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[[File:Watt curve animated.gif|right|thumbnail|繪製瓦特曲線（圖中的黑線）]]
'''瓦特曲線'''是指一個[[六次方程]]的平面[[代數曲線]]，也是{{le|圓代數曲線|circular algebraic curve}}。是由二個半徑為''b'' ，圓心之間距離為2''a''（分別在(±''a'',&nbsp;0)）的圓所產生，一個長為2''c''的線段，兩端點分別在二圓上，其線段中間的軌跡即為瓦特曲線，此曲線和[[詹姆斯·瓦特]]在蒸汽機上的貢獻有關。

瓦特曲線的方程式可以寫為以下的[[极坐标系]]方程
:<math>r^2=b^2-\left[a\sin\theta\pm\sqrt{c^2-a^2\cos^2\theta}\right]^2.</math>

==推導==
===极坐标系===
极坐标系方程可以用下式推導<ref>See Catalan and Rutter</ref>：
在[[複數平面]]上，令二圓的圓心為''a''和''−a''，二圓連線的端點為''−a''+''be''<sup>''i'' λ</sup>和''a''+''be''<sup>''i'' ρ</sup>。令線段相對水平線的斜角ψ，其中點為''re''<sup>''i'' θ</sup>，則二端點也可表示為''re''<sup>''i'' θ</sup> ± ''ce''<sup>''i'' ψ</sup>。二端點的二種表示式可得：
:<math>a+be^{i\rho}=re^{i\theta}+ce^{i\psi}.\,</math>
:<math>-a+be^{i\lambda}=re^{i\theta}-ce^{i\psi}\,</math>
二式相加再除二可得
:<math>re^{i\theta}=\tfrac{b}{2}(e^{i\rho}+e^{i\lambda})=b\cos(\tfrac{\rho-\lambda}{2})e^{i\tfrac{\rho+\lambda}{2}}.</math>
比較半徑及幅角可得
:<math>r=b\cos\alpha,\ \theta=\tfrac{\rho+\lambda}{2}\ \mbox{where}\ \alpha=\tfrac{\rho-\lambda}{2}.</math>
一開始的二式相減再除二可得
:<math>ce^{i\psi}-a=\tfrac{b}{2}(e^{i\rho}-e^{i\lambda})=i b\sin\alpha e^{i\theta}.</math>
將''a''以下式表示
:<math>a=a\cos\theta\ e^{i\theta} - i a\sin\theta\ e^{i\theta}.\,</math>
因此
:<math>ce^{i\psi}=i b\sin\alpha e^{i\theta}+a\cos\theta\ e^{i\theta} - i a\sin\theta\ e^{i\theta}=(a\cos\theta\ +i(b\sin\alpha-a\sin\theta))e^{i\theta},</math>
:<math>c^2=a^2\cos^2\theta+(b\sin\alpha-a\sin\theta)^2,\,</math>
:<math>b\sin\alpha=a\sin\theta\pm\sqrt{c^2-a^2\cos^2\theta},\,</math>
:<math>r^2=b^2\cos^2\alpha=b^2-b^2\sin^2\alpha=b^2-\left[a\sin\theta\pm\sqrt{c^2-a^2\cos^2\theta}\right]^2.,\,</math>

===直角座標系===
將極座標方式展開可得
:<math>r^2=b^2-(a^2\sin^2\theta\ + c^2-a^2\cos^2\theta \pm 2a\sin\theta\sqrt{c^2-a^2\cos^2\theta}),\,</math>
:<math>r^2-a^2-b^2+c^2+2a^2\sin^2\theta=\pm 2a\sin\theta\sqrt{c^2-a^2\cos^2\theta}),\,</math>
:<math>(r^2-a^2-b^2+c^2)^2+4a^2(r^2-a^2-b^2+c^2)\sin^2\theta+4a^4\sin^4\theta=4a^2\sin^2\theta(c^2-a^2\cos^2\theta),\,</math>
:<math>(r^2-a^2-b^2+c^2)^2+4a^2(r^2-b^2)\sin^2\theta=0,\,</math>
:<math>(x^2+y^2)(x^2+y^2-a^2-b^2+c^2)^2+4a^2y^2(x^2+y^2-b^2)=0.\,</math>
令''d'' <sup>2</sup>=''a''<sup>2</sup>+''b''<sup>2</sup>–''c''<sup>2</sup> 因此可簡化上式為:<math>(x^2+y^2)(x^2+y^2-d^2)^2+4a^2y^2(x^2+y^2-b^2)=0.\,</math>

==瓦特連桿==
[[File:Watts linkage.gif|right|thumb]]
<!--{{main|Watt's linkage}}-->
當曲線通過原點時，原點為拐點，因此有3階接觸切線。不過若''a''<sup>2</sup>=''b''<sup>2</sup>+<''c''<sup>2</sup>，則有5階接觸切線，換句話說此曲線相當接近直線，這就是{{le|瓦特連桿|Watt's linkage}}可以作為[[直線運動機構]]的原理。

==相關條目==
* [[平面四杆机构]]
* {{le|瓦特連桿|Watt's linkage}}

==參考資料==
{{reflist}}

==外部連結==
* {{MathWorld|title=Watt's Curve|urlname=WattsCurve}}
* {{MacTutor|class=Curves|id=Watts|title=Watt's Curve}}
* [http://www.mathcurve.com/courbes2d/watt/watt.shtml "Courbe de Watt" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables] {{Wayback|url=http://www.mathcurve.com/courbes2d/watt/watt.shtml |date=20210102211558 }} (in French)
* {{cite journal |last=Catalan|first=E.|authorlink=Eugène Charles Catalan|title=Sur la Courbe de Watt
|journal=[[Mathesis (journal)|Mathesis]]|volume=V|year=1885|page=154}}
* {{cite book |title=Geometry of Curves|url=https://archive.org/details/geometryofcurves0000rutt|first=John W.|last=Rutter
|publisher=CRC Press|year=2000|isbn=1-58488-166-6|pages=73ff.}}

{{DEFAULTSORT:Watt's Curve}}
[[Category:六次曲線]]
[[Category:詹姆斯·瓦特]]