO'''（Ferio）
<tt>&nbsp;</tt>没有M是P。<br />
<tt>&nbsp;</tt>有些S是M。<br />
<tt>∴</tt>有些S不是P。

<math> \cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x)) \quad \exists x(S(x)\land M (x))}
              {\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}</math>

====第2格====

* '''AEE'''（Camestres）
<tt>&nbsp;</tt>所有P是M。<br />
<tt>&nbsp;</tt>没有S是M。<br />
<tt>∴</tt>没有S是P。

<math> \cfrac {\cfrac { \begin{matrix} \quad \\ \forall x(P(x)\rightarrow M (x)) \end{matrix} \qquad \cfrac {\forall x (S(x)\rightarrow \lnot M(x))}{\forall x (M(x)\rightarrow \lnot S (x))}}{\forall x (M(x)\rightarrow \lnot S (x)) \qquad \forall x(P(x)\rightarrow M(x))}}
              {\cfrac {\forall x(P(x) \rightarrow \lnot S (x))} {\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P (x))}}</math>

（AEE-2是AEE-4的等价形式。这种形式还有其他推导方法。）<ref>这个论式还可以推导为：<br />
<math> \cfrac { \cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M (x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M (x)))} } {\forall x( (\lnot M(x))\rightarrow \lnot P (x))}  \quad  \cfrac {\forall x(S(x)\rightarrow \lnot M (x))} {\forall x(S(x)\rightarrow (\lnot M (x)))} }
             {\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P (x))}</math></ref>

* '''EAE'''（Cesare）
<tt>&nbsp;</tt>没有P是M。<br />
<tt>&nbsp;</tt>所有S是M。<br />
<tt>∴</tt>没有S是P。

<math> \cfrac { \cfrac { \forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))}  \qquad \begin{matrix} \quad \\ \forall x(S(x)\rightarrow M (x)) \end{matrix}}
              {\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P (x))}</math>

（EAE-2是EAE-1的等价形式。）

* '''AOO'''（Baroco）
<tt>&nbsp;</tt>所有P是M。<br />
<tt>&nbsp;</tt>有些S不是M。<br />
<tt>∴</tt>有些S不是P。

<math> \cfrac {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M (x))}{\forall x(P(x)\rightarrow \lnot (\lnot M (x)))} } {\forall x((\lnot M(x)) \rightarrow \lnot P (x))} \quad \cfrac {\exists x(S(x)\land \lnot M (x))} {\exists x(S(x)\land (\lnot M (x)))}}
              {\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}</math>

（这种形式还有其他推导方法。）<ref>这个论式还可以采用[[反证法]]来推导：<br />
<math> \begin{align}  & \cfrac {\cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(P(x)\rightarrow M (x)) \end{matrix} \quad \cfrac {\lnot(\exist x(S(x)\land \lnot P (x)))} {\forall x(S(x) \rightarrow P (x))}}
              { \forall x(S(x) \rightarrow M (x))} \quad \cfrac {\exists x (S(x) \land \lnot M(x))}{\exists x ((\lnot M(x)) \land S(x))}}
              { \cfrac {\exists x ((\lnot M(x)) \land M(x))}{\bot}} \\ \implies & \cfrac {\forall x(P(x)  \rightarrow M (x)) \qquad \exists x(S(x)\land \lnot M (x))} {\exist x(S(x)\land \lnot P (x))} \end{align}</math></ref>

* '''EIO'''（Festino）
<tt>&nbsp;</tt>没有P是M。<br />
<tt>&nbsp;</tt>有些S是M。<br />
<tt>∴</tt>有些S不是P。

<math> \cfrac { \cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))} \qquad \begin{matrix} \quad \\ \exists x(S(x)\land M (x))\end{matrix}}
              {\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}</math>

（EIO-2是EIO-1的等价形式。）

====第3格====

* '''AAI'''（Darapti）
<tt>&nbsp;</tt>所有M是P。<br />
<tt>&nbsp;</tt>所有M是S。<br />
<tt>∴</tt>有些S是P。<br />
（这种形式需要假定有些M确实存在。）<ref>直接結論是：所有M是P且S。<br />
<math> \cfrac {\cfrac {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow P (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow S (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow(P(x)\land S (x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow(S(x)\land P (x)))} \qquad \begin{matrix} \quad \\  \exists x M(x) \end{matrix} }{\exist x(S(x) \land P (x))} </math>
</ref>

<math> \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \quad \\ \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow P (x))  \end{matrix} \ \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow S (x)) 
       \end{matrix} \quad  \cfrac {\exist x M(x)}{\exist x (M(x) \land M(x))} } {\cfrac {\exist x (M(x)\land S(x))} {\exist x (S(x)\land M(x))}}}
             {\exist x(S(x) \land P (x))}</math>

* '''EAO'''（Felapton）
<tt>&nbsp;</tt>没有M是P。<br />
<tt>&nbsp;</tt>所有M是S。<br />
<tt>∴</tt>有些S不是P。<br />
（这种形式需要假定有些M确实存在。）<ref name="#1">直接結論是：所有M是S且非P。<br />
<math> \cfrac {\cfrac {\cfrac {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow S (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow((\lnot P(x))\land S (x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow(S(x)\land \lnot P (x)))} \quad \begin{matrix} \quad \\  \exists x M(x) \end{matrix} }{\exist x(S(x) \land \lnot P (x))} </math>
</ref>

<math> \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \quad \\ \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))  \end{matrix} \, \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow S (x)) 
       \end{matrix} \quad \cfrac {\exist x M(x)}{\exist x (M(x) \land M(x))} } {\cfrac {\exist x (M(x)\land S(x))} {\exist x (S(x)\land M(x))}}}
              {\exist x(S(x) \land \lnot P (x))}</math>

* '''AII'''（Datisi）
<tt>&nbsp;</tt>所有M是P。<br />
<tt>&nbsp;</tt>有些M是S。<br />
<tt>∴</tt>有些S是P。

<math> \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow P (x)) \end{matrix} \qquad \cfrac {\exist x(M(x)\land S (x))} {\exist x(S(x)\land M (x))}}
              { \exists x(S(x) \land P (x))}</math>

（AII-3是AII-1的等价形式。）

* '''EIO'''（Ferison）
<tt>&nbsp;</tt>没有M是P。<br />
<tt>&nbsp;</tt>有些M是S。<br />
<tt>∴</tt>有些S不是P。

<math> \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x)) \end{matrix} \quad \cfrac {\exist x(M(x)\land S (x))} {\exist x(S(x)\land M (x))}}
              {\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}</math>

（EIO-3是EIO-1的等价形式。）

* '''IAI'''（Disamis）
<tt>&nbsp;</tt>有些M是P。<br />
<tt>&nbsp;</tt>所有M是S。<br />
<tt>∴</tt>有些S是P。

<math> \cfrac {\cfrac {\cfrac {\exist x(M(x)\land P (x))}{\exist x(P(x)\land M(x))} \qquad \begin{matrix} \quad \\ \forall x (M(x)\rightarrow S (x)) \end{matrix}}{\forall x (M(x)\rightarrow S (x)) \qquad \exist x(P(x)\land M(x))}}
              {\cfrac {\exists x(P(x)  \land S (x))} {\exists x(S(x) \land P (x))}}</math>

（IAI-3是IAI-4的等价形式。）

* '''OAO'''（Bocardo）
<tt>&nbsp;</tt>有些M不是P。<br />
<tt>&nbsp;</tt>所有M是S。<br />
<tt>∴</tt>有些S不是P。

<math> \cfrac {\cfrac { \cfrac {\exist x(M(x)\land \lnot P (x))}{\exist x((\lnot P(x))\land M (x))} \quad \begin{matrix} \quad \\ \forall x (M(x)\rightarrow S (x))\end{matrix}}{\forall x (M(x)\rightarrow S (x)) \quad \exist x((\lnot P(x))\land M (x))}}
              {\cfrac {\exists x((\lnot P(x)) \land  S (x))}{\exists x(S(x) \land \lnot P(x))}}</math>

（这种形式还有其他推导方法。）<ref>这个论式还可以采用[[反证法]]来推导：<br />
<math> \begin{align}  & \cfrac {\cfrac {\cfrac {\lnot(\exist x(S(x)\land \lnot P (x)))} {\forall x(S(x) \rightarrow P (x))}  \quad  \begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow S (x)) \end{matrix}}
              { \forall x(M(x) \rightarrow P (x))} \quad \cfrac {\exists x (M(x) \land \lnot P(x))}{\exists x ((\lnot P(x)) \land M(x))}}
              { \cfrac {\exists x ((\lnot P(x)) \land P(x))}{\bot}} \\ \implies & \cfrac {\exists x(M(x)\land \lnot P (x)) \qquad  \forall x(M(x)  \rightarrow S (x))} {\exist x(S(x)\land \lnot P (x))} \end{align}</math></ref>

===增补的论式===
第4格由亞里士多德的學生[[泰奧弗拉斯托斯]]補充<ref>在[[亞里士多德]]《[[前分析篇]]》裡關於AEE-2的論證中，對小前提進行對換主詞與謂詞位置之後，得出第4格的AEE-4，亞里士多德稱之為再次得到了第1格，沒有因為大項和小項位置顛倒而專門稱之為第4格。在亞里士多德的定義中第1格為中項既是一個前提的主詞又是另一個前提的謂詞。第4格中有4個論式是其他格的等價形式、1個論式是結論弱化形式，因此亞里士多德三段論體系並無缺失。</ref>。

====第4格====

* '''AAI'''（Bamalip）
<tt>&nbsp;</tt>所有P是M。<br />
<tt>&nbsp;</tt>所有M是S。<br />
<tt>∴</tt>有些S是P。<br />
（这种形式需要假定有些P确实存在。）

<math> \cfrac {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow M (x)) \qquad  \forall x(M(x)\rightarrow S (x))}
                              {\forall x(M(x)\rightarrow S (x)) \qquad \forall x(P(x)\rightarrow M (x))}}
                     {\forall x(P(x)\rightarrow S (x))} \quad \cfrac {\exists x P(x)} {\exists x (P(x)\land P(x))}}
              {\cfrac {\exists x(P(x) \land S (x))} {\exists x(S(x) \land P (x))}}</math>

* '''EAO'''（Fesapo）
<tt>&nbsp;</tt>没有P是M。<br />
<tt>&nbsp;</tt>所有M是S。<br />
<tt>∴</tt>有些S不是P。<br />

（这种形式需要假定有些M确实存在。）<ref name="#2">直接結論是：所有M是S且非P。<br />

<math> \cfrac {\cfrac {\cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))} \qquad \begin{matrix} \quad \\  \forall x(M(x)\rightarrow S (x))\end{matrix}  } {\forall x(M(x)\rightarrow((\lnot P(x))\land S (x)))}}{\forall x(M(x)\rightarrow(S(x)\land \lnot P (x)))} \quad \begin{matrix} \quad \\  \exists x M(x) \end{matrix} }{\exist x(S(x) \land \lnot P (x))} </math></ref>

<math> \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \quad \\ \cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))} {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))}  \end{matrix} \, \cfrac {\begin{matrix} \quad \\ \forall x(M(x)\rightarrow S (x)) 
       \end{matrix} \quad \cfrac {\exist x M(x)}{\exist x (M(x) \land M(x))} } {\cfrac {\exist x (M(x)\land S(x))} {\exist x (S(x)\land M(x))}}}
              {\exist x(S(x) \land \lnot P (x))}</math>

（EAO-4是EAO-3的等价形式。）

* '''AEE'''（Calemes）
<tt>&nbsp;</tt>所有P是M。<br />
<tt>&nbsp;</tt>没有M是S。<br />
<tt>∴</tt>没有S是P。

<math> \cfrac {\cfrac {\forall x( P(x)\rightarrow M (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow \lnot S (x))} 
                      {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot S (x)) \qquad \forall x( P(x)\rightarrow M (x))}}
              {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot S (x))}
                      {\forall x(S(x) \rightarrow \lnot P (x))}}</math>

* '''EIO'''（Fresison）
<tt>&nbsp;</tt>没有P是M。<br />
<tt>&nbsp;</tt>有些M是S。<br />
<tt>∴</tt>有些S不是P。

<math> \cfrac {\cfrac {\forall x(P(x)\rightarrow \lnot M (x))}
                      {\forall x(M(x)\rightarrow \lnot P (x))} \qquad 
                              \cfrac {\exists x(M(x)\land S (x))} 
                                     {\exists x(S(x)\land M (x))}}
              {\exists x(S(x) \land \lnot P (x))}</math>

（EIO-4是EIO-1的等价形式。）

* '''IAI'''（Dimaris）
<tt>&nbsp;</tt>有些P是M。<br />
<tt>&nbsp;</tt>所有M是S。<br />
<tt>∴</tt>有些S是P。

<math> \cfrac {\cfrac {\exists x( P(x)\land M (x)) \qquad \forall x(M(x)\rightarrow \ S(x))}
                      {\forall x(M(x)\rightarrow \ S(x)) \qquad \exists x(P(x)\land M(x))}}
              {\cfrac {\exists x(P(x) \land S(x))}
                      {\exists x(S(x) \land P(x))}}</math>

====结论弱化的论式====

歷史上，AAI-3、EAO-3、AAI-4、EAO-4的拉丁語名字中有字母“p”，用来指示出这些论式通過引入了某个词项确实有元素存在的前提，将一个<tt>A</tt>命题弱化成了<tt>I</tt>命题。后人认为它們不是直言的即不是无条件的，这个问题被称为[[存在性引入问题]]。

在假定结论的主词确定有成员存在的前提下，可将论式中的结论<tt>A</tt>弱化为结论<tt>I</tt>，结论<tt>E</tt>弱化为结论<tt>O</tt>，它们也可以被增补为有效论式，从而得到所有可能的24有效论式。结论弱化论式有5个：'''AAI-1'''（Barbari），即弱化的AAA-1；'''EAO-1'''（Celaront），即弱化的EAE-1；'''AEO-2'''（Camestros），即弱化的AEE-2；'''EAO-2'''（Cesaro），即弱化的EAE-2；'''AEO-4'''（Calemos），即弱化的AEE-4。AAI-1的结论同于AII-1的结论，EAO-1、EAO-2的结论同于EIO-1的结论，AEO-2、AEO-4的结论同于AOO-2的结论，需要注意结论弱化论式原来的结论依然成立。

===谓词演算公式的注解===

按照[[布尔逻辑]]和[[集合代数]]的观点，三段论可以解释为：[[集合 (数学)|集合]]（[[类 (数学)|类]]）<math>\, S \,</math>和集合<math>\, M \,</math>有某种[[二元关系]]，并且集合<math>\, M \,</math>和集合<math>\, P \,</math>有某种二元关系，从而推论出集合<math>\, S \,</math>和集合<math>\, P \,</math>是否存在进而为何种可确定的二元关系。两个集合之间的二元关系用直言命题可确定的有四种：
* <tt>A</tt>（全称肯定）命题：所有<math>\, M \,</math>的元素是<math>\, N \,</math>的元素，确定了<math>\, M \,</math>“[[包含]]于”<math>\, N \,</math>的关系，<math>\, M \,</math>是<math>\, N \,</math>的[[子集]]，<math>\, N \,</math>是<math>\, M \,</math>的[[超集]]，这是一种[[偏序关系]]，<math>\, L \,</math>包含于<math>\, M \,</math>，並且<math>\, M \,</math>包含于<math>\, N \,</math>，則<math>\, L \,</math>包含于<math>\, N \,</math>。<tt>A</tt>命题允许两个推理方向，从元素属于<math>\, M \,</math>推出它属于<math>\, N \,</math>，从元素不属于<math>\, N \,</math>推出它不属于<math>\, M \,</math>。<tt>A</tt>命题确定了<math>\, M \,</math>减<math>\, N \,</math>的[[差集]]是[[空集]]。
* <tt>E</tt>（全称否定）命题：所有<math>\, M \,</math>的元素不是<math>\, N \,</math>的元素，确定了<math>\, M \,</math>和<math>\, N \,</math>是“[[不交集|无交集]]”的关系，这是一种[[对称关系]]，<math>\, M \,</math>无交集于<math>\, N \,</math>，同于<math>\, N \,</math>无交集于<math>\, M \,</math>。<tt>E</tt>命题允许两个推理方向，从元素属于<math>\, M \,</math>推出它不属于<math>\, N \,</math>，从元素属于<math>\, N \,</math>推出它不属于<math>\, M \,</math>。<tt>E</tt>命题确定了<math>\, M \,</math>与<math>\, N \,</math>的[[交集]]是[[空集]]。
* <tt>I</tt>（特称肯定）命题：有些<math>\, M \,</math>的元素是<math>\, N \,</math>的元素，确定了<math>\, M \,</math>和<math>\, N \,</math>是“有[[交集]]”的关系，这是一种[[对称关系]]，<math>\, M \,</math>有交集于<math>\, N \,</math>，同于<math>\, N \,</math>有交集于<math>\, M \,</math>。<tt>I</tt>命题确定了<math>\, M \,</math>与<math>\, N \,</math>的[[交集]]不是[[空集]]。
* <tt>O</tt>（特称否定）命题：有些<math>\, M \,</math>的元素不是<math>\, N \,</math>的元素，确定了<math>\, M \,</math>“不[[包含]]于”<math>\, N \,</math>的关系。<tt>O</tt>命题确定了<math>\, M \,</math>减<math>\, N \,</math>的[[差集]]不是[[空集]]。

两个全称命题可以推出一个新的全称命题，一个全称命题和一个特称命题可以推出一个新的特称命题，两个特称命题无法推理。<tt>A</tt>命题可以和所有四种命题組合。<tt>E</tt>命题还可以和<tt>I</tt>命题組合，两个否定命题和<tt>IE</tt>组合，不能得出屬於四種命題之一的結論。故而有效的論式，要在<tt>AA</tt>、<tt>AE</tt>、<tt>EA</tt>、<tt>AI</tt>、<tt>IA</tt>、<tt>AO</tt>、<tt>OA</tt>、<tt>EI</tt>這8種組合乘以4種格，共32種情況中找出。

<tt>AA</tt>组合中AAA-1是直接推出的；第4格<tt>AA</tt>組合推论出谓词包含於主词的关系，这不是四种命题之一，只能在谓词确实有元素存在的前提下弱化为AAI-4。<tt>AE</tt>组合中AEE-4是直接推出的，<tt>EA</tt>组合中EAE-1是直接推出的。第3格<tt>AA</tt>組合和<tt>EA</tt>組合，在中項確定有元素存在的前提下，形成AAI-3和EAO-3。AAA-1、AAI-4、AAI-3没有等价者。通過對換其前提<tt>E</tt>命題中主詞和謂詞的位置，從AEE-4得出其等價者AEE-2，從EAE-1的得出其等價者EAE-2，從EAO-3得出其等價者EAO-4。

AII-1、IAI-4是直接推出的，通過對換其前提<tt>I</tt>命題中主詞和謂詞的位置，從AII-1得出其等價者AII-3，從IAI-4得出其等價者IAI-3。AOO-2和OAO-3在歷史上採用了[[反證法]]，这里采用了[[直接推理]]中的“对置法”，AOO-2、OAO-3沒有等價者。EIO-1是直接推出的，通過對換其前提<tt>E</tt>命题{{en-link|及/或|And/or}}<tt>I</tt>命題中主詞和謂詞的位置，從EIO-1得出其等價者EIO-2、EIO-3、EIO-4。

==24論式圖示==

下表以[[文氏圖]]展示24個有效直言三段論，不同欄表示不同的前提，不同外框顏色表示不同的結論，需要[[存在性預設]]的推理以虛線與斜體字標示。

{| class="wikitable" style="background: #FFF;width:98%; text-align:center;"
|-
|rowspan=2 style="background: #AAA;"|<small>'''格'''</small>	
|style="border:0;border-left:2px solid #999;"|'''A''' ∧ '''A'''
|style="border:0;"|
|style="border:0;border-left:2px solid #999;"|'''A''' ∧ '''E'''
|style="border:0;"|
|style="border:0;"|
|style="border:0;"|	
|style="border:0;border-left:2px solid #999;"|'''A''' ∧ '''I'''
|style="border:0;"|
|style="border:0;border-left:2px solid #999;"|'''A''' ∧ '''O'''
|style="border:0;"|
|style="border:0;border-left:2px solid #999;"|'''E''' ∧ '''I'''
|-
|AAA||''AAI''||AEE||''AEO''||EAE||''EAO''||AII||IAI||AOO||OAO||EIO
|-
|style="background: #AAA;"|'''1'''	
|style="outline-offset:-5px;outline:2px solid #8F8;border-left:2px solid #999;"|[[File:Modus Barbara.svg|80px]]<br><small>[[:File:Modus Barbara.svg|Barbara]]</small>
|style="outline-offset:-5px;outline:2px dashed #88F;"|[[File:Modus Barbari.svg|76px]]<br><small>[[:File:Modus Barbari.svg|''Barbari'']]</small>
|style="border-left:2px solid #999;"|
|
|style="outline-offset:-5px;outline:2px solid #F88;"|[[File:Modus Celarent.svg|80px]]<br><small>[[:File:Modus Celarent.svg|Celarent]]</small>
|style="outline-offset:-5px;outline:2px dashed #FC4;"|[[File:Modus Celaront.svg|76px]]<br><small>[[:File:Modus Celaront.svg|''Celaront'']]</small>
|style="outline-offset:-5px;outline:2px solid #88F; border-left:2px solid #999;"| [[File:Modus Darii.svg|80px]]<br><small>[[:File:Modus Darii.svg|Darii]]</small>
|
|style="border-left:2px solid #999;"|
|
|style="outline-offset:-5px;outline:2px solid #FC4;border-left:2px solid #999;"|[[File:Modus Ferio.svg|80px]]<br><small>[[:File:Modus Ferio.svg|Ferio]]</small>
|-
|style="background: #AAA;"|'''2'''
|style="border-left:2px solid #999;"|
| 
|style="outline-offset:-5px;outline:2px solid #F88;border-left:2px solid #999;"|[[File:Modus Camestres.svg|80px]]<br><small>[[:File:Modus Camestres.svg|Camestres]]</small>
|style="outline-offset:-5px;outline:2px dashed #FC4;"|[[File:Modus Camestros.svg|76px]]<br><small>[[:File:Modus Camestros.svg|''Camestros'']]</small>
|style="outline-offset:-5px;outline:2px solid #F88;"|[[File:Modus Cesare.svg|80px]]<br><small>[[:File:Modus Cesare.svg|Cesare]]</small>
|style="outline-offset:-5px;outline:2px dashed #FC4;"|[[File:Modus Cesaro.svg|80px]]<br><small>[[:File:Modus Cesaro.svg|''Cesaro'']]</small>
|style="border-left:2px solid #999;"| 
| 
|style="outline-offset:-5px;outline:2px solid #FC4;border-left:2px solid #999;"|[[File:Modus Baroco.svg|80px]]<br><small>[[:File:Modus Baroco.svg|Baroco]]</small>
| 
|style="outline-offset:-5px;outline:2px solid #FC4;border-left:2px solid #999;"|[[File:Modus Festino.svg|80px]]<br><small>[[:File:Modus Festino.svg|Festino]]</small>
|-
|style="background: #AAA;"|'''3'''
|style="border-left:2px solid #999;"| 
|style="outline-offset:-5px;outline:2px dashed #88F;"|[[File:Modus Darapti.svg|66px]]<br><small>[[:File:Modus Darapti.svg|''Darapti'']]</small>
|style="border-left:2px solid #999;"| 
| 
| 
|style="outline-offset:-5px;outline:2px dashed #FC4;"|[[File:Modus Felapton.svg|66px]]<br><small>[[:File:Modus Felapton.svg|''Felapton'']]</small>
|style="outline-offset:-5px;outline:2px solid #88F;border-left:2px solid #999;"|[[File:Modus Datisi.svg|80px]]<br><small>[[:File:Modus Datisi.svg|Datisi]]</small>
|style="outline-offset:-5px;outline:2px solid #88F;"|[[File:Modus Disamis.svg|80px]]<br><small>[[:File:Modus Disamis.svg|Disamis]]</small>
|style="border-left:2px solid #999;"| 
|style="outline-offset:-5px;outline:2px solid #FC4;"|[[File:Modus Bocardo.svg|80px]]<br><small>[[:File:Modus Bocardo.svg|Bocardo]]</small>
|style="outline-offset:-5px;outline:2px solid #FC4;border-left:2px solid #999;"|[[File:Modus Ferison.svg|80px]]<br><small>[[:File:Modus Ferison.svg|Ferison]]</small>
|-
|style="background: #AAA;"|'''4'''
|style="border-left:2px solid #999;"| 
|style="outline-offset:-5px;outline:2px dashed #88F;"|[[File:Modus Bamalip.svg|76px]]<br><small>[[:File:Modus Bamalip.svg|''Bamalip'']]</small>
|style="outline-offset:-5px;outline:2px solid #F88;border-left:2px solid #999;"|[[File:Modus Calemes.svg|80px]]<br><small>[[:File:Modus Calemes.svg|Calemes]]</small>
|style="outline-offset:-5px;outline:2px dashed #FC4;"|[[File:Modus Calemos.svg|76px]]<br><small>[[:File:Modus Calemos.svg|''Calemos'']]</small>
| 
|style="outline-offset:-5px;outline:2px dashed #FC4;"|[[File:Modus Fesapo.svg|66px]]<br><small>[[:File:Modus Fesapo.svg|''Fesapo'']]</small>
|style="border-left:2px solid #999;"| 
|style="outline-offset:-5px;outline:2px solid #88F;"|[[File:Modus Dimatis.svg|80px]]<br><small>[[:File:Modus Dimatis.svg|Dimatis]]</small>
|style="border-left:2px solid #999;"| 
| 
|style="outline-offset:-5px;outline:2px solid #FC4;border-left:2px solid #999;"|[[File:Modus Fresison.svg|80px]]<br><small>[[:File:Modus Fresison.svg|Fresison]]</small>
|}

==参见==
* [[直接推理]]
* [[传统逻辑]]
* [[谓词演算]]

==註解==
{{reflist|2}}

==引用==
*[[Aristotle]], ''[[Prior Analytics]]''. transl. [[Robin Smith]]（Hackett, 1989）ISBN 0-87220-064-7.
*[[Simon Blackburn|Blackburn, Simon]], 1996. "Syllogism" in the ''Oxford Dictionary of Philosophy''. Oxford University Press. ISBN 0-19-283134-8.
*Broadie, Alexander, 1993. ''Introduction to Medieval Logic''. Oxford University Press. ISBN 0-19-824026-0.
*[[Irving Copi]], 1969. ''Introduction to Logic'', 3rd ed. Macmillan Company.
*[[Charles Leonard Hamblin|Hamblin, Charles L.]], 1970. ''Fallacies'', Methuen : London, ISBN 0-416-70070-5. Cf. on validity of syllogisms: "A simple set of rules of validity was finally produced in the later Middle Ages, based on the concept of Distribution.“
*[[Jan Łukasiewicz]], 1987 (1957). ''Aristotle's Syllogistic from the Standpoint of Modern Formal Logic''. New York: Garland Publishers. ISBN 0824069242. OCLC 15015545.

==外部連結==
* {{sep entry|aristotle-logic|Aristotle's Logic|Robin Smith}}
* {{sep entry|square|The Traditional Square of Opposition|Terence Parsons}}
* {{sep entry|medieval-syllogism|Medieval Theories of the Syllogism|Henrik Lagerlund}}
* [http://www.formalontology.it/aristotle-syllogism-categorical.htm Aristotle's Prior Analytics: the Theory of Categorical Syllogism] {{Wayback|url=http://www.formalontology.it/aristotle-syllogism-categorical.htm |date=20100416120736 }} an annotated bibliography on Aristotle's syllogistic
* [http://www.humanities.mq.edu.au/Ockham/x52t06.html Abbreviatio Montana] {{Wayback|url=http://www.humanities.mq.edu.au/Ockham/x52t06.html |date=20100507181444 }} article by Prof. R. J. Kilcullen of Macquarie University on the medieval classification of syllogisms.
* [http://www.multicians.org/thvv/petrus-hispanius.html The Figures of the Syllogism] {{Wayback|url=http://www.multicians.org/thvv/petrus-hispanius.html |date=20100328202209 }} is a brief table listing the forms of the syllogism.
* [https://web.archive.org/web/20090817004242/http://www.fibonicci.co.uk/syllogisms www.fibonicci.co.uk/syllogisms] some fun syllogism tests/quizzes
* [https://web.archive.org/web/20110304101320/http://www.understandingthemind.org/syllogism.pdf Syllogistic Reasoning in Buddhism - Example & Worksheet]

{{三段论}}
{{数理逻辑|state=expanded}}
[[Category:推理规则]]