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在[[数学]]中, 特别是在[[常微分方程]]的研究中，'''皮亚诺存在定理'''（又称为'''皮亚诺定理'''、'''[[柯西]]-皮亚诺定理'''）是以[[数学家]][[朱塞佩·皮亚诺]]的名字命名的一个[[定理]]。这个定理是常微分方程研究中的基本定理之一，保证了微分方程在一定的[[初值问题|初始条件]]下的解的存在性。

== 历史 ==
这个定理最早由[[数学家]][[朱塞佩·皮亚诺]]在1886年发表，但是他给出的[[证明]]是错误的。1890年他又发表了一个正确的运用逐次逼近法的证明。

== 定理 ==
设 ''D'' 为'''R''' &times; '''R''' 的一个[[开集|开子集]]，以及一个[[连续函数]]：
:<math>f\colon D \to \mathbb{R}</math> 

皮亚诺存在定理：定义在 ''D'' 上的一个一阶[[线性微分方程|线性]][[常微分方程]]（其中 <math>(x_0, y_0) \in D</math>）
:<math>f\left(x,y(x)\right) = y'(x)</math> 
:<math>y\left(x_0\right) = y_0</math>
必然有'''局部解'''。也就是说，必定存在一个关于 <math>x_0</math> 的[[邻域]] ''I''，以及一个函数：
:<math>z\colon I \to \mathbb{R}</math>
:满足<math>  \forall x \in I ,\ \ f\left(x,z(x)\right)=z'(x) </math>。

== 相关定理 ==
皮亚诺存在定理可以和另外一个[[存在性定理]]：[[柯西-利普希茨定理|皮卡-林德洛夫定理]]作比较。相比起皮亚诺存在定理，皮卡-林德洛夫定理对函数 <math>f</math> 的要求更严格，但结论也更强。皮卡-林德洛夫定理要求函数 <math>f</math> 局部地满足[[利普希茨条件]]，也就是说在任意一点 ''x'' 的附近，都有一个常数 <math>K_x</math> 和一个邻域 <math>I_x</math>，使得对于<math>I_x</math>中任意的<math>a</math>、<math>b</math>两点，都有：
:<math>|f(a) - f(b)| \le K_x |a - b|</math>。
这个要求比单纯的连续性要高，但是得出的结论也更强了：皮卡-林德洛夫定理说明，在满足上述要求时，微分方程的局部解不仅存在而且是唯一的。

===例子===
设<math>T>0</math>为一个常数，考虑函数
:<math>h' = \left\vert h\right\vert^{\frac{1}{2}}, \ \ \ y(T)=0</math>，其定义域设为 <math> \left[0, T\right]</math>。
根据皮亚诺存在定理，由于函数<math>f : x \to \left\vert x\right\vert^{\frac{1}{2}}</math>在<math> \left[0, T\right]</math>上连续，微分方程有解。但由于 <math>f</math> 在0处的导数为正无穷，<math>f</math> 在<math> \left[0, 1\right]</math>上不满足[[利普希茨条件]]，于是解不一定是唯一的。事实上：对于任意的<math>0 <t_0 < T</math>，定义为：当<math>t \le t_0</math> 时 <math>h(t)=(t-t_0)^2/4</math>，当 <math>t_0 \le t \le T</math> 时 <math>y=0</math>的函数 <math>h</math> 都是微分方程的解，也就是说解有无穷多个。这个反例来源于一个物理模型：假设有一个漏水的容器，其水面高度（函数<math>h</math>）和时间的关系由以上的微分方程定义的话，那么由于事实上可以观测到漏水的过程，所以方程一定有解。但如果只知道容器在漏完水后的某个时刻的状态（<math> y(T)=0</math>）的话，是无法倒过来推测原来的水位有多高的（也就是说没有唯一解）。

== 参考来源 ==

* G. Peano, ''Sull’integrabilità delle equazioni differenziali del primo ordine'', Atti Accad. Sci. Torino, 21 (1886) 677–685.
* G. Peano, ''Demonstration de l’intégrabilité des équations différentielles ordinaires'', [[数学年鉴|Mathematische Annalen]], 37 (1890) 182–228.
* W. F. Osgood, ''Beweis der Existenz einer Lösung der Differentialgleichung dy/dx = f(x, y) ohne Hinzunahme der Cauchy-Lipschitzchen Bedingung'', Monatsheft Mathematik,9 (1898) 331–345.
* E.A. Coddington and N. Levinson, ''Theory of Ordinary Differential Equations'', McGraw-Hill, 1955.

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