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在[[数学]]分支[[序理论]]中，'''理想'''是[[偏序集合]]的一個特殊子集。尽管这个术语最初演化自[[抽象代数]]中[[环理想]]概念，它后来被一般化为一个不同的概念。理想对于[[序理论]]和[[格理论]]中的很多构造是非常重要的。

== 基本定义 ==
序理论中理想的最一般的定义如下：

偏序集合(P,≤)的[[非空集合|非空]]子集I称为一个'''理想'''，若I满足：

# I是[[下闭集合|下闭的]]。即，∀x ∈ I, y ∈ P, y ≤ x ⇒ y ∈ I。
# I是[[有向集合|有向的]]。即，∀x,y ∈ I，∃z ∈ I，使x ≤ z，y ≤ z。

理想最初只在[[格 (数学)|格]]上定义。与上述定义等价的定义如下：
格(P,≤)的非空子集I是理想，[[当且仅当]]：
# I是[[下闭集合|下闭的]]。
# I对于有限[[并运算|并]]（[[上确界]]）运算封闭，即，∀x,y ∈ I，有x ∨ y ∈ I。

===相关概念===

* 理想的[[格 (数学)|序对偶]]概念（用≥代替≤，用∧代替∨），是'''[[滤子 (数学)|滤子]]'''。
* 术语'''有序理想'''或'''有序滤子'''有时用于任意的下部集合或上部集合，本文只使用“理想/滤子”和“下闭/上闭集合”来避免混淆。
* '''真理想'''：偏序集合(P,≤)的理想I被称为'''真理想'''，若I ≠ P。
* 包含一个给定元素p的最小理想称为'''主理想'''，p被称为该理想的'''主元素'''。主元素为p的主理想↓p = { x ∈ P | x ≤ p }。

== 素理想 ==

一种特殊情况的理想是它的集合论补集是滤子的那些理想，滤子就是逆序的理想。这种理想叫做'''素理想'''。还要注意，因为我们要求理想和滤子非空，所有素理想都是真理想。对于格，素理想可以特征化为如下：

格(P,≤)的真理想I是素理想，当且仅当：∀x, y ∈ P，有x ∧ y ∈ I ⇒ x ∈ I或y ∈ I。

很容易发现这个定义实际上等价于声称P - I是滤子（它是在对偶意义上的素滤子）。

对于[[完全格]]有'''完全素理想'''的概念。它定义为带有额外性质的真理想''I''，只要某个任意集合''A''的交（[[下确界]]）在''I''中，''A''的某个元素也在''I''中。所以它是扩展上述条件到无穷交的特殊素理想。

素理想的存在一般是不明显的，并且在[[Zermelo-Fraenkel集合论]]中经常不能得出满意数量的素理想。这个问题在各种[[素理想定理]]中讨论，它们对于很多需要素理想的应用是必须的。

== 极大理想 ==

一个理想''I''是'''极大理想'''，如果它是真理想并且没有真理想''J''是严格大于''I''的集合。类似的，滤子''F''是极大滤子，如果它是真滤子并且没有严格大于它的真滤子。

当一个偏序集合是[[分配格]]的时候，极大理想和滤子必然是素的，而这个陈述的逆命题一般为假。

极大滤子有时叫做'''超滤子'''，但是这个术语经常保留给布尔代数，这里的极大滤子（理想）是对于每个布尔代数的元素a，精确的包含元素{''a'', ¬''a''}中的一个的滤子（理想）。在布尔代数中，术语“素理想”和“极大理想”是一致的，术语“素滤子”和“极大滤子”也是一致的。

还有另一个有趣的理想的极大性概念：考虑一个理想''I''和一个滤子''F''，使得''I''不相交于''F''。我们感兴趣于在所有包含  ''I''并且不相交于''F''的所有理想中极大的一个理想''M''。在分配格的情况下，这样的一个''M''总是素理想。这个陈述的证明如下。

::'''证明：'''假定理想''M''关于不相交于滤子''F''是极大性的。假设''M''不是素理想的一个矛盾，就是说，存在着一对元素''a''和''b''使得''a''<math>\wedge</math>''b''在''M''中但是''a''和''b''都不在''M''中。考虑对于所有''M''中的''m''，''m''<math>\vee</math>''a''不在''F''中的情况。你可以通过采用这种形式的所有二元交的向下闭包构造一个理想''N''，也就是''N'' = { ''x'' | ''x''≤ ''m''<math>\vee</math>''a''对于某些''M''中的''m''}。很容易的察觉''N''确实是不相交于''F''的理想，它严格的大于''M''。但是这矛盾于''M''的极大性进而''M''不是素理想的假定。
::对于其他情况，假定有某个''M''中的''m''带有''m''<math>\vee</math>''a''在''F''中。现在如果在''M''中任何元素''n''使''n''<math>\vee</math>''b''在''F''中，你会发现(''m''<math>\vee</math>''n'')<math>\vee</math>''b''和(''m''<math>\vee</math>''n'')<math>\vee</math>''a''都在''F''中。但因此它们的交在''F''中，通过分配性，(''m''<math>\vee</math>''n'') <math>\vee</math>(''a''<math>\wedge</math>''b'')也在''F''中。在另一方面，这个''M''的元素的有限交明显的''M''中，使得假定的''n''的存在性矛盾于两个集合不相交性。因此''M''的所有元素''n''有不在''F''中的与''b''的交。因此你可以应用上述与b的构造代替''a''来获得严格的大于''M''而不相交于''F''的一个理想。证明结束。

但是，一般而言是否存在这个意义上极大的任何理想''M''。然而如果我们在我们的集合论中假定[[选择公理]]，那么可以正式对于所有不相交的滤子-理想-对的''M''的存在。在要考虑的次序是[[布尔代数]]的特殊情况下，这个定理叫做[[布尔素理想定理]]。它严格的弱于选择公理，而理想的很多集合论应用不需要更多的东西了。

== 应用 ==

理想和滤子的构造在序理论的很多应用中是非常重要的工具。

* 在[[Stone布尔代数表示定理]]中，使用极大理想（或等价的通过反映射超滤子）来获得[[拓扑空间]]的点集，它的[[闭开集]][[同构]]于最初的布尔代数。

* 序理论有很多[[完全过程]]，把偏序集合变成带有额外的[[完备性]]性质的偏序集合。例如，一个给定偏序''P''的[[理想完全]]是''P''通过子集包含排序的所有理想的集合。这个构造产生了''P''所生成[[自由对象|自由]]的[[有向完全偏序]]。进一步的理想完全充当从它的[[紧致元素]]的集合重新构造任何[[代数有向完全偏序]]。

== 历史 ==

理想由[[Marshall H. Stone]]首先介入，它的名字起源自抽象代数的环理想。这个术语源于如下事实，利用[[布尔代数]]和[[布尔环]]的[[范畴同构]]，这两个概念实际是一致的。

== 文献 ==
理想和滤子是序理论的最基本概念。参见[[序理论]]和[[格理论]]，和[[布尔素理想定理]]中的介绍。

一个在线免费专著：
* Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. ''[http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html A Course in Universal Algebra.] {{Wayback|url=http://www.thoralf.uwaterloo.ca/htdocs/ualg.html |date=20050123031934 }}''  Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.

== 参见 ==

*[[滤子 (数学)]]
*[[理想 (环论)]]
*[[理想 (集合论)]]

[[Category:序理论|L]]