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在[[复分析]]中，'''留数'''是一个正比于一个[[亚纯函数]]某一[[奇点 (几何)|奇点]]周围的[[路径积分]]的复数。（更一般地，对于任何除去离散点集{''a''<sub>''k''</sub>}之外[[全纯函数|全纯]]的函数<math> f: \mathbb{C} \setminus \{a_k\} \rightarrow \mathbb{C}</math>都可以计算其留数，即便是离散点集中含有[[本质奇点]]）留数可以是很容易计算的，一旦知道了留数，就可以通过[[留数定理]]来计算更复杂的路径积分。

== 定义 ==
[[亚纯函数]]<math>f</math>在[[孤立奇点]]<math>a</math>的留数，通常记为<math>\operatorname{Res}(f,a)</math>或<math>\operatorname{Res}_a(f)</math>，是使<math>f(z)- R/(z-a)</math>在[[環形|穿孔圆盘]]<math>0<|z-a|<\delta</math>内具有[[解析函数|解析]][[原函数]]的唯一值<math>R</math>。

另外，留数也可以通过求出[[洛朗级数]]展开式来计算，并且可以将留数定义为[[洛朗级数]]的系数<span>''a''</span><sub>-1。</sub>

留数的定义可以拓展到任意[[黎曼曲面]]上。

== 例子 ==
作为例子，考虑以下的[[路径积分]]：

:<math>\oint_C {e^z \over z^5}\,dz</math>

其中C是围绕[[原点]]的任意(正向)[[若尔当曲线定理|简单闭曲线]]。

我们来计算这个积分，不用任何标准的积分定理。现在，''e''<sup>''z''</sup>的[[泰勒级数]]是众所周知的，我们可以把这个级数代入被积表达式中。则积分变为：

:<math>\oint_C {1 \over z^5}\left(1+z+{z^2 \over 2!} + {z^3\over 3!} + {z^4 \over 4!} + {z^5 \over 5!} + {z^6 \over 6!} + \cdots\right)\,dz.</math>

我们把1/''z''<sup>5</sup>的项乘进级数中，便得到：

::<math>\oint_C \left({1 \over z^5}+{z \over z^5}+{z^2 \over 2!\;z^5} + {z^3\over 3!\;z^5} + {z^4 \over 4!\;z^5} + {z^5 \over 5!\;z^5} + {z^6 \over 6!\;z^5} + \cdots\right)\,dz </math>

:<math>=\oint_C \left({1 \over\;z^5}+{1 \over\;z^4}+{1 \over 2!\;z^3} + {1\over 3!\;z^2} + {1 \over 4!\;z} + {1\over\;5!} + {z \over 6!} + \cdots\right)\,dz.</math>

现在，积分便化为更简单的形式。由于：

:<math>\oint_C {1 \over z^a} \,dz=0,\quad a \in \mathbb{Z},\quad a \ne 1.</math>

因此任何不是''<math>c \over z </math>''形式的项都变成了零，那么积分变为：

:<math>\oint_C {1 \over 4!\;z} \,dz={1 \over 4!}\oint_C{1 \over z}\,dz={1 \over 4!}(2\pi i) = {\pi i \over 12}.</math>

<math>1 \over 4! </math>就是''<math> e^z \over z^5 </math>在''z'' = 0的留数，记为：

:<math>\mathrm{Res}_0 {e^z \over z^5}, </math>或<math>\mathrm{Res}_{z=0} {e^z \over z^5}, </math>或<math>\mathrm{Res}(f,0).</math>

== 留数的计算 ==
设复平面内有一[[环形#复结构|穿孔圆盘]]<math>D=\{z: 0<|z-c|<R\}</math>，''f''是定义在''D''内的一个[[全纯函数]]。''f''在''c''的留数Res(''f'', ''c'')是罗朗级数展开式的(''z'' − ''c'')<sup>−1</sup>项的系数''a''<sub>−1</sub>。计算留数的值的方法有很多，具体采用那种方法取决于题目中的函数，以及奇点的性质。

根据[[柯西积分公式]]，我们有：

:<math>\operatorname{Res}(f,c) = 
{1 \over 2\pi i} \oint_\gamma f(z)\,dz</math>

其中γ是逆时针绕着''c''的一条闭曲线。我们可以选择γ为绕着''c''的一个圆，它的半径可以任意地小。

=== 可去奇点 ===
如果函数''f''在整个圆盘<math>\{|z-c|<R\}</math>内可以[[解析延拓|延拓]]为[[全纯函数]]，则Res(''f'', ''c'') = 0。反过来不总成立。

==== 一阶极点 ====
在一阶[[极点]]，留数由以下公式给出：

:<math>\operatorname{Res}(f,c)=\lim_{z\to c}(z-c)f(z).</math>

设''g''和''h''在''c''的一个[[邻域]]内是全纯函数，''h(c)'' = 0而''g(c)'' ≠ 0，那么函数''f''(''z'')=''g''(''z'')/''h''(''z'')在极点''c''的留数为：

:<math>\operatorname{Res}(f,c) = \frac{g(c)}{h'(c)}.</math>

==== 较高阶极点的极限公式 ====
更一般地，''f''在''z'' = ''c''的留数，其中''c''是''n''阶极点，由以下公式给出：

:<math> \mathrm{Res}(f,c) = \frac{1}{(n-1)!} \lim_{z \to c} \frac{d^{n-1}}{dz^{n-1}}\left( (z-c)^{n}f(z) \right). </math>

以上的公式对于计算低阶极点的留数是十分有用的。对于较高阶的极点，则[[级数展开]]式更加容易一些。

=== 无穷远点的留数 ===
一般地，'''无穷远点的留数'''是指：
:<math> \mathrm{Res}(f(z), \infty) = -\mathrm{Res}\left(\frac{1}{z^2}f\left(\frac{1}{z}\right), 0\right)</math>.
如果满足下面的条件：
:<math> \lim_{|z| \to \infty} f(z) = 0</math>,
则可以用下面的公式计算'''无穷远点的留数'''：
:<math> \mathrm{Res}(f, \infty) = -\lim_{|z| \to \infty} z \cdot f(z)</math>.
如果不满足，即
:<math> \lim_{|z| \to \infty} f(z) = c \neq 0</math>,
则'''无穷远点的留数'''为：
:<math> \mathrm{Res}(f, \infty) = -\lim_{|z| \to \infty} z^2 \cdot f'(z)</math>.

=== 级数方法 ===
如果函数的一部分或全部可以展开为[[泰勒级数]]或[[洛朗级数]]，则留数的计算比用其它的方法要容易得多。

'''1'''. 第一个例子，计算以下函数在奇点的留数：

: <math>f(z)={\sin{z} \over z^2-z}</math>

它可以用来计算一定的路径积分。这个函数表面上在''z'' = 0处具有奇点，但如果把分母因式分解，而把函数写成： 

: <math>f(z)={\sin{z} \over z(z-1)}</math>

则显然''z'' = 0是[[可去奇点]]，因此''z'' = 0处的留数为零。

唯一一个另外的奇点是''z'' = 1。函数''g''(''z'')在''z'' = ''a''的泰勒级数为：

: <math> g(z) = g(a) + g'(a)(z-a) + {g''(a)(z-a)^2 \over 2!} + {g'''(a)(z-a)^3 \over 3!}+ \cdots</math>

因此，对于''g''(''z'') = sin&nbsp;''z''和''a'' = 1，我们有：

: <math> \sin{z} = \sin{1} + \cos{1}(z-1)+{-\sin{1}(z-1)^2 \over 2!} + {-\cos{1}(z-1)^3 \over 3!}+\cdots.</math>

对于''g''(''z'') = 1/''z''和''a'' = 1，我们有：

: <math> \frac1z = \frac1 {(z-1)+1} = 1 - (z-1) + (z-1)^2 - (z-1)^3 + \cdots.</math>

把两个级数相乘，并除以(''z''&nbsp;−&nbsp;1)，便得：

: <math> \frac{\sin{z}} {z(z-1)} = {\sin{1} \over z-1} + (\cos{1}-\sin1) + (z-1) \left(-\frac{\sin{1}}{2!} - \cos1 + \sin1\right) + \cdots.</math>

因此''f''(''z'')在''z'' = 1的留数为sin&nbsp;1。

'''2'''. 接下来的例子展示了运用级数展开来求留数，拉格朗日反演定理在这里发挥了重要作用。令
:<math> u(z):=\sum_{k\geq 1}u_k z^k</math> 

为一个[[整函数]]，并令 
:<math>v(z):=\sum_{k\geq 1}v_k z^k</math> 
<!--
收敛半径为正，并且<math>\textstyle v_1\neq 0 </math>。So <math>\textstyle v(z)</math> has a local inverse <math>\textstyle V(z)</math> at 0, and <math>\textstyle u(1/V(z))</math> is [[meromorphic]] at 0. Then we have:
:<math>\mathrm{Res_0}\big(u(1/V(z))\big)= \sum_{k=0}^{\infty} ku_k v_k</math>.

Indeed,
:<math>\mathrm{Res_0}\big(u(1/V(z))\big)=\mathrm{Res_0}\Big(\sum_{k\geq 1}u_k V(z)^{-k}\Big)=\sum_{k\geq 1} u_k \mathrm{Res_0}\big(V(z)^{-k}\big)
</math>

because the first series converges uniformly on any small circle around 0. Using the Lagrange  inversion theorem 

:<math>\mathrm{Res_0}\big(V(z)^{-k}\big)=kv_k</math>,

and we get the above expression. For example, if <math>u(z)=z+z^2</math> and also <math>v(z)=z+z^2</math>, then <math>V(z)=\frac{2z}{1+\sqrt{1+4z}}</math> and <math>u(1/V(z))=\frac{1+\sqrt{1+4z}}{2z}+\frac{1+2z+\sqrt{1+4z}}{2z^2}</math>. The first term contributes 1 to the residue, and the second term contributes 2 since it is asymptotic to <math>1/z^2+2/z</math>.

Note that, with the corresponding stronger symmetric assumptions on  <math>\textstyle u(z)</math> and <math>\textstyle v(z)</math>, it also follows
:<math>\mathrm{Res_0}\big(u(1/V)\big)=\mathrm{Res_0}\big(v(1/U)\big)</math> , 

where <math>\textstyle U(z)</math> is a local inverse of <math>\textstyle u(z)</math> at 0.-->

== 参见 ==
* [[柯西积分公式]]
* [[柯西积分定理]]
* [[莫雷拉定理]]

== 参考文献 ==
* {{cite book|authorlink=Lars Ahlfors|first = Lars|last = Ahlfors|title = Complex Analysis|url=https://archive.org/details/complexanalysisi0000ahlf_v7n1|publisher = McGraw Hill|year = 1979}}
* Marsden & Hoffman, ''Basic complex analysis'' (Freeman, 1999).

== 外部链接 ==
* {{MathWorld | urlname= ComplexResidue | title= Complex Residue}}
* [https://web.archive.org/web/20070109061346/http://math.fullerton.edu/mathews/c2003/ResidueCalcMod.html 留数的教程]

[[Category:复分析|L]]