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{{expert|subject=物理|time=2012-11-14T08:46:05+00:00}}

玻恩近似是[[量子力学]]中{{tsl|en|Scattering theory|散射理论}}中为求得{{tsl|en|Lippmann–Schwinger equation|李普曼施温格方程}}得近似解而提出的近似方法，由1954年[[诺贝尔奖]]得主[[玻恩]]提出。 

量子力学中，[[散射]]理论的问题可表述为: 

已知<math>\mid\phi\rangle</math>，亦即入射波函数，是[[哈密顿算符]]<math>H_0</math>的[[薛定谔方程]]的解：

<math>
H_0 \mid \phi\rangle =  E\mid \phi\rangle 
</math>

求<math>H_0 + V</math>的薛定谔方程解<math>\mid\psi\rangle</math>。 其中V是造成散射的势。 这一问题可写作李普曼施温格方程：

<math> | \psi^{(\pm)} \rangle = | \phi \rangle + \frac{1}{E - H_0 \pm i \epsilon} V |\psi^{(\pm)} \rangle. \,</math>

其渐进形式[[渐近分析]]可写成：

<math> 
\langle \mathbf{x} \mid \psi^{(+)} \rangle \rightarrow \langle \mathbf{x} \mid \mathbf{k} \rangle - \frac{1}{4\pi}\frac{2m}{\hbar^2}\frac{e^{ikr}}{r} \int d^3x' e^{-i \mathbf{k}'\cdot \mathbf{x}'}V(\mathbf{x}')\langle \mathbf{x} \mid \psi^{(+)}\rangle
</math>

其中<math> \mid \psi^{(+)} \rangle</math>为向外散射的波函数（数学上另有一向内‘散射’的波函数与之对应，但在散射问题中不必考虑）。 

然而此式为了求得散射的结果，需要对散射结果本身进行积分（即式子右侧积分中出现了未知量），因而对于精确求解并无太大帮助。 然而通过玻恩近似，这一方程可以得到低能量下合理的近似解。玻恩近似假定散射的波函数与入射波函数相差较小，因而在积分中可以使用入射波<math> \mid \phi^{(+)} \rangle</math>来进行积分。这样就获得了1阶玻恩近似（0阶玻恩近似即为入射波）。同样的做法可以递归进行，将之前近似获得的结果带入积分，即可算出下一步的近似。这种方法是收敛的。 然而，多数情况下超过一阶的近似是没有物理意义的，因为玻恩近似的低能量限制不允许其散射表现更加精细的结构（请求补充说明）。 

玻恩近似的一个较为巧合的完美应用出现在对[[卢瑟福散射]]公式的推导中。卢瑟福散射公式在[[抛物线坐标系]]中可以直接求解薛定谔方程获得精确解，也可在经典力学下求得经典近似解，同时也可从玻恩近似（一阶）获得近似解。巧合的是，这三种解在[[库仑势]]下得出完全相同的[[微分截面]]。 这种体现了玻恩近似在低能情况下相对于其他近似方法（如{{tsl|en|Partial wave analysis|}}）而言在收敛速度上的优越性。

==參考==
# {{Cite book | author = Sakurai, J.J.（樱井纯）,  Ed：Tuan, San Fu(段三复) | title = Modern Quantum Mechanics | location =  | publisher = Addison-Wesley | date = 1985 | pages = [https://archive.org/details/modernquantummec0000saku/page/379 379]-387 | ISBN = 0-8053-7501-5 | accessdate =  | url =https://archive.org/details/modernquantummec0000saku| language = EN | quote =  }}
{{reflist|2}}

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