查看“︁瑞利商”︁的源代码

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{{NoteTA|G1=Math}}
在数学中，'''瑞利商'''（{{Lang-en|Rayleigh quotient}}）定义为：<ref>{{Cite book|title=矩阵分析|last=史|first=荣昌|publisher=北京理工大学|year=2010|isbn=9787564031893|location=北京|last2=魏|first2=丰|pages=144-147}}</ref><ref name=":0">{{Cite book|title=矩阵分析与应用|last=张|first=贤达|publisher=清华大学|year=2013|isbn=9787302338598|location=北京|pages=442-447}}</ref>

<math display="block">R(M,x) = {x^{*} M x \over x^{*} x}.</math>

式中，<math>M</math>为复[[埃尔米特矩阵]]，''<math>x</math>''为非零[[向量]]。对实矩阵和向量，对矩阵的埃尔米特矩阵要求退化为[[對稱矩陣|对称矩阵]]，对向量的[[共轭转置]]退化为[[转置矩阵|转置]]。

<math>R(M, c x) = R(M,x)</math>对所有非零标量''<math>c</math>''成立。

埃尔米特矩阵（或实对称矩阵）只具有实特征值且可对角化，由此，对于给定矩阵，其瑞利商达到最小值λ（''<math>M</math>''的最小[[特征值和特征向量|特征值]]）当''<math>x</math>''为<math>v_\min</math>（最小特征值对应的特征向量）；类似的：<math>R(M, x) \leq \lambda_\max</math>，<math>R(M, v_\max) = \lambda_\max </math>。<ref name=":0" />

瑞利商使用{{Link-en|最小最大定理|Min-max_theorem}}（min-max theorem）获得所有特征值的精确值。它还用于特征值算法（如{{Link-en|瑞利商迭代|Rayleigh_quotient_iteration}}），从特征向量近似值中获得特征值近似值。

在[[量子力学]]中，瑞利商给出了状态为''<math>x</math>''的系统中算子''<math>M</math>''观测值的[[期望值 (量子力學)|期望值]]。

== 埃尔米特矩阵''M''的界 ==
对于任意向量''<math>x</math>''，其瑞利商满足<math>R(M,x) \in \left[\lambda_\min, \lambda_\max \right]</math>，其中<math>\lambda_\min, \lambda_\max</math>分别代表矩阵<math>M</math>的最小特征值和最大特征值。观察定义可知，矩阵<math>M</math>的瑞利商等价于其特征值的加权和：<math display="block">R(M,x) = {x^{*} M x \over x^{*} x} = \frac{\sum_{i=1}^n \lambda_i y_i^2}{\sum_{i=1}^n y_i^2}</math>其中<math>(\lambda_i, v_i)</math>是第<math>i</math>个归一化后的特征值-特征向量对，<math>y_i = v_i^* x</math>是''<math>x</math>''在特征基中的第<math>i</math>个坐标。可以验证，当''<math>x</math>''为矩阵<math>M</math>最小（最大）特征值对应的特征向量<math>v_\min</math>（<math>v_\max</math>）时，<math>R(M,x)</math>取值达到其下（上）界。

== 参考文献 ==
{{Reflist}}
[[Category:線性代數]]