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{{NoteTA
|G1 = Math
|1=zh-cn:數學對象;zh-tw:數學物件;
}}
[[File:WeierstrassFunction.svg|右|缩略图|300x300像素|[[魏尔斯特拉斯函数]]是无处不[[连续函数|连续]]的，但任何一处都不[[可微函数|可微]]]]
在[[数学]]中，'''病态'''（{{lang-en|Pathological}}）现象是指其性质被认为是非典型的或反直觉的现象，反义词为[[良态]]（Well-behaved）。

== 在分析学中 ==
一个经典的例子的病态结构是[[魏尔斯特拉斯函数]]，它处处[[连续函数|连续]]但处处不[[可微函数|可微]]。可微函数和魏尔斯特拉斯函数的总和也是连续的，但是无处可微；所以这种函数至少与可微函数一样多。事实上，由[[贝尔纲定理]]之一可以显示，连续函数通常是无处可微的。

通俗地说，大多数函数都不可微，而且相对较少的函数可以被描述或研究。一般而言，大多数实用的函数也具有某种物理基础或实际应用，这意味着它们在理论数学或逻辑层面上不能是病态的；如果没有像[[狄拉克δ函数]]那样的某些限制性情况，它们往往表现得非常常态，直观。引用[[儒勒·昂利·庞加莱|庞加莱]]的话：{{quote|<!--待翻譯-->有時，邏輯生出妖怪。近半世紀，怪誕的函數異軍突起，竭力標奇立異，與實際有用的函數大相逕庭。其不再連續，甚或連續但不可導，如此種種。誠然，以邏輯觀之，該等怪異函數纔是最普遍；相反，以簡單法則定義，無需刻意尋找的函數，反倒是特例，僅佔牆隅立錐之地。

以前，發明新函數，是為實用；今時，則祗為刻意突顯先賢的邏輯缺陷，此外別無他用。

師者若祗以邏輯為綱領，則必由最普遍的函數開始教授，亦即最怪異的函數。如此，學生初學已須勉強面對整座[[畸形學]]博物館（{{lang|fr|musée tératologique}}）；否則，邏輯學家會挑剔你僅逐步邁向嚴謹。|[[Henri Poincaré]]<ref>{{cite book |first = Henri |last = Poincaré | authorlink = Henri Poincaré | url = https://archive.org/details/scienceetmthod00poin/page/132/mode/2up |title = Science et méthode
|language = fr |pages = 132–133 |year = 1908 | quote = La logique parfois engendre des monstres. On vit surgir toute une foule de fonctions bizarres qui semblaient s'efforcer de ressembler aussi peu que possible aux honnêtes fonctions qui servent à quelque chose. Plus de continuité, ou bien de la continuité, mais pas de dérivées etc. Bien plus, au point de vue logique, ce sont ces fonctions étranges qui sont les plus générales, celles qu'on rencontre sans les avoir cherchées n'apparaissent plus que comme un cas particulier. Il ne leur reste qu'un tout petit coin. <p>Autrefois, quand on inventait une fonction nouvelle, c'était en vue de quelque but pratique; aujourd'hui, on les invente tout exprès pour mettre en défaut les raisonnements de nos pères, et on n'en tirera jamais que cela. <p>Si la logique était le seul guide du pédagogue, ce serait par les fonctions les plus générales, c'est-à-dire parles plus bizarres, qu'il faudrait commencer. C'est le débutant qu'il faudrait mettre aux prises avec ce musée tératologique. Si vous ne le faites pas, pourraient dire les logiciens, vous n'atteindrez la rigueur que par étapes.}}</ref>|1899}}这突出表明，该术语「病态」是主观的，依赖于语境，并且正在逐渐消失。它在任何特定情况下的含义都存在于数学家群体中，而不一定在数学本身中。此外，引文显示数学经常如何通过反例进展到直觉或预期结果；例如所提到的“不可导”与目前对太阳等离子体中[[磁重联]]事件的研究密切相关。

== 在拓扑学中 ==
拓扑学中最臭名昭着的病态之一是{{le|亚历山大带角球|Alexander horned sphere}}，这是一个反例，表明拓扑将球体''S''<sup>2</sup>嵌入'''R'''<sup>3</sup>中可能无法完全分离空间。作为反例，它激发了驯服（tameness）的额外条件，这抑制了带角球所表现出的野性行为。

像许多其他病态一样，带角球在某种意义上是无限精细的递归生成结构，在极限情况下违反了普通的直觉。在这种情况下，在极限范围内连续的球体互锁环的不断下降的链的拓扑结构完全反映了普通球体的拓扑结构，而期望在嵌入之后它的外部表现相同。然而事实却并非如此：它没有[[单连通]]。

对于基础理论，请参阅{{le|薛弗利斯問題|Schoenflies problem|喬登-薛弗利斯定理}}。

== 在线性代数中 ==
定义：如果线性方程组<math>Ax=b</math> 中，A或b的元素的微小变化，会引起方程组解的巨大变化，则称方程组为'''病态方程组'''，称矩阵A为'''病态矩阵'''。[[条件数]]可以用来衡量方程组的“病态”程度。<ref name="ZhangHW"/>

一种常见的病态矩阵是n阶[[希尔伯特矩阵]]，随着阶数n的增大，而呈现严重的病态。<ref name="ZhangHW">{{cite book |editor=张宏伟，金光日，施吉林，董波 |title=计算机科学计算 |date=2005 |publisher=高等教育出版社 |location=北京 |isbn=9787040365955 |pages=51-54 |edition=2013年第2版}}</ref>

== 良態 ==
[[数学家]]（以及相关科学家）经常谈论一个[[数学对象]]（[[函数]]、[[集合 (数学)|集合]]，或任何[[空間 (數學)|空間]]）是否[[良態]]。该术语没有固定的正式定义，而是取决于背景、数学兴趣、时尚和品味。为了确保对象處在[[良態]]，数学家引入了进一步的公理来缩小研究领域。这有利于使分析更容易，但减少了所得结论的一般性。像非欧几何这样的概念曾被认为是不正常的，但现在已成为常见的研究对象。

在纯数学和应用数学（例如[[最优化]]、[[數值積分|数值积分]]或[[数学物理|数学物理学]]）中，良態也意味着研究對象滿足目前分析適用所需的一切假设。

相反的情况通常标记为病态的。在（[[基數 (數學)|基數]]或[[测度]]意義下）大多数例子中，这种病态情况并不罕见，但除非故意构建，否则病态情况不会在实践中出现。

术语“表现良好”（或良態）通常用于绝对意义上——要么表现得好，要么反之。例如：

* 在{{le|算法推理|Algorithmic inference}}中，{{le|表现良好的统计量|Well-behaved statistic}}是单调的、明确定义的和[[充分统计量|充分的]]。
* 在[[貝祖定理]]中，如果两个多项式的多项式最大公约数是常数，它们的交点数定理给出的公式是有效的，它们表现良好。
* [[亚纯函数]]是两个表现良好的函数的比，指的是这两个函数是[[全纯函数|全纯]]的。
* [[卡羅需－庫恩－塔克條件]]是一个表现良好的[[非线性规划]]问题解决方案最优的一阶必要条件；如果满足一些规律性条件，则问题被称为表现良好。
* 在[[概率]]上，[[概率空間|概率空间]]对应的[[Σ-代数]]中包含的事件表现良好，[[测度|可测]]函数也是如此。

雖然較少見，但该术语也可以比较方式使用：

* 在[[微积分学|微积分]]中：
** [[解析函数]]比一般[[光滑函数]]表现得更好。
** 平滑函数比一般可微函数表现更好。
** 连续[[可微函数]]比一般连续函数表现更好。函数可以微分的次数越多，它的表现就越好。
** [[连续函数]]比稠密集上的[[黎曼积分|黎曼可积]]函数表现更好。
** 黎曼可积函数比[[勒貝格積分|勒贝格可积]]函数表现更好。
** 勒贝格可积函数比一般函数表现更好。
* 在[[拓扑学|拓扑]]中，[[连续函数|连续]]函数比不[[连续函数|连续]]函数表现得更好。
** [[欧几里得空间|欧几里德空间]]比[[非欧几里得几何|非欧几里德几何]]更好。
** 吸引[[不动点]]比排斥不动点更好。
** [[豪斯多夫空间]]比任意[[点集拓扑学|点集拓扑]]中的[[豪斯多夫空间|拓扑]]更好。
** [[博雷爾集|博雷尔集]]比任意[[实数]][[集合 (数学)|集合]]表现更好。
** 具有[[整数]]维度的空间比具有[[分形维数|分形维度的]]空间表现得更好。
* 在[[抽象代数|抽象代数中]]：
** [[群]]比[[原群]]和[[半群]]更好。
** [[阿贝尔群]]表现得比非阿贝尔群更好。
** [[有限生成阿貝爾群|有限生成阿贝尔群]]比非有限生成交换群表现更好。
** [[有限]][[向量空间的维数|维]][[向量空间]]比[[无穷|无限維]][[向量空间]]更好。
** [[域 (數學)|域]]比[[除环]]或一般[[环 (代数)|环]]更好。
** 可分离的[[域扩张]]比不可分离的[[域扩张]]更好。
** [[胡尔维兹定理|赋范除法代数]]比一般组合代数表现得更好。

== 病态实例 ==
病态的实例通常具有一些不合乎需要或不寻常的特性，所以难以在理论中包含或解释。这种病态行为常常引发新的研究，从而产生新的理论和更一般的结果。例如，一些重要的历史例子如下：

* 古希腊[[毕达哥拉斯|毕达哥拉斯学派]]发现的无理数；例如，[[单位正方形]]的对角线的长度，即<math>\sqrt{2}</math>。
* [[有理数]]的[[势 (数学)|基数]]等于[[整数]]的基数。
* 某些[[代数数域]]的[[整数环]]無[[唯一分解整環|唯一分解]]，例如域<math display="inline">\mathbb{Q}(\sqrt{-5})</math>。
* [[分形]]和其他“粗糙”几何对象的发现（参见[[豪斯多夫维数]]）。
* [[魏尔施特拉斯函数]]，一个在实直线上的[[实数]]值函数，它在任何地方都是[[连续函数|连续]]的，但在任何地方都不是可[[可微函数|微分]]的。
* 实际分析和[[分布理论]]中的[[分布 (数学分析)|测试函数]]，它们是实直线上的[[光滑函数|无限可微函数]]，在给定的有限[[區間|区间]]之外的任何地方都是0。这种函数的一个例子是测试函数，<math display="inline">\varphi(t) = \begin{cases} e^{-1/(1-t^2)}, &\text{若 } -1<t<1, \\ 0, & \text{其  他  情  況  }\ \ . \end{cases}</math>
* [[康托尔集]]是区间[0, 1]的[[测度|零測度]]子集，但[[不可數集|不可数]]。
* [[皮亚诺曲线]]是一个将区间[0, 1]映射到[0, 1] &#xD7; [0, 1]的连续的[[满射]]函数。
* 有理数的[[指示函數|指标函数]]有界但[[處處不連續函數|处处不连续]]，且不是[[黎曼积分|黎曼可积]]的。
* [[康托尔函数]]是一个[[单调函数|单调]]的连续映射，它将[0,1]映射到[0,1]，但[[幾乎處處]]導數為零。
* 可以为[[皮亚诺公理|皮亚诺算术]]的[[可數集|可数]]递归饱和[[模型论|模型]]构建包含满足“直观错误”算术语句的类。{{來源請求}}

在它们被发现时，这些实例被认为是高度病态的；今天，每个实例都被同化为现代数学理论了。这些例子促使他们的观察者纠正他们的信仰或直觉；有时他们甚至可能需要重新评估基本定义和概念。在历史的过程中，它们导致了更正确，更精确，更强大的数学。例如，[[狄利克雷函数]]是[[勒貝格積分|勒贝格可积]]的，而测试函数的卷积適用於求出任何局部可积函数的平滑擬合（此處擬合是在局部可积函数的空间中，[[幾乎處處|几乎处处]]意義下）。

根据定义，行为是否是病态的，取决于个人的直觉。病态依赖于背景、培训和经验——一个研究人员看来是病态，很可能另一个人看来表现良好。

病态的例子可以说明假设在一个定理中的重要性。例如，在[[统计学]]中，即使[[柯西分布]]的对称[[钟形]]看起来与许多分布相似，它也不满足[[中心极限定理]]；其平均值和标准偏差不存在（或非有限），所以不滿足定理的假設。

一些最著名的[[悖论]]如[[巴拿赫-塔斯基定理|巴拿赫-塔斯基悖论]]和[[豪斯多夫悖論]]都基于[[不可測集]]的存在性。除非他们采取少数立场否认[[选择公理]]，不然数学家一般都只能接受这些集合存在。{{來源請求}}

== 计算机科学 ==
在[[计算机科学|计算机科学中]]，「病态」对[[算法]]的研究略有不同。这里，如果输入（或输入集合）引起来自算法的非典型行为，例如违反其平均情况[[計算複雜性理論|复杂性]]或甚至其正确性，则称输入（或输入集合）是''病态的''。例如，[[哈希表]]通常具有病态输入：在哈希值上[[碰撞 (计算机科学)|碰撞]]的键组。[[快速排序]]通常具有[[大O符号|O]](''n'' log ''n'')时间复杂度，但是当给定输入触发次优行为时恶化为O(''n''<sup>2</sup> )。

这个术语经常作为一种拒绝输入的方式作贬义使用，例如被专门设计来打破一个在实践中听起来很正常的惯例（与[[拜占庭将军问题]]比较）。另一方面，对病态输入的认识很重要，因为它们可被利用来对计算机系统进行[[阻斷服務攻擊|拒绝服务攻击]]。此外，这个意义上的术语与其他意义一样是主观判断的问题。如果有足够的运行时间，足够大和多样化的用户群或其他因素，实际上可能会发生可被视为病态的输入（如在[[亞利安5號運載火箭|亚利安5号]]的[[阿丽亚娜5航班501 |第一次试飞]]中所见）。

== 特殊情况 ==
一个类似但不同的现象是特殊对象（和异常的同构），当一般模式存在“少量”例外时——一定量地，对于无限规则的有限的例外集合。相比之下，在病态的情况下，通常大多数或几乎所有的现象都是病态的，如普遍存在的那样，例如几乎所有的实数都是无理数。

主观上，特殊情况（例如[[正二十面體|二十面体]]或[[散在群]]）通常被认为是“美丽的”，一个理论的意外例子。而病态现象顾名思义通常被认为是“丑陋的”。因此，理论通常扩展到包括特殊对象——例如，[[單李群|单李代数]]被包含在[[半單李代數|半单李代数]]理论中：公理被认为是好的，特殊对象是意外但有效的。相比之下，病态的例子被用来指出公理中的一个缺点，需要更强的公理来排除它们 - 例如，要求在[[ Schönflies问题|Schönflies问题]]中嵌入球体的驯化。人们可以研究更一般的理论，包括可以提供其自身简化的病态（实数具有与有理数非常不同的属性，同样连续映射具有与平滑映射非常不同的属性），但也将在一般情况下研究狭义的理论，从中得出原始的例子。

== 參考文獻 ==
{{reflist}}

== 外部链接 ==

* [http://www.mountainman.com.au/fractal_00.htm 病态结构和分形]{{Wayback|url=http://www.mountainman.com.au/fractal_00.htm |date=20190628095252 }} ，引用自[[弗里曼·戴森]]的一篇文章，"Characterising Irregularity"，《科学》，1978年5月

{{Planetmath|urlid=pathological|title=pathological}}
[[Category:数学术语]]