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{{NoteTA|G1=物理学}}
'''电磁四维势'''（英文：{{lang|en|Electromagnetic four-potential}}）是[[电磁理论]]中的一个[[协变]][[四维矢量]]，它在[[国际单位制]]中的单位是[[伏特]]·秒/米（在[[厘米-克-秒制]]中的单位是[[馬克士威（單位）|馬克士威]]/厘米），它的定义为（括号中表示在厘米-克-秒制中的形式，下同）

:<math>A_{\alpha} = \left(\frac{\phi}{c}, - \vec A \right) \qquad \left(A_{\alpha} = (\phi,-  \vec A)\right)</math>

其中<math>\phi\,</math>是[[电势]]，<math>\vec A\,</math>是[[磁矢势]]。

在本篇文章裏，[[閔可夫斯基度規]]的形式被規定為 <math>diag(1, -1, -1, -1)</math> ，這是参考了[[約翰·傑克森]]（{{lang|en|John D. Jackson}}）的著作《經典電動力學》中所採用的形式；並且使用了經典的[[張量代数]]以及[[愛因斯坦求和約定]]。

电场与磁场和相应的标势与矢势的对应关系分别为

:<math>\vec{E} = -\vec{\nabla} \phi - \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}   \qquad   \left( -\vec{\nabla} \phi - \frac{1}{c} \frac{\partial \vec{A}}{\partial t} \right) </math>
:<math>\vec{B} = \vec{\nabla} \times \vec{A} </math>

将这两个势写在一起的原因是<math>A_{\alpha}</math>是协变的，这意味着它在任意的曲面坐标变换下和一个标量的[[梯度]]变换方式相同，即如<math>\frac{\partial \psi}{\partial x^{\alpha}}\,,</math>的变换形式。这样四维势的[[内积]]

:<math>A_{\alpha} g^{\alpha \beta} A_{\beta} =\frac{\phi^2}{c^2}-  |\vec{A}|^2 \qquad  \left(A_{\alpha} g^{\alpha \beta} A_{\beta} \, = \phi^2 -|\vec{A}|^2 \right) </math> 

在任意[[惯性系]]下都是一个不变量。

不过，电场与磁场和相应的标势与矢势的对应关系并不是唯一的，通常可以对这两个势做如下的变换：

:<math>\phi \qquad \rightarrow \qquad \phi + \frac{\partial \lambda}{\partial t}\,</math>
:<math>\vec{A} \qquad \rightarrow \qquad \vec{A} - \nabla \lambda\,</math>

这组变换称作[[规范变换]]，在规范变换下电场和磁场仍然保持不变，因此相应的电标势和磁矢势并没有确定下来。

人们习惯在惯性参考系中采用[[洛伦茨规范条件]]<math>\partial_{\alpha} A^{\alpha} = 0</math>，实际上加上这组规范条件也并不能完全确定四维势（规范变换依然成立），但这样做的好处是这组规范条件具有[[洛伦兹不变性]]。

此时电磁场的[[麦克斯韦方程组]]可化简为下面的形式：

:<math>\Box A_{\alpha} =\mu_0 \eta_{\alpha \beta} J^{\beta}   \qquad   \left( \Box A_{\alpha} =\frac{4 \pi}{c} \eta_{\alpha \beta} J^{\beta} \right)</math>

其中<math>J^{\beta} \,</math>是[[四维电流矢量]]，

而
:<math>\Box =\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2} {\partial t^2} -   \nabla^2</math>是[[达朗贝尔算符]]。

如果写成电标势和磁矢势，则有

:<math>\Box \phi = \frac{\rho}{\epsilon_0}    \qquad   \left(\Box \phi =4 \pi \rho \right)</math> 

:<math>\Box \vec{A} =\mu_0 \vec{j}   \qquad   \left( \Box \vec{A} = \frac{4 \pi}{c} \vec{j} \right) </math>

对给定的分别为<math>\rho(\vec{x},t)</math>和<math>\vec{j}(\vec{x},t)</math>的电荷和电流分布，方程在国际单位制中的解为

:<math>\phi (\vec{x}, t) = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0} \int \mathrm{d}^3 x^\prime \frac{\rho( \vec{x}^\prime, \tau)}{ \left| \vec{x} - \vec{x}^\prime \right|}</math>

:<math>\vec A (\vec{x}, t) = \frac{\mu_0}{4 \pi} \int \mathrm{d}^3 x^\prime \frac{\vec{j}( \vec{x}^\prime, \tau)}{ \left| \vec{x} - \vec{x}^\prime \right|}</math>,

其中<math>\tau = t - \frac{\left|\vec{x}-\vec{x}'\right|}{c}</math>是推迟时间。有时方程也用<math>\rho(\vec{x}',\tau)=[\rho(\vec{x}',t)]\,</math>这样的形式表示对于时间变量应该用推迟时间来计算。当然，由于上面的方程是非齐次的[[微分方程]]，相应的[[齐次微分方程|齐次方程]]解加上非齐次方程的任何特解都会满足边界条件。一般来说，对应的齐次方程解表征着远源传播的[[电磁波]]。

对一些典型情形（例如振荡电流或电荷）进行上面的积分时，积分会同时给出以<math> r^{-2} \,</math>形式变化的磁场（[[感生磁场]]）和以<math> r^{-1} \,</math>形式变化的[[电磁场]]（辐射场）。

== 参考文献 ==
* {{lang|en|{{cite book | author = Rindler, Wolfgang | title=Introduction to Special Relativity (2nd)| url = https://archive.org/details/introductiontosp0000rind | location= Oxford | publisher=Oxford University Press | year=1991 | isbn=0-19-853952-5}}}}
* {{lang|en|{{cite book | author = Jackson, J D | title=Classical Electrodynamics (3rd) | location =New York | publisher=Wiley | year = 1999 | id=ISBN 0-471-30932-X }}}}

== 参见 ==

* [[经典电磁理论的协变形式]]
* [[电磁波方程]]

{{电磁学}}
[[Category:相对论|D]]
[[Category:电磁学|D]]