查看“︁电流密度”︁的源代码

{{NoteTA|G1=物理學}}
在[[電磁學]]裏，'''電流密度'''（{{lang|en|current density}}）是電荷流動的密度，即每單位截面面積[[電流|電流量]]。電流密度是一種[[向量]]，一般以符號<math>\mathbf{J}</math>表示。採用[[國際單位制]]，電流密度的單位是[[安培]]／米<sup>2</sup>（ampere/meter<sup>2</sup>，A/m<sup>2</sup>）。

==定義==

'''电流密度''' ''J'' 可以简单地定义为通过单位[[面积]] ''A''（国际单位：[[metre|m]]<sup>2</sup>）的[[电流]] ''I''（国际单位：[[安培|A]]）。它的量值由[[函数极限|极限]]给出：<ref>Essential Principles of Physics, P.M. Whelan, M.J. Hodgeson, 2nd Edition, 1978, John Murray, ISBN 0-7195-3382-1</ref>

:<math>J = \lim\limits_{A \rightarrow 0}\frac{I(A)}{A}</math>

当电流密度作为向量 '''J''' 时，在[[曲面]] ''S'' 上进行[[曲面积分]]后，再对持续时间 ''t''<sub>1</sub> 到 ''t''<sub>2</sub> 积分，得到 (''t''<sub>2</sub> − ''t''<sub>1</sub>) 这段时间流过该面的电荷总量：

:<math>q=\int_{t_1}^{t_2}\iint_S \mathbf{J}\cdot\mathbf{\hat{n}}{\rm d}A{\rm d}t </math>

计算通量所用到的[[面积]]可实可虚，可平可曲，可为截面也可为表面。例如，对于通过[[导体]]的载流子来说，这里遇到的面积是导体的截面。

==重要性==
對於[[電力系統]]和[[電子學|電子系統]]的設計而言，電流密度是很重要的。電路的性能與電流量緊密相關，而電流密度又是由導體的物體尺寸決定。例如，隨著[[積體電路]]的尺寸越變越小，雖然較小的元件需要的電流也較小，為了要達到[[晶片]]內含的元件數量密度增高的目標，電流密度會趨向於增高。更詳盡細節，請參閱[[摩爾定律]]。

在高頻頻域，由於[[趨膚效應]]，傳導區域會更加侷限於表面附近，因而促使電流密度增高。

電流密度過高會產生不理想後果。大多數電導體的[[電阻]]是有限的正值，會以[[熱能]]的形式消散[[功率]]。為了要避免電導體因過熱而被熔化或發生燃燒，並且防止絕緣材料遭到損壞，電流密度必須維持在過高值以下。假若電流密度過高，材料與材料之間的互連部分會開始移動，這現象稱為[[電遷移]]（{{lang|en|electromigration}}）。在[[超導體]]-{zh:里; zh-cn:里; zh-tw:裡; zh-hk:裏}-，過高的電流密度會產生很強的[[磁場]]，這會使得超導體自發地喪失超導性質。

對於電流密度所做的分析和觀察，可以用來探測固體內在的物理性質，包括金屬、半導體、絕緣體等等。在這科學領域，材料學家已經研究發展出一套非常詳盡的理論形式論，來解釋很多機要的實驗觀察<ref name= Martin>{{citation |title=Electronic Structure:Basic theory and practical methods |author=Richard P Martin |publisher=Cambridge University Press|pages=pp. 369ff |year=2004 |isbn=0521782856}}</ref>。

[[安培力定律]]描述電流密度與磁場之間的關係。電流密度是安培力定律的一個重要參數，

==計算电流密度==
===自由电流===
大自然有很多種載有電荷的[[粒子]]，稱為「帶電粒子」，例如，[[導電體]]內可移動的[[電子]]、[[電解液]]內的[[離子]]、[[電漿]]內的電子和離子、[[強子]]內的[[夸克]]<ref>
{{citation
 | title = The electronics companion
 | author = Anthony C. Fischer-Cripps
 | publisher = CRC Press
 | year = 2004
 | isbn = 9780750310123
 | pages = pp. 13
 }}</ref>。這些帶電粒子的移動，形成了電流。電荷流動的分佈可以由電流密度來描述：
:<math>\mathbf{J}(\mathbf{r}, t) = qn(\mathbf{r},t)\; \mathbf{v}_d(\mathbf{r},t) = \rho(\mathbf{r},t) \; \mathbf{v}_d(\mathbf{r},t)</math>；

其中，<math>\mathbf{J}(\mathbf{r}, t)</math>是在位置<math>\mathbf{r}</math>、在時間<math>t</math>的電流密度向量，<math>q</math>是帶電粒子的電荷量，<math>n(\mathbf{r},t)</math>是帶電粒子[[密度]]，是單位體積的帶電粒子數量，<math>\rho(\mathbf{r},t)</math>是[[電荷密度]]，<math>\mathbf{v}_d(\mathbf{r},t)</math>是帶電粒子的平均[[漂移速度]]。

電流密度時常可以近似為與電場成正比，以方程式表達為
:<math>\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}</math>；

其中，<math>\mathbf{E}</math>是[[电场]]，<math>\mathbf{J}</math>是电流密度，<math>\sigma</math>是[[电导率]]，是[[電阻率]]的[[倒數]]。

:{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!推导
|-
|[[File:电阻定律.png|thumb|200px|欧姆定律示意图]]
[[电阻]]公式闡明，一個均勻截面的物體的電阻與電阻率和導體[[長度]]成正比，與截面面積成反比。以方程式表達，
:<math>R=\rho\frac{\ell}{A}</math>；

其中，<math>R</math>是電阻，<math>\ell</math>是物體长度，<math>A</math>是物體的截面面积，<math>\rho</math>是[[电阻率]]。

根據[[歐姆定律]]，[[電壓]]<math>V</math>等於電流<math>I</math>乘以電阻：
:<math>V=IR</math>。

所以，
:<math>V=I \rho\frac{\ell}{A}</math>。

注意到在物體內，電場與電壓的關係為
:<math>\mathbf{E}=\frac{V}{\ell}\hat{z}</math>；

其中，<math>\hat{z}</math>是電流方向。

所以，
:<math>\mathbf{E}=\rho\frac{I}{A}\hat{z}=\rho\mathbf{J}</math>。

電導率為電阻率的倒數，<math>\sigma=1/\rho</math>。電流密度與電場的關係為
:<math>\mathbf{J}=\sigma\mathbf{E}</math>。
|}

採用更基礎性的方法來計算電流密度。這方法建立於方程式
:<math>\mathbf{J}(\mathbf{r}, t) =  \int_{-\infty}^t \mathrm{d}t' \int \mathrm{d}^3 r' \; \sigma(\mathbf{r}-\mathbf{r}', t-t') \; \mathbf{E}(\mathbf{r}',\ t')</math>；

其中，<math>\mathbf{r}' </math>和<math>t' </math>分別是位置積分變數和時間積分變數。

這方式顯示出電導率<math>\sigma</math>在時間方面的滯後響應，和在空間方面的非局域響應屬性。原則上，通過微觀量子分析，才能推導出來電導率函數。例如，對於足夠弱小的電場，可以從描述物質的電導性質的[[線性響應函數]]（{{lang|en|linear response function}}）推導<ref name=Rammer>{{citation |title=Quantum Field Theory of Non-equilibrium States |publisher=Cambridge University Press |year=2007|pages =pp. 158ff|author=Jørgen Rammer|isbn=9780521874991}}</ref>。經過一番沉思，可以了解，這電導率和其伴隨的電流密度反映出，在時間方面和在空間方面，電荷傳輸於介質的基本機制。

假設每當<math>\Delta t < 0</math>時，<math>\varepsilon_r(\Delta t) = 0</math>，則這積分的上限可以延伸至無窮大：
:<math>\mathbf{J}(\mathbf{r}, t) =  \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{d}t' \int \mathrm{d}^3 r' \; \sigma(\mathbf{r}-\mathbf{r}', t-t') \; \mathbf{E}(\mathbf{r}',\ t')</math>。

做一個對於時間與空間的[[傅立葉變換]]，根據[[摺積定理]]，可以得到
:<math>\mathbf{J}(\mathbf{k}, \omega) = \sigma(\mathbf{k}, \omega) \; \mathbf{E}(\mathbf{k}, \omega) </math>；

其中，<math>\sigma(\mathbf{k}, \omega)</math>是參數為[[波向量]]<math>\mathbf{k}</math>和[[角頻率]]<math>\omega</math>的電導率[[複函數]]。

許多物質的電導率是[[張量]]，電流可能不會與施加的電場同方向。例如，晶體物質這是這樣的物質。磁場的施加也可能會改變電導行為。

==穿過曲面的電流==
[[File:Stromdichte.svg|thumb|200px|电流和电流密度之间的关系]]
穿過曲面<math>\mathbb{S}</math>的電流<math>I</math>可以用面積分計算為
:<math>I=\int_\mathbb{S}{  \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}}</math>；

其中，<math>\mathbf{J}</math>是電流密度，<math>\mathrm{d}\mathbf{a}</math>是微小面元素。

==連續方程式==<!--link charge conservation-->
{{main|連續方程式}}
由於[[電荷守恆]]，從某設定體積流出的電流的淨流量，等於在這體積內部的電荷量的淨變率。以方程式表達，
:<math>\int_\mathbb{S}{ \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}} = -\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int_\mathbb{V}{\rho \ \mathrm{d}r^3} = -\ \int_\mathbb{V}{\left( \frac{\partial \rho}{\partial t} \right) \mathrm{d}r^3}</math>；

其中，<math>\rho</math>是電荷密度，<math>\mathrm{d}r^3</math>是微小體元素，<math>\mathbb{V}</math>是閉曲面<math>\mathbb{S}</math>所包圍的體積。

這方程式左邊的面積分表示電流從閉曲面<math>\mathbb{S}</math>所包圍的體積<math>\mathbb{V}</math>流出來，中間和右邊的體積分的負號表示，隨著時間的前進，體積內部的電荷量逐漸減少。

根據[[散度定理]]，
:<math>\int_\mathbb{S}{ \mathbf{J} \cdot \mathrm{d}\mathbf{a}} = \int_\mathbb{V}\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J} \ \mathrm{d}r^3</math>。

所以，
:<math>\int_\mathbb{V}\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{J}\  \mathrm{d}r^3= - \int_\mathbb{V}\frac{\partial \rho}{\partial t}\  \mathrm{d}r^3</math>。

注意到對於任意體積<math>\mathbb{V}</math>，上述方程式都成立。所以，兩個被積式恆等：
:<math>\nabla \cdot \mathbf{J} = -\ \frac{\partial \rho}{\partial t}</math>。

稱這方程式為[[連續方程式]]<ref name=Griffiths>{{citation |author= Griffiths, D.J. |title=Introduction to Electrodynamics |pages=pp. 213 |publisher=Pearson/Addison-Wesley |year=1999 |isbn=013805326X |edition=3rd Edition}}</ref>。

==參閱==
*[[霍爾效應]]
*[[量子霍爾效應]]
*[[超導現象]]
*[[漂移速度]]

==參考文獻==
{{Reflist}}
{{电磁学}}
{{DEFAULTSORT:D}}
{{Authority control}}
[[Category:電流]]
[[Category:密度]]