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[[File:Pick theorem.png|frame|right|<math>b=14,i=39,A=45</math>]]

給定頂點座標均是整點（或正方形格子點）的簡單[[多邊形]]，'''皮克定理'''說明了其[[面積]] <math>A</math> 和內部格點數目 <math>i</math> 、邊上格點數目 <math>b</math> 的關係：<math>A = i + \frac {b}{2} - 1</math>。

==證明==
因為所有簡單多邊形都可切割為一個[[三角形]]和另一個簡單多邊形。考慮一個簡單多邊形 <math>P</math> ，及跟 <math>P</math> 有一條共同邊的三角形 <math>T</math> 。若 <math>P</math> 符合皮克公式，則只要證明 <math>P</math> 加上 <math>T</math> 的 <math>PT</math> 亦符合皮克公式（I），與及三角形符合皮克公式（II），就可根據[[數學歸納法]]，對於所有簡單多邊形皮克公式都是成立的。

===多邊形===
設 <math>P</math> 和 <math>T</math> 的共同邊上有 <math>c</math> 個格點。

* <math>P</math> 的面積： <math>i_{P} + \frac {b_{P}}{2} - 1</math>
* <math>T</math> 的面積： <math>i_{T} + \frac{b_{T}}{2} - 1</math>
* <math>PT</math> 的面積：
: <math>(i_{T} + i_{P} + c - 2) + \frac{b_{T}- c + b_{P} - c + 2}{2} - 1
</math>
: <math>= i_{PT} + \frac{b_{PT}}{2} - 1</math>

===三角形===
證明分三部分：證明以下的圖形符合皮克定理：
# 所有平行於軸線的矩形；
# 以上述矩形的兩條鄰邊和對角線組成的直角三角形；
# 所有三角形（因為它們都可內接於矩形內，將矩形分割成原三角形和至多3個第二點提到的直角三角形）。

====矩形====
設矩形 <math>R</math> 長邊短邊各有<math>m</math>,<math>n</math>個格點：
* <math>A_{R} = (m-1)(n-1) </math>
* <math>i_{R} = (m-2)(n-2) </math>
* <math>b_{R} = 2(m+n)-4 </math>

: <math>i_{R} + \frac{b_{R}}{2} - 1</math>
: <math>= (m-2)(n-2) + (m+n) - 2 - 1</math>
: <math>= mn - (m + n) +1</math>
: <math>= (m-1)(n-1)</math>

====直角三角形====
易見兩條鄰邊和[[對角線]]組成的兩個直角三角形全等，且 <math>i</math> ,  <math>b</math> 相等。設其斜邊上有 <math>c</math> 個格點。

* <math>b = m+n+c-3</math>
* <math>i = \frac{(m-2)(n-2) - c + 2}{2}</math>

: <math>i + \frac{b}{2} - 1</math>
: <math>= \frac{(m-2)(n-2) - c + 2}{2}  + \frac{m+n+c-3}{2} - 1</math>
: <math>= \frac{(m-2)(n-2)}{2} + \frac{m+n-3}{2}</math> 
: <math>= \frac{(m-1)(n-1)}{2}</math>

====一般三角形====
逆运用前面对2个多边形的证明：

既然矩形符合皮克定理，直角三角形符合皮克定理。又前面证明到若P，T符合皮克公式，则 <math>P</math> 加上 <math>T</math> 的 <math>PT</math> 亦符合皮克公式。那么由于矩形可以分解成1个[[任意三角形]]和至多三个直角三角形。

于是显然有，只有当这个[[任意三角形]]也符合皮克定理的时候，才会使得在直角三角形符合的同时，矩形也符合。

==推廣==
* 取格點的組成圖形的面積為一單位。在[[平行四邊形]]格點，皮克定理依然成立。套用於[[任意三角形]]格點，皮克定理則是<math>A = 2 * i + b - 2</math>。
* 對於非簡單的多邊形<math>P</math>，皮克定理<math>A = i + \frac{b}{2} - \chi(P)</math>，其中 <math>\chi(P)</math> 表示 <math>P</math> 的[[欧拉示性数]]。
* 高維推廣：[[Ehrhart多項式]]；一維：植樹問題。
* 皮克定理和[[欧拉示性数|歐拉公式]]（<math>V-E+F=2</math>）[[等價]]。

==定理提出者==
Georg Alexander Pick，1859年生於[[維也納]]，1943年死於[[特萊西恩施塔特集中營]]。

==相關書籍==
* 《格點和-{面}-積》 [[閔嗣鶴]]著
==外部連結==
* [http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/pick.html 以皮克定理證明歐拉公式] {{Wayback|url=http://www.ics.uci.edu/~eppstein/junkyard/euler/pick.html |date=20060207162331 }}（英）
* [http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_25_10_1/index.html 談求面積的 Pick 公式，蔡聰明] {{Wayback|url=http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_25_10_1/index.html |date=20061011151821 }}
* http://www.cut-the-knot.org/ctk/Pick.shtml {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/ctk/Pick.shtml |date=20060404100026 }}

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