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在[[数学]]分支[[泛函分析]]中，对于给定的[[C*-代数]] <math>\mathcal A</math> ， '''Gelfand–Naimark–Segal 构造'''（简称'''GNS构造'''）在一个[[C*-代数]]的循环*-表示与该C*-代数上的某类[[線性泛函|线性泛函]]（称为[[态(泛函分析)|态]]）之间建立了对应关系。这种对应关系是通过根据态来显式地构造*-表示来建立的。其名称中的三位数学家分别是[[伊斯拉埃爾·蓋爾范德]] 、 {{Le|Mark Naimark|3=马克·奈马克}}和{{Le|Irving Segal|3=欧文·西格尔}}。

== C*-代数的态与表示 ==
[[C*-代数]] <math>\mathcal A</math> 在[[希尔伯特空间]] <math>H</math> 上的[[*-表示]]是 <math>\mathcal A</math> 到 <math>B(H)</math> 的 [[*-同态]] <math>\pi</math> ，其中 <math>B(H)</math> 是 <math>H</math> 上[[有界算子]]构成的代数。换句话说，<math>\pi</math> 是将 <math>\mathcal A</math> 上的[[對合|对合]]映为 <math>B(H)</math> 上的对合的[[代數同態]]。

下文提及 *-表示时，将默认讨论的是非[[退化 (數學)|退化的]]*-表示。也就是说[[线性生成空间]] <math>\pi(\mathcal A)H</math> 是 <math>H</math> 的[[稠密子集]]。注意，若 <math>\mathcal A</math> 有单位元，则非退化性蕴含了 <math>\pi</math> 的保单位元性质，即 <math>\pi</math> 将 ''<math>\mathcal A</math>'' 的单位元映射到 ''<math>H</math>'' 上的[[恆等函數|恒等算子]] ''<math>I</math>'' 。

C*-代数 <math>\mathcal A</math> 上的[[态(泛函分析)|态]]是范数为 1 的[[正线性泛函]] <math>f</math> 。若 ''<math>\mathcal A</math>'' 具有乘法单位元，则此条件等价于 <math>f(1_{\mathcal A})=I</math> 。

对于希尔伯特空间 <math>H</math> 上的C*-代数 <math>\mathcal A</math> 的表示 <math>\pi</math> 以及 <math>\xi\in H</math> ，如果向量集

: <math>\{\pi(x)\xi:x\in A\}</math>

在 <math>H</math> 中范数稠密，则 <math>\xi,\pi</math> 分别被称为是'''循环向量'''和'''循环表示'''。一个[[不可约表示]]的任何非零向量都是循环的。然而，一般的循环表示中的非零向量可能不是循环向量。

=== GNS 构造 ===
令 <math>\pi</math> 为C*-代数 <math>\mathcal A</math> 在希尔伯特空间 <math>H</math> 上的*-表示，单位向量 <math>\xi</math> 对于 <math>\pi</math> 而言是循环向量。那么<math display="block"> a \mapsto \langle \pi(a) \xi, \xi\rangle </math>是 ''<math>\mathcal A</math>'' 上的一个态。

反过来，通过选择一种典范的表示， <math>\mathcal A</math> 的每个态都可以被视为如上所述的[[态(泛函分析)#向量态|向量态]]。
{{Math theorem
| math_statement = 给定C*-代数 <math>\mathcal A</math> 上的态 <math>\rho</math> ，必有 <math>\mathcal A</math> 在某个希尔伯特空间 <math>H</math> 上的一个*-表示 <math>\pi</math> 以及一个相对 <math>\pi</math> 而言循环的单位向量 <math>\xi</math> ，使得 <math display="block">\forall a\in\mathcal A,\quad\rho(a)=\langle \pi(a) \xi, \xi \rangle.</math>
| name = 定理<ref>[[Kadison, R. V.]], Theorem 4.5.2, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. {{ISBN|978-0821808191}}</ref>
}} {{math proof|proof={{ordered list
| 1 = '''构造希尔伯特空间 <math>H</math> '''

定义 <math>\mathcal A</math> 上的一个正半定[[半线性形式]]如下
<math display="block"> \langle a, b \rangle =\rho(b^*a), \; a, b \in A.</math>
根据[[柯西-施瓦茨不等式]]， <math>\mathcal A</math> 中的退化元（也就是说即满足 <math>\rho(a^*a)=0</math> 的 <math>a</math> ）构成了 <math>\mathcal A</math> 的一个子空间 <math>\mathcal I</math> 。通过C*-代数式的论证，可以证明<ref>{{cite book |first1=Masamichi|last1=Takesaki |title=Theory of operator algebras I. |url=https://archive.org/details/theoryofoperator0000take|publisher=Springer-Verlag |location=Heidelberg Berlin |isbn=978-1-4612-6188-9 |page=[https://archive.org/details/theoryofoperator0000take/page/n48 37] |edition=1|year=1979}}</ref> <math>\mathcal I</math> 是 <math>\mathcal A</math> 的一个[[理想 (环论)|左理想]]（即 <math>\rho</math> 的'''左核''')。实际上，它是 <math>\rho</math> 的核所含的最大的左理想。[[商空间]] <math>\mathcal A/\mathcal I</math> 可配备内积 <math>\langle a+I,b+I\rangle :=\rho(b^*a),\; a,b\in A</math> 而成为内积空间。再利用内积诱导的范数进行[[完备度量空间#完备化|完备化]]便得到被记作 <math>H</math> 的希尔伯特空间.

| 2 = '''构造表示 <math>\pi</math> '''
{{pb}}
为定义 <math>\mathcal A</math> 到 <math>B(H)</math> 上的映射 <math>\mathcal A</math> ，先定义 <math>\pi</math> 到 <math>B(\mathcal A/\mathcal I)</math> 上的映射。为此对于 <math>a\in\mathcal A</math> ，定义算子 <math>\pi(a)</math> 的行为如下： <math>\pi(a)(b+\mathcal I)=ab+\mathcal I</math> ，其中 <math>x+\mathcal I</math> 表示商空间中的 <math>x\in\mathcal A</math> 所属的等价类。类似前面对 <math>\mathcal I</math> 是左理想的证明，可以证明<ref>{{cite book |first1=Masamichi|last1=Takesaki |title=Theory of operator algebras I. |url=https://archive.org/details/theoryofoperator0000take|publisher=Springer-Verlag |location=Heidelberg Berlin |isbn=978-1-4612-6188-9 |page=[https://archive.org/details/theoryofoperator0000take/page/40 40] |edition=1|year=1979}}</ref>前述的算子 <math>\pi(a)</math> 是有界的，故可以唯一地[[映射的扩张|扩张]]为 <math>H</math> 上的有界算子。注意希尔伯特空间上算子的[[伴随算子|伴随]]的定义， <math>\pi</math> 显然是保对合的，至此便证明了它是一个*-同态。

| 3 = '''找出循环单位向量 <math>\xi</math> '''
{{pb}}
若 <math>\mathcal A</math> 有乘法单位元 <math>1</math> ，则显然 <math>\mathcal A</math> 中单位元所在的等价类就是 <math>H</math> 中相对于 <math>\pi</math> 而言的循环向量 <math>\xi</math> 。若 <math>\mathcal A</math> 没有乘法单位元，可考虑 <math>\mathcal A</math> 的{{Le|Approximate identity|3=渐进单位元}} <math>\{e_\lambda\}</math> 。由于正线性泛函有界， <math>\{e_\lambda\}</math> 在商空间中的等价类将收敛于某个向量 <math>\xi\in H</math> ，即所要寻找的循环向量。

根据 <math>H</math> 上内积的定义，态 <math>\rho</math> 显然可由上述循环表示和循环向量构造而来，于是此定理证毕。
}}}}

在上述定理的证明中，根据 <math>\mathcal A</math> 上的态产生*-表示的方法称为'''GNS构造'''。

对于C*-代数 <math>\mathcal A</math> 上的一个态，相应的GNS表示本质上由 <math>\rho(a) = \langle \pi(a) \xi, \xi \rangle</math> 唯一确定了。下面的定理说明了这一点：
{{Math theorem
| math_statement = 设 <math>\pi,\pi'</math> 是 <math>\mathcal A</math> 分别在希尔伯特空间 <math>H,H'</math> 上的*-表示，相应的循环单位向量分别是 <math>\xi,\xi'</math> 。对于 <math>\mathcal A</math> 上给定的态 <math>\rho</math> ，若其满足 <math display="block">\forall a\in\mathcal A,\quad\rho(a) = \langle \pi(a) \xi, \xi \rangle = \langle \pi'(a) \xi ', \xi ' \rangle</math> ，则 <math>\pi,\pi'</math> 是幺正等价的*-表示，也就是说存在一[[幺正算符|幺正算子]] <math>U:H\to H'</math> 使得 <math display="block">\forall a\in\mathcal A,\quad\pi'(a)=U\pi(a)U^*.</math> 该算子具有性质
<math>\forall a\in\mathcal A,\quad U\pi(a)\xi=\pi'(a)\xi'.</math> 
| name = 定理<ref>[[Kadison, R. V.]], Proposition 4.5.3, Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory, American Mathematical Society. {{ISBN|978-0821808191}}</ref>
}}

=== GNS构造的重要性 ===
GNS构造是[[盖尔范德-奈马克定理]]证明的核心，该定理将C*-代数刻画为算子代数。一个C*-代数具有足够多的纯态（见下文）来使得相应不可约GNS表示的[[直和]]成为[[忠实表示|忠实]]的。

全体态对应的GNS表示的直和称为 <math>\mathcal A</math> 的'''[[万有表示]]'''，其包含有每个循环表示。由于每个*-表示都是循环表示的直和，因此 <math>\mathcal A</math> 的每个 *-表示可在万有表示之副本之和的直和分解中找到。

若 <math>\Phi</math> 是 C*-代数 <math>\mathcal A</math> 的万有表示，则 <math>\Phi(\mathcal A)</math> 在[[弱算子拓扑]]中的[[闭包 (拓扑学)|闭包]]称为 <math>\mathcal A</math> 的'''[[包络冯·诺依曼代数|包络冯诺依曼代数]]'''。它可以视为是双对偶 <math>\mathcal A^{**}</math> {{Clarify}}。

== 不可约性 ==
[[不可约表示|不可约]]*-表示和态所构成的[[凸集]]的[[极点(凸集)|极点]]（[[純態]]）之间的关系也很重要。 <math>H</math> 上的表示 <math>\pi</math> 是不可约的，当且仅当 <math>H</math> 没有非平凡的在任一 <math>\pi(x)</math> 下不变的闭子空间，这里所谓平凡的子空间是指 <math>H, \{0\}</math> 。
{{Math theorem
| math_statement = 有单位元的C*代数 <math>\mathcal A</math> 上的态构成一个弱*-拓扑意义下的[[紧致]][[凸集]]。更普遍的是，（无论C*代数是否有单位元）范数不大于一的正线性泛函构成一紧凸集。
}}
这些结果可由[[巴拿赫-阿勞格魯定理]]直接得出。

作为有单位元的交换代数，对于某个[[紧致]]的 <math>X</math> 上的连续函数所构成的C*-代数 <math>\mathcal C(X)</math> ， [[里斯-马尔可夫-角谷表示定理]]指出，范数不超过一的正泛函可视作 <math>X</math> 上一个[[总质量]]不超过一的博雷尔正测度。根据{{Le|克林-米尔曼定理|Krein-Milman theorem}}，极点态则对应于[[狄拉克测度]]。

另一方面， <math>\mathcal C(X)</math> 的表示的不可约性等价于其是一维的。因此，为使 <math>\mathcal C(X)</math> 对应于测度 <math>\mu</math> 的GNS 表示是不可约的，须且仅须 <math>\mu</math> 是一极点态。事实上，这对于一般的C*-代数也成立。
{{Math theorem
| math_statement = 设 <math>\pi</math> 是C*-代数 <math>\mathcal A</math> 在希尔伯特空间 <math>H</math> 上的*-表示，相应的循环单位向量是 <math>\xi</math> ，相应的态是 <math>f</math> 。当且仅当 <math>f</math> 是范数不大于一的正线性泛函所构成之凸集的极点时，表示 <math>\pi</math> 是不可约的。
}}
为证明此结果，首先须注意，一个表示是不可约的当且仅当 <math>\pi(\mathcal A)</math> 的[[中心化子和正规化子|中心化子]]（记作 <math>\pi(\mathcal A)'</math> ）由单位元的标量倍数构成。

<math>\mathcal A</math> 上任一被 <math>f</math> [[控制(数学分析)|控制]]的正线性泛函 <math>g</math> 具有形式<math display="block"> g(x^*x) = \langle \pi(x) \xi, \pi(x) T_g \, \xi \rangle, </math>其中 <math>T_g\in\pi(\mathcal A)'</math> 是某个正算子，其在[[算子序]]下满足 <math>0\leq T \leq1</math>。这是[[拉东-尼科迪姆定理]]的一个版本。

对于这样的 <math>g</math> ，可以将 <math>f</math> 写为如下正线性泛函的和： <math> f = g + g' </math> 。因此 <math>\pi</math> 幺正等价于 <math>\pi_g \oplus \pi_{g'}</math> 的一个子表示。这表明当且仅当任何这样的 <math>\pi_g</math> 都幺正等价于 <math>\pi</math> ，即 <math>g</math> 是 <math>f</math> 的标量倍数， <math>\pi</math> 才是不可约的。于是便证明了该定理。

上文提到的极点态往往被称为纯态，但须注意纯态的定义是全体态所构成之凸集的极点。

上述C*-代数的定理可推广到具有渐进单位元的[[B*-代数]]。

== 推广 ==
刻画[[完全正映射]]的[[斯坦斯普林扩张定理]]是GNS构造的一个重要推广。

== 历史 ==
盖尔凡德和奈马克关于盖尔凡德-奈马克定理的论文发表于1943年。<ref>{{Cite journal |last=[[I. M. Gelfand]], [[M. A. Naimark]] |year=1943 |title=On the imbedding of normed rings into the ring of operators on a Hilbert space |url=http://mi.mathnet.ru/eng/msb6155 |journal=[[Matematicheskii Sbornik]] |volume=12 |issue=2 |page=197–217}} (also [https://books.google.com/books?id=DYCUp0JYU6sC&pg=PA3 Google Books], see pp.&nbsp;3–20)</ref>西格尔意识到了其工作中隐含的构造，并以更明显的形式呈现出来。 

西格尔在其1947年的论文中表明，对于可由希尔伯特空间上的算子代数描述的任何物理系统，考虑 C*-代数的<u>不可约</u>表示就足够了。在量子理论中，这意味着C*-代数是由[[可觀察量|可观测量]]生成的。正如西格尔所指出的，[[约翰·冯·诺伊曼|约翰·冯·诺依曼]]早先已经证明过这一点，但仅限于非相对论性的薛定谔-海森堡理论的特殊情况。<ref>{{Cite journal |last=[[I. E. Segal]] |year=1947 |title=Irreducible representations of operator algebras |url=https://www.ams.org/journals/bull/1947-53-02/S0002-9904-1947-08742-5/S0002-9904-1947-08742-5.pdf |journal=Bull. Am. Math. Soc. |volume=53 |issue=2 |page=73–88 |doi=10.1090/s0002-9904-1947-08742-5 |doi-access=free}}</ref>

== 参见 ==

* [[斯坦斯普林扩张定理]]

== 参考资料 ==
 {{refbegin}}
* [[William Arveson]], ''An Invitation to C*-Algebra'', Springer-Verlag, 1981
*[[Kadison, Richard]], ''Fundamentals of the Theory of Operator Algebras, Vol. I : Elementary Theory'', American Mathematical Society. {{ISBN|978-0821808191}}.
* [[Jacques Dixmier]], ''Les C*-algèbres et leurs Représentations'', Gauthier-Villars, 1969.<br/>English translation: {{cite book|last=Dixmier|first=Jacques|title=C*-algebras|publisher=North-Holland|year=1982|isbn=0-444-86391-5}}
* Thomas Timmermann, ''An invitation to quantum groups and duality: from Hopf algebras to multiplicative unitaries and beyond'', European Mathematical Society, 2008, {{ISBN|978-3-03719-043-2}} – [https://books.google.com/books?id=S8sZiieo-04C&pg=PA371 Appendix 12.1, section: GNS construction (p. 371)]
* Stefan Waldmann: ''On the representation theory of [[deformation quantization]]'', In: ''Deformation Quantization: Proceedings of the Meeting of Theoretical Physicists and Mathematicians, Strasbourg, May 31-June 2, 2001 (Studies in Generative Grammar) '', Gruyter, 2002, {{ISBN|978-3-11-017247-8}}, p.&nbsp;107–134 – [https://books.google.com/books?id=xuq8CHNEFKoC&pg=PA113 section 4. The GNS construction (p. 113)]
*{{cite book|author=G. Giachetta, L. Mangiarotti, [[Gennadi Sardanashvily|G. Sardanashvily]]|year=2005|title=Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics|publisher=World Scientific|isbn=981-256-129-3}}
{{refend}}

=== 内联引用 ===
{{Reflist}}
[[Category:泛函分析]]
[[Category:C*-代数]]
[[Category:公理化量子场论]]
[[Category:包含证明的条目]]