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{{NoteTA|G1=Math}}
{{環論|基礎}}
'''理想'''（{{lang-en|Ideal}}）是一个[[环论]]中的概念。
若某[[环 (代数)|环]]的子集为在原环加法的定义下的子[[群]]，且其中的元素在原环乘法下与任意原环中的元素结果都在该子群中，则称其为原环的'''理想'''。
通俗地说，一环的理想在加法上成群且在乘法上表现如同一个黑洞。
理想是[[整数]]的某些子集，例如[[偶数]]或3的倍数组成的集合的推廣。两个偶数相加或相减结果仍是偶数，偶数与任意整数相乘的结果也仍是偶数；这些[[闭包 (数学)|闭包]]和吸收的性质正是理想的定义。理想可以被用来构造[[商环]]，这类似于在[[群论]]里，[[正规子群]]可以被用来构造[[商群]]。

== 历史 ==

[[恩斯特·库默尔]]提出了[[理想数]]的概念，以此作为那些不具有唯一因子分解的数环的“缺失”的因子。“理想”在这里的意思是它只存在于想象中，可以类比在几何中那些“理想”的几何对象，比如无穷远处的点。<ref name="Stillwell">{{cite book
| author = John Stillwell
| title = Mathematics and its history
| url = https://archive.org/details/mathematicsitshi00stil
| year = 2010
| page = [https://archive.org/details/mathematicsitshi00stil/page/n461 439]
}}</ref>随后在1876年，[[理查德·戴德金]]在[[狄利克雷]]的''[[数论讲义]]''书的第三版中用被称为“理想”的数的集合代替了库默尔之前未定义的概念。<ref name="Stillwell" /><ref name="flt">{{cite book
| author = Harold M. Edwards
| title = Fermat's last theorem. A genetic introduction to algebraic number theory
| year = 1977
| page = 76
}}</ref><ref name="everest_ward">{{cite book
| author = Everest G., Ward T.
| title = An introduction to number theory
| year = 2005
| page = 83
}}</ref>之后这个概念被[[大卫·希尔伯特]]和[[艾米·诺特]]从数环拓展到了多项式环以及其他交换环上。

== 定义 ==

[[环 (代数)|环]](R,+,·)，已知(R, +)是[[阿贝尔群]]。R的子集I称为R的一个'''右理想'''，若I满足：
#(I, +)构成(R, +)的子群。
# ∀i ∈ I，r ∈ R，i·r ∈ I。

类似地，I称为R的'''左理想'''，若以下条件成立：

#(I, +)构成(R, +)的子群。
# ∀i ∈ I，r ∈ R，r·i ∈ I。

若I既是R的右理想，也是R的左理想，则称I为R的'''双边理想'''，简称R上的'''理想'''。

=== 示例 ===
* 整数环的理想：整数环'''Z'''只有形如'''nZ'''的理想。

=== 一些结论 ===
* 在环中，（左或右）理想的交和并仍然是（左或右）理想。

* 对于R的两个理想A，B，记<math> AB=\left\{ \sum_{k=0}^{n} a_{k}b_{k}| a_{k} \in A,b_{k} \in B \right\}</math>。按定义不难证明：
#如果A是R的左理想，则AB是R的左理想。
#如果B是R的右理想，则AB是R的右理想。
#如果A是R的左理想，B是R的右理想，则AB是R的双边理想。

* R的子集I是R的理想，若I满足：
# ∀a,b ∈ I，a - b∈I。
# ∀a ∈ I, r ∈ R，则a·r∈ I。

* 交换环的理想：交换环的理想都是双边理想。

* 除环的理想：除环中的（左或右）理想只有平凡（左或右）理想。

== 生成理想 ==
如果 <math>A</math> 是环 <math>R</math> 的一个非空子集，令 <math>\left\langle A\right\rangle=RA+AR+RAR+\mathbb{Z}A</math>, 其中

<math>
\mathbb{Z}A=\left\{\sum_{i=1}^n m_i a_i: m_i\in \mathbb{Z},\,a_i\in A,\,n\geq 1\right\};
</math>

<math>
RA=\left\{\sum_{i=1}^n r_i a_i: r_i\in R,\,a_i\in A,\,n\geq 1\right\};
</math>

<math>
AR=\left\{\sum_{i=1}^n a_i r_i: r_i\in R,\,a_i\in A,\,n\geq 1\right\};
</math>

<math>
RAR=\left\{\sum_{i=1}^n r_i a_i r_i': r_i,r_i'\in R,\,a_i\in A,\,n\geq 1\right\},
</math>

则 <math>\left\langle A\right\rangle</math> 是环 <math>R</math> 的理想，这个理想称为 <math>R</math> 中由 <math>A</math> 生成的理想，<math>A</math> 称为生成元集。同群的生成子群类似，<math>\left\langle A\right\rangle</math> 是 <math>R</math> 中所有包含 <math>A</math> 的理想的交，因此是 <math>R</math> 中包含 <math>A</math> 的最小理想。下面是生成理想的几种特殊情况：

#当 <math>R</math> 是交换环时，<math>\left\langle A\right\rangle =RA+\mathbb{Z}A</math>;
#当 <math>R</math> 是有单位元<math>1</math>的环时，<math>\left\langle A\right\rangle =RAR</math>;
#当 <math>R</math> 是有单位元的交换环时，<math>\left\langle A\right\rangle =RA</math>.

== 主理想 ==
设集合A = {a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,...,a<sub>n</sub>}，则记<A> = <a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,...,a<sub>n</sub>>，称<math>\left \langle A \right \rangle </math>是有限生成理想。特别当<math>A= \left\{ a\right\}</math>是单元素集时，称<math>\left \langle A \right \rangle =\left \langle a \right \rangle  </math>为环R的主理想。注意<math>\left\{ a\right\}</math>作为生成元一般不是唯一的，如<math>\left \langle a \right \rangle =\left \langle -a \right \rangle </math>。<math>\left \langle a \right \rangle</math>的一般形式是：
: <math>\left \langle a \right \rangle =\left\{ \sum_{k=1}^{m} x_{k}ay_{k}+sa+at+na| x_{k},y_{k},s,t \in R, n,m \in Z \right\}</math>
:* 性质：<math>\left \langle A \right \rangle =\sum_{a \in A} \left \langle a \right \rangle  </math>

:几类特殊环中的主理想：

#如果是交换环，则<math>\left \langle a \right \rangle =\left\{sa+na| s \in R, n \in Z \right\}</math>
#如果是有单位元的环，则<math>\left \langle a \right \rangle =\left\{ \sum_{k=1}^{m} x_{k}ay_{k}| x_{k},y_{k} \in R, m \in Z, m>0 \right\}</math>
#如果是有单位元的交换环，则<math>\left \langle a \right \rangle =\left\{sa| s \in R \right\}</math>

== 相关概念和结论 ==
* '''[[真理想]]'''：若I是环R的理想，且I是R的[[真子集]]，I称为R的'''真理想'''。
* '''[[极大理想]]'''：环R的一个真理想I被称为R的极大理想，若不存在其他真理想J，使得I是J的[[真子集]]。
** '''极大左理想'''：设I是环R的左理想，若I ≠ R并且在I与R之间不存在真的左理想，则称I是环R的一个极大左理想。极大左理想与极大理想之间有如下关系：
**# 如果I是极大左理想，又是双边理想，则I是极大理想。
**# 极大理想未必是极大左理想。
** '''[[单环]]'''：在幺环中，若零理想是其极大理想，称该环为'''[[单环]]'''。
*** 除环是单环，其零理想是极大理想。
*** 域是单环。
** 在整数环'''Z'''中，由p生成的主理想是极大理想的充分必要条件是：p是素数。
** 设R是有单位元1的交换环。理想I是R的极大理想的充分且必要条件是：[[商环]]R / I是域。
** 设I是环R的左理想，则I是R的极大左理想的充分必要条件是对R的任意一个不含在I中的左理想J都有I+J=R。

* '''[[素理想]]'''：环R的真理想I被称为'''[[素理想]]'''，若∀R上的理想A，B，有AB ⊆ I ⇒ A ⊆ I或B ⊆ I。
* '''[[素环]]'''：若环R的零理想是素理想，则称R是'''[[素环]]'''（或'''质环'''）。
** 无零因子环是素环。
** 在交换环R中，真理想I是素理想的充要条件是：R / I是素环。
* '''[[准素理想]]'''：环R的真理想I。若∀R上的理想P，有P<sup>2</sup> ⊆ I ⇒ P ⊆ I，称I是R的'''准素理想'''。
** 准素理想是一类比素理想相对较弱的理想。素理想是准素理想，反之不成立。

== 参考文献 ==
*[[M. F. Atiyah|Atiyah, M. F.]] and [[Ian G. Macdonald|Macdonald, I. G.]], ''[[Introduction to Commutative Algebra]]'', Perseus Books, 1969, {{ISBN|0-201-00361-9}}
* {{Cite book | last=Lang | first =Serge | author-link=Serge Lang | title=Undergraduate Algebra | edition=Third | publisher=[[Springer-Verlag]] | isbn=978-0-387-22025-3 | year=2005 }}
* [[Michiel Hazewinkel]], Nadiya Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna Gubareni, Vladimir V. Kirichenko. ''Algebras, rings and modules''. Volume 1. 2004. Springer, 2004. {{ISBN|1-4020-2690-0}}
*{{Citation | last1=Milnor | first1=John Willard | author1-link= John Milnor | title=Introduction to algebraic K-theory | publisher=[[Princeton University Press]] | location=Princeton, NJ | mr=0349811 | year=1971 | zbl=0237.18005 | series=Annals of Mathematics Studies | volume=72}}

==注释==
{{Reflist}}

== 参见 ==
{{Portal|数学}}
* [[理想 (序理论)]]

{{-}}
{{ModernAlgebra}}

[[Category:抽象代數|L]]
[[Category:理想| ]]