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{{Unreferenced|time=2021-05-16T17:19:52+00:00}}
[[File:Lemniscate.svg|thumb|伯努利雙紐線的外形如∞]]

'''環面曲線'''（toric section）是[[平面 (数学)|平面]]和[[環面]]相交形成的曲線，正如[[圓錐曲線]]是[[圓錐]]面和平面相交而成的。其方程為：

:<math>
\left( x^{2} + y^{2} \right)^{2} + a x^{2} + b y^{2} + cx + dy + e = 0
</math>

它們都是四次曲線。

==伯努利雙紐線==
'''[[伯努利雙紐線]]'''（Lemniscate of Bernoulli）的方程為
:<math>(x^2 + y^2)^2 = 2a^2 (x^2 - y^2)</math>

求雙紐線的[[弧長]]需要應用[[橢圓積分]]。雙紐線可視為[[雙曲線]]的[[反演變換]]，反演圓心在双曲线的中心。

==卡西尼卵形線==
[[File:CassiniOvals01.png|thumb|卡西尼卵形線]]
取兩個定點<math>Q_1, Q_2</math>為焦點。'''[[卡西尼卵形線]]'''（Cassini oval）是所有這樣的點P的軌跡：<math>P</math>和焦點的距離的[[積]]為常數（這類似橢圓的定義——點<math>P</math>和焦點的距離的[[和]]為常數）。即<math>d(P,Q_1) \times d(P,Q_2) = b^2</math>。

在[[直角坐標系]]，若焦點分別在<math>(a,0)</math>和<math>(-a,0)</math>，卵形線的方程可寫成：
:<math>((x-a)^2+y^2)((x+a)^2+y^2)=b^4</math>
:<math>(x^2+y^2)^2-2a^2(x^2-y^2)+a^4=b^4</math>
:<math>(x^2+y^2+a^2)^2-4a^2x^2=b^4</math>

在[[極坐標系]]：
:<math>r^4-2a^2r^2 \cos 2\theta = b^4-a^4</math>

卵形線經過反演變換，依然是卵形線。

卵形線的形狀由<math>b/a</math>的值決定。若<math>b/a>1</math>，軌跡是一個封閉的圈。若<math>b/a<1</math>，軌跡是兩個封閉的圈。若<math>b/a=1</math>，軌跡為伯努利雙紐線。

==Hippopede曲線==
[[File:Hippopede02.svg|thumb|300px|Hippopedes: a=1, b=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0]]
[[File:Hippopede01.svg|thumb|300px|Hippopedes: b=1, a=0.1, 0.2, 0.5, 1.0, 1.5, 2.0]]

Hippopede曲線（或Hippopede of Proclus）的極坐標方程為：
:<math>r^2 = 4 b (a- b \sin^{2} \theta)</math> 

直角坐標系：

:<math>\left(x^2+y^2 \right)^2+4b(b-a)(x^2+y^2)=4b^2x^2</math>

當<math>b=2a</math>，Hippopede曲線為伯努利雙紐線。

[[Category:四次曲線]]