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{{NoteTA
|G1=Math
}}
[[File:Gegenbauer polynomials.gif|thumb|300px|盖根鲍尔多项式]]
'''盖根鲍尔多项式'''<math>C_n^{(\alpha)}</math>又称'''超球多项式'''，是定义在区间<math>[-1,1]</math>上、权函数为<math>(1-x^2)^{\alpha-1/2}</math>的[[正交多项式]]。它是[[勒让德多项式]]和[[切比雪夫多项式]]的推广，又是[[雅可比多项式]]的特殊情况。它以奥地利数学家[[Leopold Gegenbauer]]命名。

== 性质 ==
盖根鲍尔多项式具有若干性质：

* 盖根鲍尔多项式可由其[[母函数]]表示 {{harv|Stein|Weiss|1971|loc=§IV.2}}:

::<math>\frac{1}{(1-2xt+t^2)^\alpha}=\sum_{n=0}^\infty C_n^{(\alpha)}(x) t^n.</math>

* 盖根鲍尔多项式满足[[递推关系]] {{harv|Suetin|2001}}:

::<math>
\begin{align}
C_0^\alpha(x) & = 1 \\
C_1^\alpha(x) & = 2 \alpha x \\
C_n^\alpha(x) & = \frac{1}{n}[2x(n+\alpha-1)C_{n-1}^\alpha(x) - (n+2\alpha-2)C_{n-2}^\alpha(x)].
\end{align}
</math>

* 盖根鲍尔多项式是盖根鲍尔微分方程的特解 {{harv|Suetin|2001}}:

::<math>(1-x^{2})y''-(2\alpha+1)xy'+n(n+2\alpha)y=0.\,</math>

:当 ''&alpha;''&nbsp;=&nbsp;1/2, 方程约化为勒让德方程, 盖根鲍尔多项式约化为[[勒让德多项式]].

* 可由[[高斯超几何级数]]表示:

::<math>C_n^{(\alpha)}(z)=\frac{(2\alpha)_n}{n!}
\,_2F_1\left(-n,2\alpha+n;\alpha+\frac{1}{2};\frac{1-z}{2}\right).</math>

:(Abramowitz & Stegun [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_561.htm p.&nbsp;561] {{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_561.htm |date=20050817061630 }}). 其中(2&alpha;)<sub>''n''</sub> 为[[上升阶乘幂]]. 具体来说,
::<math>
C_n^{(\alpha)}(z)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k\frac{\Gamma(n-k+\alpha)}{\Gamma(\alpha)k!(n-2k)!}(2z)^{n-2k}.
</math>
* 它是[[雅可比多项式]]的特例 {{harv|Suetin|2001}}:
::<math>C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(2\alpha)_n}{(\alpha+\frac{1}{2})_{n}}P_n^{(\alpha-1/2,\alpha-1/2)}(x).</math>
:因而满足[[罗德里格公式]]
::<math>C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{(-2)^n}{n!}\frac{\Gamma(n+\alpha)\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2n+2\alpha)}(1-x^2)^{-\alpha+1/2}\frac{d^n}{dx^n}\left[(1-x^2)^{n+\alpha-1/2}\right].</math>

== 正交归一性 ==

当''n''&nbsp;≠&nbsp;''m''时，对于固定的''α''和权函数
:<math> w(z) = \left(1-z^2\right)^{\alpha-\frac{1}{2}}.</math>, 
盖根鲍尔多项式在区间[&minus;1,&nbsp;1]上加权正交 (Abramowitz & Stegun [http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_774.htm p.&nbsp;774] {{Wayback|url=http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_774.htm |date=20090924092132 }})

:<math>\int_{-1}^1 C_n^{(\alpha)}(x)C_m^{(\alpha)}(x)(1-x^2)^{\alpha-\frac{1}{2}}\,dx = 0.</math>

归一性：

:<math>\int_{-1}^1 \left[C_n^{(\alpha)}(x)\right]^2(1-x^2)^{\alpha-\frac{1}{2}}\,dx = \frac{\pi 2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2}.</math>

== 应用 ==
盖根鲍尔多项式作为勒让德多项式的扩展经常出现在[[势理论]]和[[谱分析]]中. '''R'''<sup>''n''</sup>空间中的[[牛顿势]]可以在α&nbsp;=&nbsp;(''n''&nbsp;&minus;&nbsp;2)/2情况下展开为盖根鲍尔多项式,

:<math>\frac{1}{|\mathbf{x}-\mathbf{y}|^{n-2}} = \sum_{k=0}^\infty \frac{|\mathbf{x}|^k}{|\mathbf{y}|^{k+n-2}}C_{n,k}^{(\alpha)}(\mathbf{x}\cdot \mathbf{y}).</math>

当''n''&nbsp;=&nbsp;3, 可以得到[[引力势]]的勒让德展开。类似的表达式还有球中[[泊松核]]的展开{{harv|Stein|Weiss|1971}}.

当只考虑'''x'''时，<math>C^{((n-2)/2)}_{n,k}(\mathbf{x}\cdot\mathbf{y})</math> 为[[球谐函数]]。

盖根鲍尔多项式在[[正定函数]]理论中亦有涉及。

== 另见 ==

* [[切比雪夫多项式]]

== 参考文献 ==

* {{Abramowitz_Stegun_ref|22|773}}
* {{citation|last=Bayin|first=S.S.|year=2006|title=Mathematical Methods in Science and Engineering|publisher=Wiley}}, Chapter 5.
*{{dlmf|id=18|title=Orthogonal Polynomials|first=Tom H. |last=Koornwinder|first2=Roderick S. C.|last2= Wong|first3=Roelof |last3=Koekoek||first4=René F. |last4=Swarttouw}}
* {{citation|last1=Stein|first1=Elias|authorlink1=Elias Stein|first2=Guido|last2=Weiss|authorlink2=Guido Weiss|title=Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces|publisher=Princeton University Press|year=1971|isbn=978-0-691-08078-9|location=Princeton, N.J.}}.
* {{springer|title=Ultraspherical polynomials|id=U/u095030|first=P.K.|last=Suetin}}.

[[Category:正交多项式]]
[[Category:特殊超几何函数]]