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在数学的[[纽结理论]]中，'''琼斯多项式'''是[[沃恩·琼斯]]在1984年发现的[[纽结多项式]]<ref>{{Cite journal|last=Jones |first=V.F.R. |title=A polynomial invariant for knots via von Neumann algebra | year=1985 | journal=Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) | volume=12 | pages=103–111 | doi=10.1090/s0273-0979-1985-15304-2}}</ref>。琼斯多项式是[[有向纽结]]（{{lang-en|oriented knot}}）或有向环（{{lang-en|oriented link}}）的一个{{link-en|纽结不变量|knot invariant}}（{{lang-en|knot invariant}}）。具体而言，它是一个以 <math>t^{1/2}</math> 为变量的系数全为整数的{{link-en|洛朗多项式|Laurent polynomial}}<ref>{{cite web |title=Jones Polynomials, Volume and Essential Knot Surfaces: A Survey |url=https://math.byu.edu/~jpurcell/papers/fkp-survey7.pdf |access-date=2017-12-23 |archive-date=2020-12-09 |archive-url=https://web.archive.org/web/20201209203822/https://math.byu.edu/~jpurcell/papers/fkp-survey7.pdf |dead-url=no }}</ref>。

== 琼斯多项式定义式 ==
[[Image:Reidemeister move 1.png|thumb|upright|I型 Reidemeister变换]]
假设给定一个有向纽结或有向环 <math>L</math> 以及它的投影图，那么我们可以通过考夫曼（{{lang-en|Kauffman}}）的{{link-en|尖括号多项式|Bracket Polynomial}}<math>\langle L\rangle</math> 来定义琼斯多项式 <math>V(L)</math> 。这里的尖括号多项式是一个以 <math>A</math> 为变量的系数全为整数的{{link-en|洛朗多项式|Laurent polynomial}}。

首先我们先建立一个辅助多项式（{{lang-en|auxiliary polynomial}}）{{notetag|该辅助多项式也被称作标准化的尖括号多项式。}}
:<math>X(L) = (-A^3)^{-w(L)}\langle L \rangle </math>,

公式中的 <math>w(L)</math> 是这个投影图的[[拧数]]。一个投影图的[[拧数]]是正交叉数量（下图中的 <math>L_{+}</math> ）减去负交叉数量（<math>L_{-}</math>）得到的数值。拧数不是一个纽结不变量。

辅助多项式 <math>X(L)</math> 是一个纽结不变量，因为即使对 <math>L</math> 进行三种[[Reidemeister变换]]，也不会改变它的多项式
<math>X(L)</math> 。尖括号多项式在II型Reidemeister变换和III型Reidemeister变换下保持不变，但I型Reidemeister变换会导致尖括号多项式被乘上 <math>-A^{\pm 3}</math> 。以上的 <math>X(L)</math> 定义式就是为了抵消I型Reidemeister变换对尖括号多项式的影响，因为I型Reidemeister变换也会使[[拧数]]增加1或减少1。

现在对多项式 <math>X(L)</math> 进行变量替换 <math>A = t^{-1/4} </math> ，就得到了琼斯多项式 <math>V(L)</math>。

== 特征 ==
对于一个[[平凡结]]{{notetag|英文原词为 unknot, 在此翻译为「平凡结」，即是一个没有结的纽结。}}的任何投影图，它的琼斯多项式都为常数1。琼斯多项式还满足以下的[[纽结关系]]：

::<math> (t^{1/2} - t^{-1/2})V(L_0)  = t^{-1}V(L_{+}) - tV(L_{-}) \,</math>

上式的 <math>L_{+}</math>，<math>L_{-}</math>，和 <math>L_{0}</math> 是三个有向环的投影图，他们唯一的区别只在于一个相交点，如下图所示：

[[Image:Skein (HOMFLY).svg|center|200px]]

因为琼斯多项式由{{link-en|尖括号多项式|Bracket Polynomial}}而定义，所以我们根据尖括号多项式的特性可得出以下推论：给定一个纽结 <math>K</math> ，若我们已知它的琼斯多项式 <math>V(K)</math> ，那么要得到它的镜像（{{lang-en|mirror image}}）的琼斯多项式，只需在 <math>V(K)</math> 中把 <math>t</math> 替换成 <math>t^{-1}</math> 。因此我们从一个纽结的琼斯多项式可以判断这个纽结是否和它的镜像相同。

琼斯多项式还有一个著名的特征：一个交错纽结（{{lang-en|alternating knot}}）的琼斯多项式是一个[[交错多项式]]。数学家{{link-en|Morwen Thistlethwaite}}在1987年证明了这个特征<ref>{{cite journal|last1=Thistlethwaite|first1=Morwen B.|title=A spanning tree expansion of the jones polynomial|journal=Topology|date=1987|volume=26|issue=3|pages=297–309|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0040938387900036|doi=10.1016/0040-9383(87)90003-6|access-date=2017-12-24|archive-date=2021-06-21|archive-url=https://web.archive.org/web/20210621201545/https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0040938387900036|dead-url=no}}</ref>。数学家{{link-en|Hernando Burgos-Soto}}也给出了另一种证明，并把这个特征推广到了{{link-en|缠绕|Tangle (mathematics)}}（{{lang-en|tangle}}）上<ref>{{cite journal|last1=Burgos-Soto|first1=Hernando|title=The Jones polynomial and the planar algebra of alternating links|journal=Journal of Knot Theory and its Ramifications|date=2010|volume=19|issue=11|pages=1487–1505|url=http://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218216510008510?journalCode=jktr|doi=10.1142/s0218216510008510|access-date=2017-12-24|archive-date=2019-06-20|archive-url=https://web.archive.org/web/20190620034642/https://www.worldscientific.com/doi/abs/10.1142/S0218216510008510?journalCode=jktr|dead-url=no}}</ref>。

== 陈-西蒙斯理论 ==
根据[[爱德华·威滕]]的证明，若我们有三维球面<math>S^3</math>和规范群SU(2)的[[陈-西蒙斯理论]]：

* F是SU(2)的基本表示（参看：https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_SU(2) {{Wayback|url=https://en.wikipedia.org/wiki/Representation_theory_of_SU(2) |date=20201112015009 }}<nowiki/>），
* C是纽结

[[威爾森迴圈]]<math>W_F(C)</math>的[[真空期望值]]等于C的琼斯多项式。

这是[[环绕数]]的推廣。<ref>{{cite web|author1=Ed Witten|url=https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104178138|title=Quantum Field Theory and the Jones polynomial|access-date=2020-02-21|archive-date=2020-11-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20201101010542/https://projecteuclid.org/euclid.cmp/1104178138|dead-url=no}}</ref>

== 辮群 ==
{{main|辮群}}
* [[統計力學]]的[[玻茨模型]]<ref>{{cite web|author1=Vaughan F.R. Jones|url=https://math.berkeley.edu/~vfr/jones.pdf|title=The Jones polynomial|access-date=2020-02-21|archive-date=2017-11-10|archive-url=https://web.archive.org/web/20171110200811/https://math.berkeley.edu/~vfr/jones.pdf|dead-url=no}}</ref><ref>{{cite web|author1=Jones|url=https://math.berkeley.edu/~vfr/jonesakl.pdf|title=The Jones polynomial for dummies|access-date=2020-02-21|archive-date=2020-12-01|archive-url=https://web.archive.org/web/20201201124209/https://math.berkeley.edu/~vfr/jonesakl.pdf|dead-url=no}}</ref>
* {{le|亞歷山大定理|Alexander's Theorem}}

== 相關條目 ==
* [[HOMFLY多項式]]
* {{le|亞歷山大多項式|Alexander Polynomial}}

== 注释 ==
{{notefoot}}

== 参考来源 ==
{{reflist}}{{纽结理论}}
[[Category:纽结理论]]
[[Category:纽结不变量]]
[[Category:陈-西蒙斯理论]]
[[Category:陈省身]]