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{{for|微分方程唯一解的定理|皮卡-林德勒夫定理}}
'''皮卡定理'''是两个不同的数学定理的泛称，由[[法国]]数学家[[埃米爾·皮卡]]证明。这两个定理都涉及[[解析函数]]的[[值域]]。

==定理的表述==

===小定理===
[[File:Essential singularity.png|right|220px|thumb|函数exp(1/''z'')，在''z''=0处具有本性奇点。''z''的色相表示它的辐角，而发光度则表示绝对值。这个图像说明了接近于奇点时，可以取得任何非零的值。]]
皮卡小定理说明，如果[[复变函数]]<math>f(z)</math>是[[整函数]]且不是常数，则<math>f(z)</math>的值域或者是整个复平面，或者只去掉一个点。  这个定理在1879年证明。它强化了[[刘维尔定理 (复分析)|刘维尔定理]]：任何不是常数的整函数都一定是无界的。

皮卡的原始证明利用了[[模λ函數]]（Modular lambda function）。<ref>{{cite book|title=Nine Introductions in Complex Analysis|publisher=[[Elsevier]]|year=2007|isbn=9780080550763|author=Sanford L. Segal|page=35}}</ref>证明概要如下：若<math>f(z)</math>的值域不包含复平面上的两个点，不失一般性地，可以假设<math>f(z)</math>的值域不包含0和1，设<math>w_0</math>是其值域中的点，在这个点附近，可以选取模函数<math>\lambda(z)</math>的[[逆映射|逆]]的某个[[多值函数|单值解析分支]]，记作<math>\lambda^{-1}(z)</math>。利用模函数的[[覆疊空間#.E8.90.AC.E6.9C.89.E8.A6.86.E7.96.8A.E7.A9.BA.E9.96.93|通用覆盖性]]和{{link-en|单值性定理|Monodromy_theorem}}，可以将<math>z_0</math>点（<math>w_0=f(z_0)</math>）附近定义的复合映射<math>\lambda^{-1}(f(z))</math>[[解析延拓]]到整个复平面上，从而得到一个在复平面上单值解析但有界的函数。根据[[刘维尔定理_(复分析)|刘维尔定理]]，该函数为常函数。因此<math>f(z)</math>也是常函数。<ref>{{cite book|title=复分析导引|url=https://archive.org/details/introductiontoco00libg_523|author=[[李忠 (数学家)|李忠]]|publisher=北京大学出版社|year=2004|isbn=9787301077986|page=[https://archive.org/details/introductiontoco00libg_523/page/n29 15]}}</ref>

===大定理===
皮卡大定理说明，如果<math>f(z)</math>在点<math>w</math>具有[[本性奇点]]，那么在任何含有<math>w</math>的[[开集]]中，<math>f(z)</math>都将取得所有可能的复数值，最多只有一个例外。
 
这个定理强化了{{le|魏尔施特拉斯-卡索拉蒂定理|Casorati–Weierstrass theorem}}，后者只保证了''f''的值域在复平面内是[[稠密集|稠密]]的。

==评论==

* 这个“唯一的例外”实际上在两个定理中都是需要的：[[指数函数]]''e<sup>z</sup>''是一个整函数，永远不能是零。''e<sup>1/z</sup>''在0处具有本性奇点，但仍然不能取得零。

* 皮卡大定理在一个更一般的形式中也是正确的，可以应用于[[亚纯函数]]：如果''M''是一个[[黎曼曲面]]，''w'' 是''M''上的一个点，'''P'''<sup>1</sup>'''C'''&nbsp;=&nbsp;'''C'''∪{∞}表示[[黎曼球面]]，''f''&nbsp;:&nbsp;''M''&nbsp;\&nbsp;{''w''}&nbsp;→&nbsp;'''P'''<sup>1</sup>'''C'''是一个全纯函数，在''w''处具有本性奇点，那么在''M''的任何含有''w''的开子集中，函数''f''都可以取得除了'''两个点'''以外的所有'''P'''<sup>1</sup>'''C'''的点。
:例如，亚纯函数''f''(''z'')&nbsp;=&nbsp;1/(1&nbsp;−&nbsp;exp(1/''z''))在''z''&nbsp;=&nbsp;0处具有本性奇点，在0的任何邻域内都无穷多次取得值∞；但它无法取得0或1的值。

* 皮卡小定理可以从皮卡大定理推出，因为整函数要么是多项式，要么在无穷远处具有本性奇点。

==注释==
{{reflist|2}}

==参考文献==
* {{cite book|first=John B.|last=Conway|authorlink=John B. Conway|year=1978|title=Functions of One Complex Variable I|url=https://archive.org/details/isbn_9781461263142|edition=2nd|publisher=Springer|isbn=0-387-90328-3}}
*{{cite web|url=http://people.reed.edu/~jerry/311/picard.pdf|last=Shurman|first=Jerry|title=Sketch of Picard's Theorem|accessdate=2010-05-18|archive-date=2020-10-19|archive-url=https://web.archive.org/web/20201019184420/https://people.reed.edu/~jerry/311/picard.pdf|dead-url=no}}

[[Category:复分析定理]]