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{{Optical aberration}}

'''球面像差'''（{{lang-en|SA/Spherical aberration}}）'''，'''是指發生在經過透鏡[[折射]]或面鏡[[反射 (物理学)|反射]]的光線，接近中心與靠近邊緣的光線不能將影像聚集在一個點上的現象。這在[[望遠鏡]]和其他的光學儀器上都是一個缺點。這是因為透镜和面鏡必须满足所需的形狀，否则不能[[聚焦]]在一個點上造成的。
球面像差與鏡面直徑的四次方成正比，與焦長的三次方成反比，所以他在低[[焦比]]的鏡子，也就是所謂的「快鏡」上就比較明顯。

對使用球面鏡的小望遠鏡，當焦比低於f/10時，來自遠處的點光源（例如[[恆星]]）就不能聚集在一個點上。特別是來自鏡面邊緣的光線比來自鏡面中心的光線更不易聚焦，這造成影像因為球面像差的存在而不能很清晰的成象。所以焦比低於f/10的望遠鏡通常都使用非球面鏡或加上修正鏡。

在透鏡系統中，可以使用[[透鏡|凸透鏡]]和[[透鏡|凹透鏡]]的組合來減少球面像差，就如同使用[[非球面透鏡]]一樣。

<gallery>
File:Spherical_aberration_2.svg|球面像差。一個理想的鏡面(頂端)，能經所有入射的光線匯聚在光軸上的一個點，但一個真實的鏡面(底端)會有球面像差：靠近光軸的光線會比離光軸較遠的光線較為緊密的匯聚在一個點上，因此光線不能匯聚在一個理想的焦點上(圖較為誇張)

File:spherical-aberration-disk.jpg|一個 [[點光源]] 在負球面像差(上) 、無球面像差(中)、和正球面像差(下)的系統中的成像情形。左面的影像是在焦點內成像，右邊是在焦點外的成像

File:spherical-aberration-slice.jpg|平行光束通過透鏡後聚焦像的縱切面，上：負球面像差，中：無球面像差，下：正球面像差。鏡子位於圖的左側

File:Circle caustic.png|thumb|來自球面鏡的球面像差

</gallery>

==球面像差公式==
;单球面

一个球面，PA 为由球面顶点到非近轴光线入射点距离，球面左右介质的折射率分别为n，n'；非近轴入射角，折射角分别为J，J'；非近轴入射线和折射线与光轴的夹角分别为U，U'；近轴光线的入射角为i；这个球面对球面像差的贡献为<ref>Kingslake p104</ref>

球面像差=<math>\frac{-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'*u'*sin(U))}</math>

在四种情况下，球面像差为零：

# PA=0：物体和像与球面顶点重合；
# I'=I：物体和物象在球面的曲率中心；
# i=0；
# I=U'或I'=U：在这种情形下的球面成为消球差曲面。
;消球差球面
根据球面折射的基本方程可以导出<ref name=kingslake>Rudolf Kingslake p104-105</ref>：

<math>L=\frac{r*(n+n')}{n}</math>

<math>L'=\frac{r*(n+n')}{n'}</math>

对于消球差曲面，凡是射向同一点B入射光，其折射线与光轴相交于一个共同点B'。

<math>BC=L-r=r*\frac{n}{n'}</math>

<math>BC=L'-r=r*\frac{n'}{n}</math>

例如，n=1，n'=1.5<ref name=k105>Rudolf Kingslake p105</ref>。

<math>L=2.5*r</math>

<math>L'=1.6667*r</math>

消球差曲面多用于高倍率显微镜的物镜<ref name=Rohr>Moritz von Rohr p244</ref><ref name=k105>Rudolf Kingslake p105</ref>。一个消球差薄透镜由一个消球差球面和一个平面镜组成，对于平行光。消球差薄透镜等同一块平板玻璃，对于聚合光束，消球差薄透镜增加光束的聚合度，对于发散光束，消球差薄透镜增加光束的发散度<ref name=k106>Rudolf Kingslake p106</ref>。
;同轴球面系

对于一个由多个球面组成镜头，球面像差由以下公式给出<ref name=kingsl>Rudolf Kingslake p104</ref>：


LA'=trans+newsp

其中 
trans=<math>\frac{LA*n[1]*n'[1]*sin(U[1])}{(n'[k]*u'[k]*sin(U'[k]))}</math>

newsp= <math>\sum_{k=1}^k (\frac{-2*PA*sin(-(1/2)*J'+(1/2)*J)*sin((1/2)*J'-(1/2)*U)*n*i}{(n'[k]*u'[k]*sin(U[k]))}</math>

{{Wikibooks|Maple/球面像差|球面像差}}

==球面像差展开式==
球面像差可表示为

LA'=<math>a*Y^2+b*Y^4+c*Y^6+</math>………………<ref name=conrady>A.E.Conrady p101</ref><ref name=ks>Kingslake p114</ref>。其中Y是入射光线的在球面入射点到光轴的距离。

[[File:Maple display 3 curves rotatated reflected.JPG|thumb|center|400px|球面像差<br>红线代表二次项，蓝线代表二次和四次项之和，黑线为二、四、六次项之和]]

==薄透镜组的球面像差==
[[亚历山大·尤金·康拉迪]]推导出[[薄透镜]]组的球面像差公式如下<ref name=Conradp95>Alexander Eugen Conrady, p95</ref><ref name=Kings>Kingslake p117</ref>:

SC=<math>\frac{y^4}{n_0'*u_0^2}*\sum(G_1*c^3-G_2*c^2*c_1+G_3*c^2*v_1+G_4*c*c_1*v_1+G_6*c*v_1^2)</math>。

其中“0”代表最后的结果，Σ代表对各镜片之和

:<math>c=\frac{1}{f*(n-1)}</math>
:
:<math>c=\frac{1}{r_1}</math>
:
:<math>G_1=\frac{n^2*(n-1)}{2}</math>
:
:<math>G_2=\frac{1}{2}*(2*n+1)(n-1)</math>
:
:<math>G_3=\frac{1}{2}*(3n+1)(n-1)</math>
:
:<math>G_4=\frac{1}{2*n}*(n+2)(n-1)</math>
:
:<math>G_5\frac{1}{2*n}*(n^2-1)</math>
:
:<math>G_6=\frac{1}{2*n}*(3*n+2)</math>

==薄透镜的球面像差==
对于单薄镜片，上式可简化为<ref name=ks118>Kingslake p118</ref>。

单镜片的球面像差=LA'=<math>-y^2*l'^2*(\sum(G_1*c^3-G_2*c^2*c_1+G_3*c^2*v_1+G_4*c*c_1*v_1+G_6*c*v_1^2)</math>

令上式对c_1的导数为零，可求得单镜片具有最小球面像差的条件<ref name=K118>Kingslake, p118</ref>:

<math>\frac{dLA'}{dc_1}</math>=<math>-y^2*l'^2*(-G_2*c^2+2*G_4*c*c_1-G_5*c*v_1)=0</math>

即  <math>c_1=\frac{G_2c+G_5v_1}{2G_4}</math>=<math>\frac{0.5*n*(2*n+1)*c+2*(n+1)*v_1}{n+2}</math>.

当物距为无穷远时，v_1=0;

于是

<math>\frac{c_2}{c_1}=\frac{r_1}{r_2}=\frac{2n-n-4}{n*(2n+1)}</math><ref name=k119>Kingslake p119</ref>。

{| border="0" width="200" align="center" style="border: 1px solid #999; background-color:#FFFFFF"
|-align="center" bgcolor="#CCCCCC"
!
|-
! n!! r_1/r_2
|-
| 1.5|| -6
|-
| 1.518 ||-6.7374
|-
| 1.6 || -14
|-
| 1.7 || 93.5
|-
| 1.8 || 12.1765
|-
| 2 || 5
|-
| 3 || 1.9
|-
| 4 || 1.5
|-
|}

==参考文献==
<references/>
*{{cite book
  |last1= von Rohr[[莫里兹·冯·罗尔]]
  |first1= Moritz
  |last2= 
  |first2= 
  |title= Geometrical Investigation of the Formation of Images in Optical Instruments
  |year= 1920
  |publisher= H.M.STATIONARY, LONDON
  |isbn= 
  |ref= }}

*{{cite book
  |last1= Conrady[[亚历山大·尤金·康拉迪]]
  |first1= Alexander Eugen
  |last2= 
  |first2= 
  |title= applied Optics & Optical design
  |year= 1957
  |publisher= DOVER PUBLICATION
  |isbn= 
  |ref= }}

*{{cite book
  |last1=Kingslake [[鲁道夫·京斯莱克]]
  |first1= Rudolf
  |last2= 
  |first2= 
  |title= LENS DESIGN FUNDAMENTALS
  |year= 1978
  |publisher= ACADEMIC PRESS,NEW YORK
  |isbn= 012374301X
  |ref= }}

== 相關條目 ==
* [[像差]]
* [[哈伯太空望遠鏡#鏡片的瑕疵|哈伯太空望遠鏡]]
* [[馬克蘇托夫望遠鏡]]
* [[拋物面反射鏡]]
* [[里奇-克萊琴望遠鏡]]（RCT）
* [[施密特修正板]]
* [[弱聚焦]]
{{应用光学}}
[[Category:应用光学]]

[[de:Abbildungsfehler#Sphärische Aberration]]