查看“︁環的局部化”︁的源代码

{{NoteTA|G1=Math}}

在[[抽象代數]]中，'''局部化'''是一種在[[环 (代数)|環]]中形式地添加某些元素的[[逆元素|倒數]]，藉以建構[[分數|分式]]的技術；由此可透過[[張量積]]構造[[模]]的局部化。[[範疇論|範疇]]的'''局部化'''過程類似，但此時加入的是[[態射]]之逆元素，以使得這些態射在局部化以後變為[[同構]]。

局部化在[[環論]]與[[代數幾何]]中佔有根本地位，範疇的局部化則引出[[導範疇]]的概念，在高等數學中有眾多應用。

==幾何詮釋==
「局部化」一詞源出[[代數幾何]]。設 <math>R</math> 是一個仿射[[代數簇]] <math>X</math> 的座標環（也就是 <math>X</math> 上的[[多項式]]函數），則 <math>R</math> 對其元素 <math>f</math> 的局部化的意義是將 <math>V(f) := \{ x \in X : f(x) = 0 \}</math> 從 <math>X</math> 中挖掉，得到的環 <math>R_f</math> 正是 <math>X - V(f)</math> 的座標環；若對極大理想 <math>\mathfrak{m}_x := \{ f \in R : f(x)=0 \}</math> 作局部化，則可以設想為挖去所有的 <math>V(f) \quad (f(x) \neq 0)</math>；得到的環 <math>R_{\mathfrak{m}_x}</math> 體現 <math>X</math> 上的多項式函數在 <math>x</math> 點的''局部''性質。

藉著將[[模]]理解為仿射代數簇上的[[凝聚層|擬凝聚層]]，可以類似地詮釋模的局部化；它無非是擬凝聚層在一個點的莖。

==環的局部化==
在此僅考慮含單位元的[[环 (代数)|環]]。設 <math>R</math> 為環，<math>S</math> 為 <math>R</math>的'''積性子集'''（定義：對乘法封閉，並包含單位元素的集合）。以下將探討 <math>R</math> 對 <math>S</math> 之局部化。

===泛性質===
<math>R</math> 對 <math>S</math> 的局部化如果存在，是一個環 <math>S^{-1}R</math>（或記作 <math> R[S^{-1}]</math>）配上環同態 <math>R \rightarrow S^{-1}R</math>，使之滿足以下的[[泛性質]]：
: 對任何環 <math>T</math> 及環同態 <math>\phi: R \rightarrow T</math>，若 <math>S</math> 的元素在 <math>\phi</math> 下的像皆可逆，則存在唯一的環同態 <math>\psi: S^{-1}R \rightarrow T</math>，使得 <math>\phi</math> 是 <math>R \rightarrow S^{-1}R</math> 與 <math>\psi</math> 的合成。

此性質可保證局部化 <math>(S^{-1}R, R \rightarrow S^{-1}R)</math> 的唯一性。

===交換環的情形===
當交換環 <math>R</math> 為[[整環]]時，局部化的構造相當容易。若 <math>0 \in S</math>，則 <math>S^{-1}R</math> 必然是零環；若不然，我們可以在 <math>R</math> 的[[分式環]] <math>K</math> 中構造局部化：取 <math>S^{-1}R \subset K</math> 為形如 <math>\frac{r}{s} \quad (r \in R, s \in S)</math> 的元素即可。

對於一般的交換環，我們必須推廣分式環的構造；在此須注意到：由於 <math>S</math> 中可能有零因子，我們不能魯莽地通分一個分式。構造方式如下：

在集合 <math>R \times S</math> 上定義下述[[等價關係]] <math>\sim</math>：
: <math>(r,s) \sim (r',s') \iff</math> 存在 <math>t \in S</math> 使得 <math> t(rs' - r's) = 0</math>

等價類 <math>[r,s]</math> 可以想成「分式」 <math>r/s</math>，藉此類比，在商集 <math>(R \times S)/\sim</math> 上定義加法與乘法為：
: <math>[r,s] + [r',s'] = [rs'+r's, ss'] </math>
: <math>[r,s] [r',s'] = [rr',ss']</math>

可驗證上述運算是明確定義的。此外還有環同態 <math>R \rightarrow (R \times S)/\sim</math>，定義為 <math>r \mapsto [r,1]</math>。於是可定義 <math>S^{-1}R := (R \times S)/\sim</math>，再 配上上述環運算與同態。在實踐上，我們常逕將 <math>S^{-1}R</math> 裡的元素寫作分式 <math>r/s</math>。

[[交換代數]]與[[代數幾何]]中經常考慮兩種局部化：
* 固定 <math>f \in R</math>，取 <math>S := \{ f^n : n \geq 0 \} </math>。在[[交換環譜]]中，對這類 <math>S</math> 的局部化構成 <math>\mathrm{Spec}(R)</math> 的''基本開集''（<math>\mathrm{Spec}(R)</math> 表 <math>R</math> 的所有素理想構成的集合）。這種局部化常記作 <math>R_f</math>。
* 固定[[素理想]] <math>\mathfrak{p} \subset R</math>，取 <math>S := R - \mathfrak{p}</math>，此時也稱作對素理想 <math>\mathfrak{p}</math> 的局部化。這種局部化常記作 <math>R_\mathfrak{p}</math>。

以下是 <math>S^{-1}R</math> 的一些環論性質。
* <math>S^{-1}R = (0)</math> 若且唯若 <math>0 \in S</math>。
* 環同態 <math>R \rightarrow S^{-1}R</math> 是單射，若且唯若 <math>S</math> 中不含零因子。
* 同態 <math>R \rightarrow S^{-1}R</math> 下的逆像給出下列一一對應：
: <math>\mathrm{Spec}(S^{-1}R) = \{ \mathfrak{p} \in \mathrm{Spec}(R) : \mathfrak{p} \cap S = \emptyset \}</math>
: 一個重要的特例是取 <math>S = R - \mathfrak{p}</math>，可知 <math>R_\mathfrak{p}</math> 中的素理想一一對應至 <math>R</math> 中包含於 <math>\mathfrak{p}</math> 的素理想，因此 <math>R_\mathfrak{p}</math> 是[[局部環]]。

===非交換環的情形===
非交換環的局部化較困難，並非對所有積性子集 <math>S</math>  都有局部化。充分條件之一是[[歐爾條件]]，請參閱條目[[歐爾定理]]。

其應用之一是用於微分算子環。例如它可以解釋作為一個微分算子 <math>D</math> 抽象地添加逆算子 <math>D^{-1}</math>；[[微局部分析]]中運用了這類構造。

==模的局部化==
設 <math>R</math> 為含單位元的交換環，<math>S</math> 是積性子集，而 <math>M</math> 是個 <math>R</math>-模。模的局部化與交換環類似，寫作 <math>S^{-1}M</math> 或 <math>M[S^{-1}]</math>。我們依然要求存在模同態 <math>M \rightarrow S^{-1}M</math> 及以下的泛性質（此泛性質蘊含唯一性）：

: 對任何 <math>S^{-1}R</math>-模  <math>N</math> 及 <math>R</math>-模同態 <math>\phi: M \rightarrow N</math>，存在唯一的 <math>S^{-1}R</math>-模同態 <math>\psi: S^{-1}M \rightarrow N</math>，使得 <math>\phi</math> 是 <math>M \rightarrow S^{-1}M</math> 與 <math>\psi</math> 的合成。

事實上，可以用[[張量積]]構造模的局部化：
: <math> S^{-1}M := M \otimes_R S^{-1}R </math>
這是一個''正合函子''，它將單射映為單射。亦即：<math>S^{-1}R</math> 是[[平坦 (模論)|平坦]]的 <math>R</math>-模。利用張量積與環的局部化的泛性質，可以形式地導出上述構造確實滿足局部化的要求。

此外，也可以仿造交換環的局部化，用分式 <math>\{ m/s : m \in M, s \in S \}</math> 直接構造 <math>S^{-1}M</math>，分式間的等價與代數運算類似交換環的情形。

==範疇的局部化==
'''範疇的局部化'''的意義在將一族態射之逆態射加入[[範疇論|範疇]]中，使得這些態射成為[[同構]]。這在形式上近於環的局部化，也能使先前不同構的對象在局部化後變為同構。例如，在[[同倫理論]]中有許多連續映射在[[同倫]]的意義下可逆，藉著將這些映射局部化，[[同倫|同倫等價]]的空間可被視為彼此同構。局部化範疇裡的操作也稱作'''分式運算'''，相關技術細節請見文獻中 Gabriel-Zisman 或 Weibel 的著作。

===一些例子===
# 塞爾提議在模掉某類[[阿貝爾群]] <math>\mathcal{C}</math> 的[[同倫範疇]]裡操作，這意謂若群 <math>A, B</math> 滿足 <math>A/B \in \mathcal{C}</math>，則視之為同構的。稍後 Dennis Sullivan 引進一個大膽的想法：改在空間的局部化裡操作。如此將影響底層的拓撲空間。
# 設 <math>R</math> 的[[克鲁尔维数]]至少是 2，此時若兩個 <math>R</math>-模 <math>M \supset N</math> 滿足 <math>M/N</math> 的[[支集|支撐集]]的餘維至少是 2，則可視之為''偽同構''的。[[岩澤理論]]大大利用了這個想法。
# 在[[同調代數]]中，我們藉著加入[[擬同構]]之逆而得到[[導範疇]]。
# 在[[阿貝爾簇]]的理論中，我們常等同兩個[[同源 (數學)|同源]]的阿貝爾簇，並將同源映射視為同構。此「至多差一個同源」的範疇是局部化較簡單的例子，實質上不外是將 <math>\mathrm{Hom}(X,Y)</math> 代以 <math>\mathrm{Hom}(X,Y) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}</math>。

===集合論的問題===
一般而言，給定一個範疇 <math>\mathcal{C}</math> 及一族態射 <math>w</math>，在探討是否能構造局部化  <math>w^{-1}\mathcal{C}</math> 時會遇到以下問題：當 <math>\mathcal{C}</math> 是小範疇或 <math>w</math> 是集合時已知可構造局部化，但一般來說則是個棘手的集合論問題；局部化的典型構造可能會造成兩對象間的態射「太多」，換言之可能是個[[類 (數學)|真類]]。發展[[模型範疇]]的動機之一正是要避免這類問題。

==文獻==
* P. Gabriel and M. Zisman. ''Calculus of fractions and homotopy theory''. Springer-Verlag New York, Inc., New York, 1967. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 35.
* Serge Lang, ''Algebra'' (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X
* Charles A. Weibel, ''An Introduction to Homological Algebra'' (1994), Cambridge University Press.  ISBN 0-521-55987-1

{{ModernAlgebra}}

[[Category:交換代數|J]]
[[Category:环论|J]]
[[Category:範疇論|J]]