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對於與源位置的距離呈反比的[[位勢]]，其[[多極展開|球多極展開]]所得到的係數稱為'''球多極矩'''（Spherical multipole moments）。例如，[[電勢]]、[[磁向量勢]]、[[重力勢]]等等，都是這種位勢。

==點電荷案例==
[[Image:Source_and_Destination02.jpg|right|thumb|250px|給予在源位置 <math>\mathbf{r}'=(r',\theta',\phi')</math> 的電荷分佈，計算在場位置 <math>\mathbf{r}=(r,\theta,\phi)</math> 產生的電勢。]]
源位置為 <math>\mathbf{r}^{\prime}</math> 的[[點電荷]] <math>q</math> ，其電勢 <math>\Phi(\mathbf{r}) </math> 在場位置 <math>\mathbf{r}</math> 為
:<math>\Phi(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0|\mathbf{r} - \mathbf{r^{\prime}}|}=
\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{1}{\sqrt{r^{2} + r^{\prime 2} - 2 r^{\prime} r \cos \gamma}}</math> ；

其中，<math>\varepsilon_0</math> 是電[[常數]]，<math>\gamma</math> 是 <math>\mathbf{r}</math> 與 <math>\mathbf{r}^{\prime}</math> 之間的夾角。

假設 <math>r'< r</math> ，場位置比源位置離原點更遠，則此距離倒數函數 <math>1/|\mathbf{r} - \mathbf{r^{\prime}}|</math> 以 <math>r^{\prime}/r</math> 的[[冪]]和[[勒壤得多項式]]展開為<ref name="Griffiths1998">{{citation| author=Griffiths, David J.|title=Introduction to Electrodynamics (3rd ed.)| publisher=Prentice Hall |year=1998|pages = pp. 146-148 |isbn=0-13-805326-X}}</ref> ：
:<math>\Phi(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} \sum_{\ell=0}^{\infty}
\left( \frac{r^{\prime}}{r} \right)^{\ell} P_{\ell}(\cos \gamma )</math> 。

應用[[球餘弦定律]]（{{lang|en|spherical law of cosine}}）， <math>\cos \gamma</math> 表示為
:<math>\cos \gamma = \cos \theta \cos \theta^{\prime} + \sin \theta \sin \theta^{\prime} \cos(\phi - \phi^{\prime})
</math> 。

這結果也可以直接用[[向量代數]]直接計算出來。

應用[[球諧函數|球諧函數加法定理]]，<math>P_{\ell}(\cos \gamma )</math> 又表示為<ref name=Jackson1999>{{citation|last=Jackson|first=John David|title=Classical Electrodynamic|publisher = John Wiley & Sons, Inc. |year=1999|location=USA|edition=3rd.|pages=pp. 107-111|isbn=978-0-471-30932-1}}</ref>
:<math>P_{\ell}(\cos \gamma) = \frac{4\pi}{2\ell + 1} \sum_{m=-\ell}^{\ell} 
Y_{\ell m}(\theta, \phi)  Y_{\ell m}^{*}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})</math> ；

其中，<math>Y_{\ell m}</math> 是[[球諧函數]]。

將這方程式代入電勢的方程式，可以得到
:<math>\Phi(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r} \sum_{\ell=0}^{\infty}\left( \frac{r^{\prime}}{r} \right)^{\ell}\left( \frac{4\pi}{2\ell+1} \right)\sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell m}(\theta, \phi)  Y_{\ell m}^{*}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})</math> 。

點電荷的「球多極矩」 定義為
:<math>q_{\ell m} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ q  r^{\prime\ell} Y_{\ell m}^{*}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})</math> 。

則電勢的方程式又可寫為
:<math>\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{q_{\ell m} Y_{\ell m}(\theta, \phi)}{(2\ell+1)r^{\ell+1}}</math> 。

假設 <math>r<r'</math> ，場位置比源位置離原點更近，則此距離倒數函數 <math>1/|\mathbf{r} - \mathbf{r^{\prime}}|</math> 可以以 <math>r/r^{\prime}</math> 的[[冪]]和[[勒壤得多項式]]展開：
:<math>\Phi(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^{\prime}} \sum_{\ell=0}^{\infty}\left( \frac{r}{r^{\prime}} \right)^{\ell}\left( \frac{4\pi}{2\ell+1} \right)\sum_{m=-\ell}^{\ell} Y_{\ell m}(\theta, \phi)  Y_{\ell m}^{*}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})</math> 。

點電荷的「內部球多極矩」（前述的球多極矩稱為外部球多極矩）定義為
:<math>I_{\ell m} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \frac{q}{\left( r^{\prime} \right)^{\ell+1}}  
Y_{\ell m}^{*}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})</math> 。

則電勢的方程式寫為
:<math>\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} 
\frac{ I_{\ell m} r^{\ell}Y_{\ell m}(\theta, \phi) }{2\ell+1} </math> 。

==電荷密度案例==
前述多極展開方法可以推廣至電荷密度分佈。將點電荷 <math>q</math> 改換為微小電荷元素 <math>\rho(\mathbf{r}^{\prime}) d\mathbf{r}^{\prime}</math> ，然後積分，則可得到電勢的方程式（假設 <math>r'< r</math> ）：
:<math>\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{q_{\ell m} Y_{\ell m}(\theta, \phi)}{(2\ell+1)r^{\ell+1}}</math> ；

其中，電荷密度分佈的球多極矩定義為 <math>
q_{\ell m} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \int_{\mathbb{V}'}  \rho(\mathbf{r}^{\prime}) 
\left( r^{\prime} \right)^{\ell} Y_{\ell m}^{*}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}^{\prime}</math> ，<math>\mathbb{V}'</math> 是積分體積。

特別注意，由於電勢 <math>\Phi(\mathbf{r})</math> 為實值，這展開式的複共軛也是同樣正確的球多極展開式。然而，這樣做會導致球多極矩的定義式含有 <math>Y_{\ell m}</math> 項目，而不是其複共軛數 <math>Y^*_{\ell m}</math> 。在某些領域，例如[[物理化學]]，這是一般常規。更詳盡資料，請參閱條目[[分子多極矩]]（{{lang|en|molecular multipole moment}}）。

===內部球多極矩===
類似地，假設 <math>r<r'</math> ，場位置比源位置離原點更近，則電勢的方程式為
:<math>\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} 
\frac{ I_{\ell m} r^{\ell}Y_{\ell m}(\theta, \phi) }{2\ell+1} </math> ；

其中，電荷密度分佈的內部球多極矩定義為 <math>I_{\ell m} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{\mathbb{V}'} \frac{\rho(\mathbf{r}^{\prime})Y_{\ell m}^{*}(\theta^{\prime}, \phi^{\prime})}{\left( r^{\prime} \right)^{\ell+1}} \ \mathrm{d}^3\mathbf{r}^{\prime}</math> 。

==兩個球多極矩之間的相互作用能==
兩個互不重疊，同心的電荷分佈可以用簡單公式來描述。設定第一個電荷分佈 <math>\rho_{1}</math> 在第二個電荷分佈 <math>\rho_{2}</math> 的內部，則由 <math>\rho_{1}</math> 所產生的電勢 <math>\Phi_{1}</math> ，因為作用於 <math>\rho_{2}</math> 而涉及的相互作用能 <math>U</math> 為
:<math>U = \int_{\mathbb{V}} \rho_{2}(\mathbf{r}) \Phi_{1}(\mathbf{r})\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}</math> 。

電勢 <math>\Phi_{1}(\mathbf{r})</math> 可以以外部球多極矩展開為
:<math>\Phi_1(\mathbf{r}) = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{q_{1\ell m} Y_{\ell m}(\theta, \phi)}{(2\ell+1)r^{\ell+1}}</math> ；

其中，<math>q_{1\ell m}</math> 是第一個電荷分佈的 <math>\ell m</math> 外部球多極矩。

將這方程式代入相互作用能 <math>U</math> 的方程式，可以得到
:<math>
U = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{q_{1\ell m}}{2\ell+1}\int_{\mathbb{V}}  \frac{\rho_{2}(\mathbf{r})Y_{\ell m}(\theta, \phi)}{r^{\ell+1}} \ \mathrm{d}^3\mathbf{r}</math> 。

注意到其積分項目等於 <math>\rho_{2}(\mathbf{r}^{\prime})</math> 的內部球多極矩 <math>I_{2\ell m}</math> 的複共軛數，相互作用能 <math>U</math> 的方程式約化為簡單形式
:<math>U = \frac{1}{\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell} \frac{q_{1\ell m} I_{2\ell m}^{*}}{2\ell+1}</math> 。

這方程式可以用來計算，[[原子核]]產生的電勢因為與其周圍的[[原子軌域]]耦合而涉及的相互作用能。反過來，給定相互作用能與電子軌域的內部球多極矩，則可以計算原子核的外部球多極矩，從而得知其形狀。

==軸對稱特別案例==
假設電荷密度為「軸對稱」，即與方位角 <math>\phi^{\prime}</math> 無關，則球多極展開式的形式很簡單。在 <math>q_{\ell m}</math> 與 <math>I_{\ell m}</math> 的定義式內，對於 <math>\phi^{\prime}</math> 積分，則可以發覺除了 <math>m=0</math>  球多極矩以外，其它球多極矩都等於零。應用數學恆等式<ref name=Jackson1999/>
:<math>P_{\ell}(\cos \theta) =\sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} Y_{\ell0}(\theta, \phi)</math> ，

軸對稱球多極矩定義為
:<math>q_{\ell} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \int_{\mathbb{V}'} \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}}\ \rho(\mathbf{r}^{\prime}) \left( r^{\prime} \right)^{\ell} P_{\ell}(\cos \theta^{\prime})\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}^{\prime}</math> ，

則外部球多極展開式為
:<math>\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty}\sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}}\ \frac{q_{\ell} P_{\ell}(\cos \theta)}{r^{\ell+1}}</math> 。

類似地，軸對稱內部球多極矩定義為
:<math>I_{\ell} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\   \int_{\mathbb{V}'}  \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}}\ \frac{\rho(\mathbf{r}^{\prime})}{\left( r^{\prime} \right)^{\ell+1}}P_{\ell}(\cos \theta^{\prime})\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}^{\prime}</math> ，

內部球多極展開式為
:<math>\Phi(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^{\infty} \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}}I_{\ell} r^{\ell} P_{\ell}(\cos \theta)</math> 。

==球多極矩的表達式==
注意到 <math>q_{\ell (-m)}=(-1)^m q^*_{\ell m}</math> 。以下列出幾個最低階的球多極矩的表達式，以及與笛卡兒多極矩之間的關係<ref name=Jackson1999/>：
:<math>\begin{align}
 q_{00} & =\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\int_{\mathbb{V'}}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}'
              &  & =\frac{1}{\sqrt{4\pi}}\ q \\
 q_{11} & = -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r' \sin{\theta'}\ e^{-i\phi'}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' 
              &  & = -\sqrt{\frac{3}{8\pi}}\ (p_x - ip_y) \\
 q_{10} & =\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r' \cos{\theta'}\ \rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' 
              &  &  = -\sqrt{\frac{3}{4\pi}}\ p_z \\
 q_{22} & =\sqrt{\frac{15}{32\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r^{\prime 2} \sin^2{\theta'}\ e^{-2i\phi'}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' 
              &  &  =\sqrt{\frac{15}{288\pi}}\ (Q_{11}-2iQ_{12}-Q_{22})  \\
 q_{21} & = - \sqrt{\frac{15}{8\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r^{\prime 2} \sin{\theta'}\cos{\theta'}\ e^{-i\phi'}\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' 
              &  &  = - \sqrt{\frac{15}{72\pi}}\ (Q_{13}-iQ_{33}) \\
 q_{20} & =\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\int_{\mathbb{V'}} r^{\prime 2}(\cos^2{\theta'}-1)\rho(\mathbf{r}')\ \mathrm{d}^3\mathbf{r}' 
              &  &  =\sqrt{\frac{5}{16\pi}}\ Q_{33}
\end{align}</math> <span style="vertical-align:bottom">。</span>

其中，<math>(p_x, p_y, p_z)</math> 是笛卡兒[[電偶極矩]]，<math>Q_{ij}</math> 是笛卡兒[[電四極矩]]（{{lang|en|electric quadruple moment}}）。

==參閱==
* [[立體調和函數]]（{{lang|en|solid harmonics}}）
* [[圓柱多極矩]]

==參考文獻==
{{reflist|2}}

==外部連結==
{{DEFAULTSORT:Q}}
[[Category:電磁學]]
[[Category:位勢論]]