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'''玻恩－朗德方程'''（{{lang-en|Born–Landé equation}}）是由德国化学家[[马克斯·玻恩]]和[[阿尔弗雷德·朗德]]提出的一个计算[[离子化合物]][[晶格能]]的公式。1918年<ref>{{cite book|title=The chemical bond in inorganic chemistry : the bond valence model|url=https://archive.org/details/chemicalbondinin0000brow|year=2002|publisher=Oxford University Press|location=New York|isbn=0-19-850870-0|last=Brown|first=I. David|edition=Reprint.}}</ref>，马克斯·玻恩和阿尔弗雷德·朗德提出晶格能的计算公式可由离子晶格的静[[电势]]和推斥型势能概念推导出来<ref name = "Johnson">{{cite book|title=Metals and chemical change|url=https://archive.org/details/metalschemicalch0000unse|year=2002|publisher=Royal Society of Chemistry|location=Cambridge|isbn=0-85404-665-8|last=Johnson|first=the Open University ; RSC ; edited by David|edition=1. publ.}}</ref>。

:<math>E =- \frac{N_AMz^+z^- e^2 }{4 \pi \epsilon_0 r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right)</math>
其中：
*''N''<sub>A</sub> =  [[阿伏伽德罗常数]]；
*''M'' = [[马德隆常数]]，取决于晶体中的几何排列；
*''z''<sup>+</sup> = 阳离子电荷数；
*''z''<sup>−</sup> = 阴离子电荷数；
*''e'' = [[元电荷]]，大约1.6022{{e|&minus;19}} [[库仑|C]]；
*''&epsilon;''<sub>0</sub> = [[真空电容率]]；
*:4π''&epsilon;''<sub>0</sub> = 1.112{{e|&minus;10}} C<sup>2</sup>/(J·m)
*''r''<sub>0</sub> = 最近离子的距离
*''n'' = 玻恩指数，通常在5到12之间，可由实验测定[[压缩性]]或理论计算得出<ref>{{Cotton&Wilkinson4th}}</ref>。

==推导==
离子晶体可以用硬的弹性球模型来描述，它们之间通过阴阳离子的[[库仑力|静电引力]]结合在一起。它们的平衡距离就是静电引力与短距斥力相平衡的位置。

===静电势===
一对电量相等、电性相反的离子间的静[[电势]]<math>E_\text{pair}</math>为：

:<math>E_\text{pair} = -\frac{z^2 e^2 }{4 \pi \epsilon_0 r}</math>
其中：
:''z'' = 一个离子所带电荷
:''e'' = [[元电荷]]，大约1.6022{{e|&minus;19}} [[库仑|C]]；
:''&epsilon;''<sub>0</sub> = [[真空电容率]]；
:4π''&epsilon;''<sub>0</sub> = 1.112{{e|&minus;10}} C<sup>2</sup>/(J·m)；
:''r''<sub>0</sub> = 最近离子的距离

对于阴阳离子个数比1:1的简单晶体，对一个离子和晶格中其他离子的相互作用力求和可以算出<math>E_M</math>，有时称作[[欧文·马德隆|马德堡]]能或晶格能：

:<math>E_M = -\frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 r}</math>
其中：
:<math>M</math> = [[马德隆常数]]，取决于晶体中的几何排列；
:<math>r</math> = 最近不同电性离子的距离

===排斥理论===
玻恩和朗德认为晶体中离子的排斥作用与<math>1/r^n</math>成正比，所以推斥能<math>E_R</math>可以表示为：
:<math>\,E_R = \frac{B}{r^n}</math>
其中：
:<math>B</math> = 表示推斥作用强度的常数
:<math>r</math> = 最近不同电性离子的距离
:<math>n</math> = 玻恩指数，通常在5到12之间，表示某种晶体的[[压缩性]]

===总能量===
因此，晶体中一个离子总的势能可表示为马德隆能和推斥势能的和：

:<math>E(r) = -\frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 r} + \frac{B}{r^n}</math>

将这个能量对<math>r</math>[[微分]]即可得到用平衡距离<math>r_0</math>表示未知常数<math>B</math>的关系式：

:<math>\begin{align}
\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}r} &= \frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 r^2} - \frac{n B}{r^{n+1}} \\
0 &= \frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 r_0^2} - \frac{n B}{r_0^{n+1}} \\
r_0 &= \left( \frac{4 \pi \epsilon_0 n B}{z^2 e^2 M}\right) ^\frac{1}{n-1} \\
B &= \frac{z^2 e^2 M}{4 \pi \epsilon_0 n} r_0^{n-1}
\end{align}</math>

求出最小推斥势能并将<math>B</math>用含有<math>r_0</math>代入即可得到玻恩－朗德方程：

:<math>E(r_0) = - \frac{M z^2 e^2 }{4 \pi \epsilon_0 r_0}\left(1-\frac{1}{n}\right)</math>

==计算晶格能==
玻恩－朗德方程的计算结果与实验符合得较好<ref name = "Johnson"/>：
{| class="wikitable" border="1"
|-
! 化合物
! 计算晶格能
! 实验晶格能
|-
| NaCl
| −756 kJ/mol
| −787 kJ/mol
|-
| LiF
| −1007 kJ/mol
| −1046 kJ/mol
|-
| CaCl<sub>2</sub>
| −2170 kJ/mol
| −2255 kJ/mol
|}

==参见==
* [[卡普斯钦斯基方程]]

==参考资料==
{{reflist}}

{{DEFAULTSORT:Born-Lande Equation}}
[[Category:固体化学]]
[[Category:晶体学]]