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{{expert}}'''理想類群'''（{{lang-en|Ideal class group}}）是[[代數數論]]的基本對象之一，簡稱'''類群'''。
一個[[代数数域]]{{math|''K''}}的理想类群是形如 {{math|''J<sub>K</sub>''&hairsp;/''P<sub>K</sub>''}} 的[[商群]]; 此处{{math|''J<sub>K</sub>''}} 是代数数域{{math|''K''}}的[[整数环]]的所有[[分式理想]]构成的[[群]]; 而{{math|''P<sub>K</sub>''}}是这个群的[[子群]]，包含所有可以被一个元素生成的[[分式理想]](类似[[主理想]]的定义)。<br>
理想类群在一定程度上可以测量{{math|''K''}}的[[整数环]]中[[算术基本定理]](唯一分解)被破坏程度: 只有当理想类群的秩为1时，代数数域{{math|''K''}}的[[整数环]]才是[[唯一分解整环]]。理想类群的秩又被称作为代数数域的“类数”。

==形式定義==
設 <math>\mathcal{O}</math> 為[[戴德金整環]]。此時 <math>\mathcal{O}</math> 中的非零理想對乘法構成一個交換[[么半群]]。

今將定義其上的等價關係：設 <math>\mathfrak{a}, \mathfrak{b}</math> 為二非零理想，定義
: <math>\mathfrak{a} \sim \mathfrak{b} \Leftrightarrow \exists s,t \in \mathcal{O}^\times \; (s)\mathfrak{a} =  (t) \mathfrak{b}</math>

理想么半群對此關係的商構成一個交換群 <math>\mathrm{Cl}(\mathcal{O})</math>，稱為 <math>\mathcal{O}</math> 的理想類群。

另一套進路是考慮 <math>\mathfrak{O}</math> 的非零[[分式理想]]構成之交換群，再考慮它對主分式理想 <math>\{(q) : q \in K^\times \}</math> 之商，由此得到的對象自然同構於理想類群。

==性質==
* 理想類群為平凡群的充要條件是該戴德金整環為[[主理想環]]。
* 設 <math>K</math> 為數域，<math>\mathcal{O}_K</math> 為其中的[[代數整數]]環，因而是戴德金整環。此時可證明 <math>\mathcal{O}_K</math> 是有限群。其元素個數記為 <math>h_K</math>，稱作類數。

==例子==
考慮[[二次域]] <math>\mathbb{Q}(\sqrt{-5})</math>。考慮理想
: <math>J=(2,1+\sqrt{-5})</math>。
易證此非主理想，因此理想類群非零。事實上，其理想類群是二階[[循環群]]。

[[Category:代數數論]]
[[Category:理想]]