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{{NoteTA|G1=Math}}
在{{link-en|拓樸圖論|Topological_graph_theory}}中，嵌入圖的'''皮特里對偶'''（Petrie Dual）是指所有面皆為2-流形盤面之{{link-en|嵌入圖|Graph embedding}}的另一種{{link-en|嵌入圖|Graph embedding|嵌入}}，且是含有前述嵌入圖之嵌入-{zh-hans:对象;zh-hant:物件;}-的[[皮特里多邊形]]作為[[維面]]的圖嵌入<ref name=gorini>{{citation|title=Geometry at Work|series=MAA Notes|volume=53|first=Catherine A.|last=Gorini|publisher=Cambridge University Press|year=2000|isbn=9780883851647|page=181|url=https://books.google.com/books?id=Eb6uSLa2k6IC&pg=PA181}}</ref>。皮特里對偶亦可以作為一種多面體變換，稱為'''皮特里變換'''（Petrie Operation），其會將[[原像 (幾何)|原像]]的面以[[皮特里多邊形]]做替換，然而變換結果通常會因為面轉變為無法確定唯一封閉區域的皮特里多邊形而導致[[體積]]與[[表面積]]不存在。<ref name="McMullen1997">{{Cite journal
|author=McMullen, P., Schulte, E.
|year=1997
|date=1997/06/01
|title=Regular Polytopes in Ordinary Space
|journal=Discrete & Computational Geometry
|page=pp.449-478
|volume=17
|issue=4
|url=https://link.springer.com/article/10.1007/PL00009304
|issn=1432-0444
|doi=10.1007/PL00009304
|access-date=2020-08-09
|archive-date=2018-06-03
|archive-url=https://web.archive.org/web/20180603120031/https://link.springer.com/article/10.1007%2FPL00009304
|dead-url=no
}}</ref>

若[[原像 (幾何)|原像]]計為<math>G</math>，則變換結果可以用<math>G^\pi</math>表示<ref name=arp>{{citation|title=Abstract Regular Polytopes|volume=92|series=Encyclopedia of Mathematics and its Applications|first1=Peter|last1=McMullen|first2=Egon|last2=Schulte|publisher=Cambridge University Press|year=2002|isbn=9780521814966|page=192|url=https://books.google.com/books?id=JfmlMYe6MJgC&pg=PA192}}</ref>。

== 性質 ==
皮特里對偶與一般的{{link-en|對偶圖|Dual_graph|對偶變換}}一樣，可做透過重複做兩次相同變換使其變回[[原像 (幾何)|原像]]<ref name="article cunningham2012self">{{Cite journal
  |title=Self-dual, self-petrie covers of regular polyhedra
  |author=Cunningham, Gabe
  |journal=Symmetry
  |volume=4
  |number=1
  |pages=208-218
  |year=2012
  |publisher=Molecular Diversity Preservation International}}</ref>。而皮特里對偶與一般的對偶變換不同之處在於，一般的對偶變換是在同一個曲面上嵌入不同的圖，而皮特里對偶是將相同圖的嵌入在不同的曲面上。<ref name=gorini/>

皮特里對偶與一般的{{link-en|對偶圖|Dual_graph|對偶變換}}是{{link-en|威爾森變換|Wilson operation}}的其中兩種，且這些變換共同組成了一個[[群]]。<ref name=jt>{{citation
 | last1 = Jones | first1 = G. A.
 | last2 = Thornton | first2 = J. S.
 | issue = 2
 | journal = Journal of Combinatorial Theory
 | mr = 733017
 | pages = 93–103
 | series = Series B
 | title = Operations on maps, and outer automorphisms
 | doi = 10.1016/0095-8956(83)90065-5
 | volume = 35
 | year = 1983}}</ref>

== 正多面體的皮特里對偶 ==
對[[正多面體]]做皮特里變換可以得到[[正則地區圖]]<ref name=arp/>。其變換結果會有g/2h個扭歪h邊形，其中g為群的階數、h為群的考克斯特數。舉例來說，立方體的皮特里對偶是一個[[二分图]]，由4個<ref group="註">立方體的八面體對稱性階數為48、考克斯特數為6，故其[[四面體#四面體列表|具有<math>48/\left(2\times 6\right)=4</math>個面]]</ref>[[扭歪六邊形]]組成，每個扭歪六邊形環繞於立方體的赤道面上。在拓撲上，這個變換等同將圖嵌入到環面上。<ref name=gorini/>

凸正多面體的皮特里對偶列舉如下<ref name="McMullen1997"/>：
*{{Anchor|皮特里正四面體|皮特里四面體}}[[皮特里正四面體]]，[[施萊夫利符號]]{3,3}<sup>{{pi}}</sup>，是[[正四面體]]經皮特里變換的結果，由3個正扭歪四邊形組成，共有3個面、6條稜和4個頂點，其[[欧拉示性数]]''χ''為1，與[[立方體半形]]{4,3}/2拓樸同構<ref name="weddslist pdual">{{Cite web|url=http://www.weddslist.com/rmdb/pages/relations/pdual.php|title=Petrie Duals|publisher=weddslist.com|access-date=2020-08-09|archive-date=2020-10-22|archive-url=https://web.archive.org/web/20201022181344/http://www.weddslist.com/rmdb/pages/relations/pdual.php|dead-url=no}}</ref>。
*{{Anchor|皮特里正六面體|皮特里正方體|皮特里立方體}}[[皮特里立方體]]，[[施萊夫利符號]]{4,3}<sup>{{pi}}</sup>，是[[立方體]]經皮特里變換的結果，由4個[[扭歪六邊形|正扭歪六邊形]]組成，共有4個面、12條稜和8個頂點，其[[欧拉示性数]]''χ''為0<ref name="article deza2004zigzag">{{Cite journal
  |title=Zigzag structure of complexes
  |author=Deza, Michel and Dutour, Mathieu
  |url=https://arxiv.org/abs/math/0405279
  |journal=arXiv preprint math/0405279
  |year=2004}}</ref>。 其也可以視為由4個[[正六邊形鑲嵌]]之面構成的環形多面體{6,3}<sub>(2,0)</sub>{{#tag:ref|[[哈罗德·斯科特·麦克唐纳·考克斯特|Coxeter]] 1980<ref name="Coxeter 1980">{{citation
 | last1 = Coxeter | first1 = H. S. M. | author1-link = Harold Scott MacDonald Coxeter
 | last2 = Moser | first2 = W. O. J.
 | edition = 4th
 | isbn = 978-0-387-09212-6
 | publisher = Springer Verlag
 | series = Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete
 | title = Generators and Relations for Discrete Groups
 | volume = 14
 | year = 1980}}</ref>, 8.4 Maps of type {3,6} or {6,3} on a torus.}}。
*{{Anchor|皮特里正八面體|皮特里八面體}}[[皮特里正八面體]]，[[施萊夫利符號]]{3,4}<sup>{{pi}}</sup>，是[[正八面體]]經皮特里變換的結果，由4個[[扭歪六邊形|正扭歪六邊形]]組成，共有4個面、12條稜和6個頂點，其[[欧拉示性数]]''χ''為[[−2]]<ref name="article deza2004zigzag"/>，並存在有{6,4}<sub>3</sub>類型的四階六邊形雙曲鑲嵌之映射。<ref name="Deza, Michel 2011">{{Cite journal
|author = Deza, Michel
|date = 2011-01
|title = Note on Petri duals and hypercube embeddings of semiregular polyhedra
|volume = 22
|journal = Symmetry}}</ref>
*{{Anchor|皮特里正十二面體|皮特里十二面體}}[[皮特里正十二面體]]，[[施萊夫利符號]]{5,3}<sup>{{pi}}</sup>，是[[正十二面體]]經皮特里變換的結果，由6個正扭歪十邊形組成，共有6個面、32條稜和20個頂點，其[[欧拉示性数]]''χ''為-4<ref name="article deza2004zigzag"/>，並存在有{10,3}<sub>5</sub>類型的正十邊形雙曲鑲嵌之映射。<ref name="Deza, Michel 2011"/>
*{{Anchor|皮特里正二十面體|皮特里二十面體}}[[皮特里正二十面體]]，[[施萊夫利符號]]{3,5}<sup>{{pi}}</sup>，是[[正二十面體]]經皮特里變換的結果，由6個正扭歪十邊形組成，共有6個面、32條稜和12個頂點，其[[欧拉示性数]]''χ''為-12<ref name="article deza2004zigzag"/>，並存在有{10,5}<sub>3</sub>類型的五階正十邊形雙曲鑲嵌之映射。<ref name="Deza, Michel 2011"/>
{| class=wikitable
|+ 正多面體的皮特里對偶
!名稱
![[皮特里正四面體]]
![[皮特里立方體]]
![[皮特里正八面體]]
![[皮特里正十二面體]]
![[皮特里正二十面體]]
|- align=center
![[施萊夫利符號]]
|{3,3}<sup>{{pi}}</sup> ,  {4,3}<sub>3</sub>
|{4,3}<sup>{{pi}}</sup> ,  {6,3}<sub>4</sub>
|{3,4}<sup>{{pi}}</sup> ,  {6,4}<sub>3</sub>
|{5,3}<sup>{{pi}}</sup> ,  {10,3}
|{3,5}<sup>{{pi}}</sup> ,  {10,5}
|- align=center
!(頂點數,邊數,面數), [[欧拉示性数|&chi;]]
|(4,6,3), ''&chi;'' = 1||(8,12,4), ''&chi;'' = 0||(6,12,4), ''&chi;'' = −2||(20,30,6), ''&chi;'' = −4||(12,30,6), ''&chi;'' = −12
|- align=center
!rowspan=2|面
|rowspan=2|3個正扭歪四邊形<br/>[[File:Face_of_petrial_tetrahedron.gif|120px]]
|colspan=2 style="border-bottom-style:none;"|4個正扭歪六邊形
|colspan=2 style="border-bottom-style:none;"|6個正扭歪十邊形
|- align=center
|style="border-top-style:none;"|[[File:Face_of_petrial_cube.gif|120px]]
|style="border-top-style:none;"|[[File:Face_of_petrial_octahedron.gif|120px]]
|style="border-top-style:none;"|[[File:Face_of_petrial_dodecahedron.gif|120px]]
|style="border-top-style:none;"|[[File:Face_of_petrial_icosahedron.gif|120px]]
|- align=center
!圖像
|[[File:Tetrahedron_3_petrie_polygons.png|120px]]
|[[File:Cube_4_petrie_polygons.png|120px]]
|[[File:Octahedron_4_petrie_polygons.png|120px]]
|[[File:Petrial_dodecahedron.png|120px]]
|[[File:petrial_icosahedron.png|120px]]
|- align=center
!旋轉動畫
|[[File:Petrial_tetrahedron.gif|120px]]
|[[File:Petrial_cube.gif|120px]]
|[[File:Petrial octahedron.gif|120px]]
|[[File:Petrial_dodecahedron.gif|120px]]
|[[File:petrial_icosahedron.gif|120px]]
|- align=center valign=bottom
!相關圖
|[[File:Hemicube.svg|160px]]<BR>{4,3}<sub>3</sub> = [[立方體半形|{4,3}/2]] = {4,3}<sub>(2,0)</sub>
|[[File:Regular map 6-3 2-0.png|160px]]<BR>{6,3}<sub>3</sub> = {6,3}<sub>(2,0)</sub>
|[[File:Regular_map_6_4-3_pattern.png|160px]]<BR>{6,4}<sub>3</sub> = {6,4}<sub>(4,0)</sub>
|[[File:Regular map 10-3 5 pattern.png|160px]]<BR>{10,3}<sub>5</sub>
|{10,5}<sub>3</sub>
|}
非凸正多面體也有對應的皮特里對偶列舉如下<ref name="McMullen1997"/>：
{| class=wikitable
|+ [[星形正多面體]]的皮特里對偶
!名稱
![[皮特里大十二面體]]
![[皮特里小星形十二面體]]
![[皮特里大二十面體]]
![[皮特里大星形十二面體]]
|- align=center
![[施萊夫利符號]]
|{5,5/2}<sup>{{pi}}</sup>  , {6,5/2}
|{5/2,5}<sup>{{pi}}</sup>  , {6,5}
|{3,5/2}<sup>{{pi}}</sup>  , {10/3,5/2}
|{5/2,3}<sup>{{pi}}</sup>  , {10/3,3}
|- align=center
!(頂點數,邊數,面數), [[欧拉示性数|&chi;]]
|(12,30,10), ''&chi;'' = -8||(12,30,10), ''&chi;'' = -8||(12,30,6), ''&chi;'' = -12||(20,30,6), ''&chi;'' = -4
|- align=center
!rowspan=2|面
|colspan=2 style="border-bottom-style:none;"|10個正扭歪六邊形||colspan=2 style="border-bottom-style:none;"|6個正扭歪十邊形
|- align=center
|style="border-top-style:none;"|[[File:Face of petrial great dodecahedron.gif|120px]]
|style="border-top-style:none;"|[[File:Face of petrial small stellated dodecahedron.gif|120px]]
|style="border-top-style:none;"|[[File:Face of petrial great icosahedron.gif|120px]]
|style="border-top-style:none;"|[[File:Face of petrial great stellated dodecahedron.gif|120px]]
|- align=center
!圖像
|[[File:Petrial_great_dodecahedron.png|120px]]
|[[File:Petrial small stellated dodecahedron.png|120px]]
|[[File:Petrial great icosahedron.png|120px]]
|[[File:Petrial great stellated dodecahedron.png|120px]]
|- align=center
!旋轉動畫
|[[File:Petrial_great_dodecahedron.gif|120px]]
|[[File:Petrial small stellated dodecahedron.gif|120px]]
|[[File:Petrial great icosahedron.gif|120px]]
|[[File:Petrial great stellated dodecahedron.gif|120px]]
|}

== 半正多面體的皮特里對偶 ==
皮特里多邊形的概念亦可以推廣到[[半正多面體]]中<ref name="Deza, Michel 2011"/>。
{| class=wikitable
|+ 部分的半正多面體皮特里對偶
!名稱
!皮特里三角柱<ref name="Deza, Michel 2011"/>
!皮特里截角四面體<ref name="Deza, Michel 2011"/><ref name="article deza2004zigzag"/>
!皮特里截半立方體<ref name="Deza, Michel 2011"/><ref name="article deza2004zigzag"/>
|- align=center
!原像
![[正三角柱]]
![[截角四面體]]
![[截半立方體]]
|- align=center
!(頂點數,邊數,面數)
|(6,9,3)||(12,18,3)||(12,24,6)
|- align=center
!面
|3個扭歪六邊形<br/>[[File:Face of petrial triangular prism.gif|120px]]
|3個扭歪十二邊形<br/>[[File:Face of petrial truncated tetrahedron.gif|120px]]
|6個扭歪八邊形<br/>[[File:Face of petrial cuboctahedron.gif|120px]]
|- align=center
!旋轉動畫
|[[File:Petrial triangular prism.gif|120px]]
|[[File:Petrial truncated tetrahedron.gif|120px]]
|[[File:Petrial cuboctahedron.gif|120px]]
|}

== 註解 ==
{{reflist|group="註"}}

== 參考文獻 ==
{{reflist|2}}

[[Category:拓扑图论]]
[[Category:多面體變換]]