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{{Distinguish|Picard modular group}}

[[数学]]中，[[賦環空間|环空间]]''X''的皮卡德'''群'''，是在''X''上[[可逆层]]（或线丛）的[[同构]]类组成群，记作<math>Pic(X)</math>。此群的[[群|群运算]]为[[张量积]]。这个群的构造理念是构造因数(除子)类群或[[理想類群|理想类群]]的广域(global)版本, 这种构造在[[代数几何]]和[[复流形]]理论中广泛使用。

此外，皮卡德群也可以定义为层上同调群

: <math>H^1 (X, \mathcal{O}_X^{*}).\,</math>

对于积分[[概形]],  皮卡德群同构于Cartier [[除子|因数]]的类群。对于复流形，指数层级数能给出对应的皮卡德群的基本信息。

因为[[埃米尔·皮卡|皮卡德]]在代数曲面上的因数的相关研究, 这个群以他命名。

== 例子 ==

* 一个[[戴德金整環|戴德金整环]]的[[環的譜|谱]]的皮卡德群是这个戴尔金整环的''[[理想類群|理想类群]]''。
* 如果<math>K</math> 是一个[[域 (数学)|域]]，那么其[[射影空间]] <math>P^n(K)</math>上的可逆层是扭转[[层 (数学)|层]]<math>\mathcal{O}(m),\,</math>所以<math>P^n(K)</math>的皮卡德群同构于<math>\mathbb{Z}</math>。
* 在<math>K</math>上有两个原点的仿射线的皮卡德群同构于<math>\mathbb{Z}</math>。
* <math>n</math>维复仿射空间的皮卡德群： <math>\operatorname{Pic}(\mathbb{C}^n)=0</math>。因为指数序列正好生成了以下上同调的长序列
*: <math> \dots\to H^1(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\to H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}_{\mathbb{C}^n}) \to H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}^\star_{\mathbb{C}^n})\to H^2(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\to\cdots</math>

: 并且因为<math>H^k(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\simeq H_{\scriptscriptstyle\rm sing}^k(\mathbb{C}^n;\mathbb{Z})</math> <ref>[[Sheaf cohomology|Sheaf cohomology#Sheaf cohomology with constant coefficients]]</ref> 
: 因为<math>\mathbb{C}^n</math>是可收缩的 所以我们可以得出 <math>H^1(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\simeq H^2(\mathbb{C}^n,\underline{\mathbb{Z}})\simeq 0</math>，那么<math>H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}_{\mathbb{C}^n}) \simeq H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}^\star_{\mathbb{C}^n})</math>
: 由Dolbeault-Grothendieck 引理得出以下结论, 可以应用Dolbeault 同构来计算:<math>H^1(\mathbb{C}^n,\mathcal{O}_{\mathbb{C}^n})\simeq H^1(\mathbb{C}^n,\Omega^0_{\mathbb{C}^n})\simeq H^{0,1}_{\bar{\partial}}(\mathbb{C}^n)=0</math>
:

== 皮卡德概形 ==
我们可以在在皮卡德群（[[可表函子|的可表示函子]]版本）上构造概形结构，即'''皮卡德概形'''，是代数几何中的重要工具，特别是在阿贝尔簇的对偶理论中。这种方法由{{Harvard citation text|Grothendieck|1962}}构建，并由{{Harvard citation text|Mumford|1966}}和{{Harvard citation text|Kleiman|2005}}描述。

== 相关条目 ==

* 层上同调
* Cartier[[除子|除子]]
* [[全纯向量丛|全纯线丛]]
* [[理想類群|理想类群]]
* 阿拉克洛夫级群
* 组栈
* [[Picard category|皮卡德范畴]]

==参考资料==
* {{Citation|first=A.|last=Grothendieck|author-link=Alexander Grothendieck|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1961-1962__7__143_0|title=V. Les schémas de Picard. Théorèmes d'existence|series=Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 232|year=1962|number=7|pages=143–161|accessdate=2023-06-06|archive-date=2023-06-07|archive-url=https://web.archive.org/web/20230607232001/http://www.numdam.org/item/?id=SB_1961-1962__7__143_0|dead-url=no}}
* {{Citation|first=A.|last=Grothendieck|author-link=Alexander Grothendieck|url=http://www.numdam.org/item?id=SB_1961-1962__7__221_0|title=VI. Les schémas de Picard. Propriétés générales|series=Séminaire Bourbaki, t. 14: année 1961/62, exposés 223-240, no. 7, Talk no. 236|year=1962|pages=221–243|number=7|ref=none|accessdate=2023-06-06|archive-date=2023-06-06|archive-url=https://web.archive.org/web/20230606180526/http://www.numdam.org/item/?id=SB_1961-1962__7__221_0|dead-url=no}}
* {{Citation|last=Hartshorne|first=Robin|author1-link=Robin Hartshorne|title=Algebraic Geometry|publisher=[[Springer-Verlag]]|place=Berlin, New York|isbn=978-0-387-90244-9|oclc=13348052|mr=0463157|year=1977}}
* {{Citation|first=Jun-Ichi|last=Igusa|author-link=Jun-Ichi_Igusa|title=On some problems in abstract algebraic geometry|journal=Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.|volume=41|number=11|pages=964–967|year=1955|doi=10.1073/pnas.41.11.964|pmc=534315|bibcode=1955PNAS...41..964I|pmid=16589782}}
* {{Citation|last=Kleiman|first=Steven L.|author1-link=Steven Kleiman|title=Fundamental algebraic geometry|arxiv=math/0504020|publisher=[[American Mathematical Society]]|place=Providence, R.I.|series=Math. Surveys Monogr.|mr=2223410|year=2005|volume=123|chapter=The Picard scheme|pages=235–321|bibcode=2005math......4020K}}
* {{Citation|last=Mumford|first=David|author1-link=David Mumford|title=Lectures on Curves on an Algebraic Surface|publisher=[[Princeton University Press]]|series=Annals of Mathematics Studies|isbn=978-0-691-07993-6|mr=0209285|year=1966|volume=59|oclc=171541070}}
* {{Citation|last=Mumford|first=David|author1-link=David Mumford|title=Abelian varieties|publisher=[[Oxford University Press]]|place=Oxford|isbn=978-0-19-560528-0|oclc=138290|year=1970}}
[[Category:群论]]
[[Category:代数]]