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{{orphan|time=2015-07-05T02:48:23+00:00}}
{{NoteTA|G1=物理學}}
'''盖尔曼–劳定理'''（{{lang-en|'''Gell-Mann and Low theorem'''}}）是[[量子场论]]中的重要定理，它说明了有相互作用的多体系统的基态（真空态）与相应的无相互作用多体系统之间的关系。1951年由[[默里·盖尔曼]]和{{le|弗朗西斯·劳|Francis E. Low}}证明。该定理的重要意义在于，它将有相互作用系统的[[格林函数]]和无相互作用系统的格林函数联系起来<ref name="condensed">{{cite book|title=凝聚态量子理论|author=尹道乐，尹澜|isbn=9787301161609|chapter=2}}</ref>。尽管一般用于基态，盖尔曼–劳定理实际上可以应用于体系哈密顿量的任一个本征态。其原始证明<ref name="gl">M. Gell-Mann and F. Low: "Bound States in Quantum Field Theory", [http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.84.350 Phys. ][http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.84.350 Rev. 84, 350 (1951)]</ref>用到微扰理论，它将多体系统中的相互作用视为微扰，并通过无限慢的过程（绝热过程）引入该微扰，从而将有相互作用的多体系统与对应的无相互作用的系统联系起来。

== 原理的表述 ==
设 <math>|\Psi_0\rangle</math> 是 <math>H_0</math> 的一个本征态，能量为 <math>E_0</math> 。定义相互作用的哈密顿量为 <math>H=H_0 + gV</math>，其中 <math>g</math> 是耦合常数， <math>V</math> 是相互作用项，定义带参量的哈密顿 <math>H_\epsilon=H_0 + e^{-\epsilon |t|}gV</math> ，可以看到，当 <math>|t|\rightarrow\infty</math> 时，<math>H_\epsilon=H_0</math>。而当<math>t=0</math>时，<math>H_\epsilon=H</math>。令 <math>U_{\epsilon I}</math> 为对应于<math>H_\epsilon</math>的[[相互作用繪景]]（用下标I表示）下的时间演化算符。盖尔曼–劳定理说的是，若 <math>\epsilon\rightarrow 0^+</math> 时，
: <math> |\Psi^{(\pm)}_\epsilon \rangle = \frac{ U_{\epsilon I} (0,\pm\infty)  |\Psi_0 \rangle}{\langle \Psi_0 | U_{\epsilon I}(0,\pm\infty)|\Psi_0\rangle} </math>
的极限存在，则 <math>|\Psi^{(\pm)}_\epsilon \rangle</math> 就是 <math>H</math> 的本征态。

注意当<math>\epsilon\rightarrow 0^+</math>时，随着时间{{mvar|t}}的增加，相互作用项实际上是以无限慢的速度引入的，这称为绝热连续过程<ref name="condensed" />，此时称<math>H_\epsilon</math>构成<math>H_0</math>与<math>H</math>之间的一个绝热连接。

盖尔曼–劳定理本身并没有说当<math>|\Psi_0\rangle</math>是基态时，<math>|\Psi^{(\pm)}_\epsilon \rangle</math>也是基态，也就是说，没有排除能级在绝热连接时发生交叉的可能。不过，在微扰论的条件满足的前提下，一般认为当<math>|\Psi_0\rangle</math>为基态时，<math>|\Psi^{(\pm)}_\epsilon \rangle</math>也是基态<ref name="condensed" />。

== 证明 ==
原始的论文是通过演化算符的戴森展开式来完成证明的，而Molinari则将其有效性推广到微扰论成立的范围之外。下面介绍Molinari的方法<ref name="molinari">L.G. Molinari: "Another proof of Gell-Mann and Low's theorem", [http://link.aip.org/link/doi/10.1063/1.2740469 J. Math. ] {{webarchive|url=https://archive.today/20130223180232/http://link.aip.org/link/doi/10.1063/1.2740469 |date=2013-02-23 }}[http://link.aip.org/link/doi/10.1063/1.2740469 Phys. 48, 052113 (2007)] {{webarchive|url=https://archive.today/20130223180232/http://link.aip.org/link/doi/10.1063/1.2740469 |date=2013-02-23 }}</ref>。在 <math>H_\epsilon</math> 中令 <math>g=e^{\epsilon \theta}</math>，由时间演化算符满足的[[薛定谔方程]]
: <math> i\hbar \partial_{t_1} U_\epsilon(t_1,t_2) = H_\epsilon(t_1) U_\epsilon(t_1,t_2)</math>
及条件 <math>U_\epsilon(t,t)=1</math>，可以写出方程的形式解
: <math>
U_\epsilon(t_1,t_2) = 1+ \frac{1}{i\hbar} \int_{t_2}^{t_1} dt' (H_0 + e^{\epsilon(\theta -|t'|)} V) U_\epsilon(t',t_2).
</math>
先集中考虑 <math>0\geq t_2\geq t_1</math> 的情形，换元后得到，
: <math>
U_\epsilon(t_1,t_2) = 1+ \frac{1}{i\hbar} \int_{\theta +t_2}^{\theta+t_1} dt' (H_0 + e^{\epsilon t'} V) U_\epsilon(t'-\theta,t_2).
</math>
于是有
: <math>
\partial_\theta U_\epsilon(t_1,t_2) = \epsilon g \partial_g U_\epsilon(t_1,t_2) = \partial_{t_1} U_\epsilon(t_1,t_2) + \partial_{t_2} U_\epsilon(t_1,t_2). 
</math>
将上式与前面提到的薛定谔方程及其伴式
: <math> -i\hbar \partial_{t_1} U_\epsilon(t_2,t_1) =  U_\epsilon(t_2,t_1) H_\epsilon(t_1) </math>
结合就有，
: <math>
i\hbar \epsilon g \partial_g U_\epsilon(t_1,t_2) = H_\epsilon(t_1)U_\epsilon(t_1,t_2)- U_\epsilon (t_1,t_2)H_\epsilon (t_2).
</math>

<math>H_{\epsilon I}</math>与<math>U_{\epsilon I}</math> 之间的关系式形式上与上式相同，事实上，将上式两边各左乘 <math>e^{i H_0 t_1/\hbar}</math>，右乘 <math>e^{i H_0 t_2/\hbar}</math> ，并利用关系
: <math>
U_{\epsilon I} (t_1,t_2) = e^{i H_0 t_1/\hbar} U_{\epsilon}(t_1,t_2) e^{-i H_0 t_2 /\hbar}.
</math>
就可以得到<math>H_{\epsilon I}</math>与<math>U_{\epsilon I}</math> 之间的关系式。

现在，令<math>t_1=0, t_2=+\infty</math>，等式两边作用在<math>|\Psi_0\rangle</math>上，并注意到<math>|\Psi_0\rangle</math>是<math>H_\epsilon(+\infty)=H_0</math>的本征态，就有
: <math>
\left(H_{\epsilon, t=0}-E_0 + i \hbar \epsilon g \partial_g\right) U_{\epsilon I}(0,\infty) |\Psi_0\rangle = 0.
</math>
对于时间为负值的情况，证明完全类似，最后就得到，
: <math>
\left(H_{\epsilon, t=0}-E_0 \pm i \hbar \epsilon g \partial_g\right) U_{\epsilon I}(0,\pm\infty) |\Psi_0\rangle = 0.
</math>
下面以时间为负值为例继续证明，为清晰起见，先把算符写成简略形式，即将<math>U_{\epsilon I}(0,-\infty)</math>简写作<math>U</math>。

: <math>i \hbar \epsilon g \partial_g \left(U|\Psi_0\rangle\right) = (H_\epsilon-E_0)U|\Psi_0\rangle.</math>

下面计算 <math>i \hbar \epsilon g \partial_g | \Psi_\epsilon^- \rangle</math>，把<math>| \Psi_\epsilon^- \rangle</math>的定义式代入，并利用上面的关系式，可得，
: <math>
\begin{align}
i \hbar \epsilon g \partial_g | \Psi_\epsilon ^-\rangle &= 
\frac{1}{\langle\Psi_0| U |\Psi_0 \rangle} (H_\epsilon-E_0) U|\Psi_0\rangle 
- \frac{U|\Psi_0\rangle }{{\langle\Psi_0 |U| \Psi_0 \rangle}^2} \langle \Psi_0 | H_\epsilon-E_0 | \Psi_0\rangle \\

&= (H_\epsilon-E_0)|\Psi_\epsilon^-\rangle - |\Psi_\epsilon^-\rangle \langle \Psi_0 |H_\epsilon-E_0|\Psi_\epsilon^-\rangle \\

& = \left[ H_\epsilon - E^- \right] |\Psi_\epsilon^-\rangle.
\end{align}
</math>

式中 <math>E^- = E_0 + \langle\Psi_0 | H_\epsilon-H_0 | \Psi_\epsilon^-\rangle</math>.

即
: <math>
\left[ H_\epsilon - E^-  -i\hbar \epsilon g \partial_g \right] |\Psi_\epsilon^-\rangle=0.</math>

类似地可证明 <math>|\Psi_\epsilon^+\rangle</math>的关系式，综合起来可写成：
: <math>
\left[ H_\epsilon - E^\pm  \pm i\hbar \epsilon g \partial_g \right] |\Psi_\epsilon^\pm\rangle=0</math>

然后取<math>\epsilon\rightarrow0^+</math>的极限，即可证明<math>|\Psi_\epsilon^\pm\rangle</math>是<math>H</math>的本征函数，本征值分别为<math>E^\pm</math><ref name="molinari" />。

== 参考文献 ==
{{reflist}}
*K. Hepp: Lecture Notes in Physics (Springer-Verlag, New York, 1969), Vol. 2.
*G. Nenciu and G. Rasche: "Adiabatic theorem and Gell-Mann-Low formula", Helv. Phys. Acta 62, 372 (1989).
*A.L. Fetter and J.D. Walecka: "Quantum Theory of Many-Particle Systems", McGraw–Hill (1971)

[[Category:量子场论]]