查看“︁玻尔模型”︁的源代码

{{noteTA|G1=物理學|1=zh-hans:表征; zh-hant:表徵;}}
[[Image:Bohr atom model.svg|thumb|250px|在玻爾模型裡，被約束於原子殼層的帶負價[[電子]]，繞著帶正價[[原子核]]進行圓周運動。從一個軌道躍遷至另一個軌道會伴隨著離散能量以[[電磁波]]的形式被發射或吸收。<ref name="Akhlesh Lakhtakia Ed. 1996">
{{cite journal
 |last1=Lakhtakia |first1=Akhlesh
 |last2=Salpeter |first2=Edwin E.
 |year=1996
 |title=Models and Modelers of Hydrogen
 |volume=65 |issue=9 |pages=933
 |journal=American Journal of Physics
 |bibcode=1997AmJPh..65..933L
 |doi=10.1119/1.18691
}}</ref>在圖中，電子的軌道顯示為灰色圓圈，其半徑隨著[[主量子數]]平方''n''<sup>2</sup>增加，從主量子數{{nowrap|3 &rarr; 2}}的躍遷製成了[[巴耳末系]]的第一條譜線，[[波長]]為656 [[纳米|nm]] （紅光）。]]

'''玻尔模型'''是[[丹麦]]物理学家[[尼尔斯·玻尔]]于1913年提出的关于[[原子]]结构的模型。此模型引入[[量子化]]的概念來研究[[原子]]内[[电子]]的运动，對於計算[[氢原子]][[光谱]]的[[里德伯公式]]給出了理論解釋。玻尔模型是20世纪初期物理学取得的重要成就，对[[原子物理学]]产生了深远的影响。

==玻尔模型的提出==
[[File:Niels Bohr.jpg|thumb|200px|丹麦物理学家尼尔斯·玻尔（1885—1962）]]
20世纪初期，[[德国]]物理学家[[普朗克]]为解释[[黑体辐射]]现象，提出能量[[量子化]]假說，揭开了[[量子理論]]的序幕。<ref name=Kragh2002/>{{rp|58-63}}1885年，[[瑞士]]数学教师[[巴耳末]]将氢原子的谱线表示成[[巴耳末公式]]。然而巴耳末公式是经验公式，直到玻爾在1913年提出玻爾模型為止，人们并不了解它们的物理含义。<ref name=Pais1991/>{{rp|143}}

1911年，[[英国]]物理学家[[卢瑟福]]根据1909年開始进行的[[α粒子散射实验]]，提出了原子的[[拉塞福模型]]。在这个模型里，原子的中心有一個帶正電（Ze）、帶質量的[[原子核]]，在原子核的四周是帶負電的電子雲；其中，Z是原子數，e是單位電荷。從拉塞福模型，拉塞福推導出[[散射]]公式，其預測與實驗結果相符合。然而，在拉塞福散射實驗裡，主角是原子核，而電子並不重要，因此拉塞福不能空口無憑地給出電子的排列方式，也無法用這模型對於化學結合、元素列表、原子譜線給出解釋。<ref name=拉塞福>{{citation| last = 拉塞福 | first = 歐尼斯特 | authorlink = 歐尼斯特·拉塞福| title = The Scattering of α and β Particles by Matter and the Structure of the Atom | journal = Philosophical Magazine | volume = 21 | pages = p. 669-688 | date = May 1911| doi =10.1080/14786440508637080}}</ref><ref name=Kragh2002>{{cite book | last =Kragh | first =Helge | title =Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century  | publisher =Princeton University Press | edition =Reprint | date =2002 | isbn =978-0691095523}}</ref>{{rp|51-53}}

1912年，正在英国[[曼彻斯特大学]]工作的玻尔将一份被后人称作《曼彻斯特备忘录》的草稿提交给他的导师卢瑟福。在这份直到玻爾過世後才被發布的草稿中，玻尔在拉塞福模型的基础上引入了普朗克的量子概念，玻爾提議，原子可以維持力學穩定性，{{NoteTag|假設處於一個圓圈的n個原子等距離地環繞原子核公轉，玻爾強調，這系統可以被理論證明在力學方面不具穩定性。}}前提是电子的動能<math>T</math>與电子環繞原子核的公轉頻率<math>\nu</math>，兩者之間的關係式假定為
:<math>T=k\nu</math>；

其中，<math>k</math>與[[普朗克常數]]有關。

注意到他並沒有確切給出<math>k</math>的形式，也沒有將輻射穩定性納入考量，{{NoteTag|呈加速度運動的電子會發射輻射，從而因消耗能量而無法穩定地維持軌道運動，最終墜入原子核。}}更沒有理論證實他的假定可以達成力學穩定性。<ref name=Kragh2002/>{{rp|54}}<ref name=Pais1991>{{cite book|last=Pais|first=Abraham|year=1991|title=Niels Bohr's Times, In Physics, Philosophy and Polity|url=https://archive.org/details/nielsbohrstimesi0000pais_v6k7|location=Oxford|publisher=Clarendon Press|isbn=978-0-19-852049-8 |ref=harv|language=英语}}</ref>{{rp|135-139}}

1913年2月4日前后的某一天，玻尔與同事{{le|漢斯·漢森|Hans Marius Hansen}}討論他的研究，漢森提問：「這研究與譜線方程有甚麼關係?」玻爾回答說他會去查閱這方面的資料。玻爾博覽那時期的科學文獻，而且[[巴耳末公式]]在科學文獻裡是常被引述的譜線方程，很可能他已看到過這公式，但並沒有注意到這公式與自己研究有甚麼的關聯，而且已完全忘掉這公式。不論如何，他詳細閱讀了[[约翰内斯·斯塔克]]撰寫的教科書{{de|Prinzipien der Atomdynamik}}有關譜線方面的內容，特別是關於[[巴耳末公式]]的描述，后来他回忆：「就在我看到巴耳末公式的那一瞬间，突然一切都變得清楚了。」{{NoteTag|英文原文：As soon as I saw Balmer's formula, the whole thing was immediately clear to me.<ref name=French1985>{{cite book|editor1-last=French|editor1-first=A. P.|editor2-last=Kennedy|editor2-first=P. J.|title=Niels Bohr: A Centenary Volume|location=Cambridge, Massachusetts |publisher=Harvard University Press |isbn=978-0-674-62415-3 |ref=harv|language=英语}}</ref>{{rp|43}}}}3月7日，他寫好一篇詮釋巴耳末公式的論文，其開啟了原子結構的量子理論。<ref name=Pais1991/>{{rp|144}}<ref name=French1985/>{{rp|43}}

1913年7月、9月、11月，《哲学杂志》接连刊载了玻尔的三篇论文，<ref>{{cite journal | first=Niels | last=Bohr | title=On the Constitution of Atoms and Molecules, Part I | journal=Philosophical Magazine | year=1913a | volume=26 | pages=1–24 | doi=10.1080/14786441308634955 | url=http://web.ihep.su/dbserv/compas/src/bohr13/eng.pdf | issue=151 | language=英语 | ref=harv | access-date=2019-05-27 | archive-date=2019-04-04 | archive-url=https://web.archive.org/web/20190404184145/http://web.ihep.su/dbserv/compas/src/bohr13/eng.pdf | dead-url=no }}</ref><ref>{{cite journal | first=Niels | last=Bohr | title=On the Constitution of Atoms and Molecules, Part II Systems Containing Only a Single Nucleus | journal=Philosophical Magazine | year=1913b | volume=26 | pages=476–502 | url=http://web.ihep.su/dbserv/compas/src/bohr13b/eng.pdf | doi=10.1080/14786441308634993 | issue=153 | language=英语 | ref=harv | access-date=2019-05-27 | archive-date=2017-12-15 | archive-url=https://web.archive.org/web/20171215041355/http://web.ihep.su/dbserv/compas/src/bohr13b/eng.pdf | dead-url=no }}</ref><ref>{{cite journal | first=Niels |last=Bohr | title=On the Constitution of Atoms and Molecules, Part III Systems containing several nuclei| journal=Philosophical Magazine | year=1913c | volume=26 | pages=857–875|issue=155|doi=10.1080/14786441308635031|language=英语|ref=harv}}</ref>标志着玻尔模型正式提出。这三篇论文成为物理学史上的经典，被称为玻尔模型的“三部曲”。<ref name=French1985/>{{rp|7}}他在第一篇論文中利用玻爾模型分析了[[氫原子]]，在第二篇論文中論述了其它原子結構與[[週期表]]，在第三篇論文中探讨了[[分子]]結構。<ref name=Pais1991/>{{rp|149}}

==玻尔模型的主要内容==
玻爾模型的兩個主要假設為，<ref name=Halliday>{{citation|last1=Halliday|first1=David|last2=Resnick|first2=Robert|last3=Walker|first3=Jerl|title = Fundamental of Physics|publisher = John Wiley and Sons, Inc.|location = USA|edition = 7th|isbn=0-471-23231-9|year=2005}}</ref>{{rp|1097-1100}}
*在[[氢原子]]中，电子围绕着原子核進行[[圆周运动]]。
*在軌道中運動的電子的[[角動量]]的大小 <math>L</math> 被[[量子化]]為[[正整數]]乘以[[約化普朗克常數]] <math>\hbar</math>。

===軌道半徑量子化===
按照第一個假設，在氢原子中的电子，围绕著原子核做[[圆周运动]]，其轨道是经典轨道。电子做圆周运动的[[向心力]]是由电子和原子核之间的[[库仑力]]所提供：<ref name=Halliday/>{{rp|1097-1100}}
:<math>m_e\frac{v^2}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{r^2}</math>，

其中，<math>m_e</math> 是電子質量，<math>v</math> 是電子速率，<math>r</math> 是電子軌道半徑，<math>\varepsilon_0</math> 是[[電常數]]，<math>e</math> 是[[基本電荷]]。

所以，半徑為
:<math>r = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{m_e v^2}</math>，

另外，圓周運動的角動量大小是半徑乘以動量：
:<math>L=rm_e v</math>。

所以，按照第二個假設，速度為
:<math>v=L/rm_e =n\hbar/rm_e</math>，

其中，<math>n</math> 是[[主量子數]]，<math>\hbar</math> 是[[約化普朗克常數]]。

將速度的表達式代入半徑的表達式，可以得到新的半徑的表達式
:<math>r = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}n^2</math>。

這軌道半徑表達式可以重寫為
:<math>r = a n^2</math>；

其中，<math>a = \frac{4\pi\varepsilon_0 \hbar^2}{m_e e^2}\approx 5.29 \times 10^{-11} m</math> 是[[玻爾半徑]]。

在氫原子的波爾模型裡，以原子核為圓心的電子圓周運動的半徑被量子化，最小的半徑是玻爾半徑。由於電子被禁止離原子核更近，庫侖力無法將電子吸引到原子核裡，電子也不會因為進行圓周運動的加速度而釋出電磁波。

===軌道能量量子化===
电子繞著原子核的軌道能量 <math>E</math> 是[[动能]] <math>K</math> 加[[势能]] <math>V</math> ：<ref name=Halliday/>{{rp|1097-1100}}
:<math>E = K + V = \frac12 m_e v^2 - \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0r} = -\frac{e^2}{8\pi\varepsilon_0r}</math>。

將軌道半徑表達式代入軌道能量表達式，可以得到
:<math>E = -\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^2}\ \frac{1}{n^2}  \approx  -\frac{13.60 eV}{n^2}</math>。

在氫原子的波爾模型裡，軌道能量被量子化，並與主量子數的平方成反比。這是束縛電子的能量。由於原子核被假設為固定不動，這能量也可以視為整個氫原子的能量。

===躍遷能量變化===
電子只能夠穩定地存在於一系列的離散的能量狀態之中，稱為[[定態]]。假若電子的能量發生任何變化，都必須要在兩個定態之間以跃迁的方式進行，所以电子只能处於一系列分立的定態。当電子從一個定態躍遷至另一個定態時，會以电磁波的形式放出或吸收能量：<ref name=Halliday/>{{rp|1097-1100}}
:<math>h\nu = \Delta E= E_{n'}-E_n</math>，

其中，<math>\nu</math> 是電磁波的頻率。

將軌道能量表達式代入這公式，可以得到
:<math>\frac{1}{\lambda} = -\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^3 c}\left(\frac{1}{n'^2}-\frac{1}{n^2}\right)</math>。

將這表達式重寫，可以得到[[里德伯公式]]：
:<math>\frac{1}{\lambda} = R\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{n'^2}\right)</math>。

其中，<math>R=\frac{m_e e^4}{8\varepsilon_0^2 h^3 c}</math> 是[[里德伯常數]]。

===修正===
英国光谱学家{{le|亞弗列德·福勒|Alfred Fowler}}质疑：应用玻尔模型计算出里德伯常数的数值<math>R=109 737.315\,\mathrm{cm}^{-1}</math>；而实验值<math>R=109 677.58\,\mathrm{cm}^{-1}</math>，二者相差大约万分之五。1914年，玻尔提出，这是因为原来的模型假设原子核静止不动而引起的。实际情况是，原子核的质量不是无穷大，它与电子绕共同的质心转动。玻尔对其理论进行了修正，用原子核和电子的[[約化质量]]<math>\mu = \frac{m_e M}{m_e + M}</math>代替了电子质量。这样的话，不同原子的里德伯常数R<sub>A</sub>不同，
:<math>R_A = \frac{R}{1 + m_e/M}</math>

电子到质心的距离仍为原来理论中的第一轨道半径，与原子核的质量无关。

==玻尔模型的实验验证==

1897年，[[美国]]天文学家[[愛德華·皮克林]]在恒星[[弧矢增二十二]]的光谱中发现了一组独特的线系，称为[[皮克林线系]]。皮克林线系中有一些谱线靠近巴耳末线系，但又不完全重合，另外有一些谱线位于巴耳末线系两临近谱线之间。起初皮克林线系被认为是氢的谱线，然而玻尔提出皮克林线系是类氢离子[[氦|He]]<sup>+</sup>发出的谱线。随后英国物理学家[[埃万斯]]在实验室中观察了He<sup>+</sup>的光谱，证实玻尔的判断完全正确。

和玻尔提出玻尔模型几乎同一时期，英国物理学家[[亨利·莫塞莱]]测定了多种[[元素]]的[[X射线]]标识谱线，发现它们具有确定的规律性，并得到了经验公式——[[莫塞莱定律]]。莫塞莱看到玻尔的论文，立刻发现这个经验公式可以由玻尔模型导出，为玻尔模型提供了有力的证据。

1914年，[[詹姆斯·弗兰克]]和[[古斯塔夫·赫茲]]进行了用电子轰击[[汞]]蒸汽的实验，即[[弗兰克-赫兹实验]]。实验结果显示，汞原子内确实存在能量为4.9eV的量子态。1920年代，弗兰克和赫兹又继续改进实验装置，发现了汞原子内部更多的量子态，有力地证实了玻尔模型的正确性。

1932年，[[哈羅德·尤里]]观察到了氢的[[同位素]][[氘]]的光谱，测量到了氘的里德伯常数，和玻尔模型的预言符合得很好。

==玻尔模型的推广==

随着光谱实验水平的提高，人们发现了光谱具有精细结构。1896年，[[阿尔伯特·迈克耳孙]]和[[爱德华·莫雷]]观察到了氢光谱的H<sub>α</sub>线是双线，随后又发现是三线。玻尔提出这可能是电子在椭圆轨道上做慢进动引起的。1916年[[索末菲]]在玻尔模型的基础上将圆轨道推广为椭圆形轨道，并且引入[[相对论]]修正，提出了[[索末菲模型]]。在考虑椭圆轨道和相对论修正后，索末菲计算出了H<sub>α</sub>线的精细结构，与实验相符。然而进一步的研究发现，这样的解释纯属巧合。H<sub>α</sub>线的精细结构有7条，必须彻底抛弃电子轨道的概念才能完全解释光谱的精细结构。

==玻尔模型的问题==

玻尔模型将经典力学的规律应用于微观的电子，不可避免地存在一系列问题。根据经典电动力学，做加速运动的电子会辐射出电磁波，致使能量不断损失，而玻尔模型无法解释为什么处于定态中的电子不发出电磁辐射。玻尔模型对跃迁的过程描写含糊。因此玻尔模型提出后并不被物理学界所欢迎，还遭到了包括[[卢瑟福]]、[[薛定谔]]在内的诸多物理学家的质疑。玻尔曾经的导师、[[剑桥大学]]的[[约瑟夫·汤姆孙]]拒绝对其发表评论。薛定谔甚至评价说是“糟透的跃迁”<ref>{{lang|en|W.Heisenberg. ''Physics & Beyond''. Harper & Row Pub. (1972)75.}}</ref>。

此外，玻尔模型无法揭示氢原子光谱的强度和精细结构，也无法解释稍微复杂一些的氦原子的光谱，以及更复杂原子的光谱。因此，玻尔在领取1922年[[诺贝尔物理学奖]]时称：“这一理论还是十分初步的，许多基本问题还有待解决。”

玻尔模型引入了量子化的条件，但它仍然是一个“半经典半量子”的模型。完全解决原子光谱的问题必须彻底抛弃经典的轨道概念。尽管玻尔模型遇到了诸多困难，然而它显示出量子假说的生命力，为经典物理学向量子物理学发展铺平了道路。

==参阅==
*[[尼尔斯·玻尔]]
*[[里德伯公式]]
*[[惰性电子对效应]]可以用玻尔模型解释。
*[[原子轨域]]

==註釋==
{{NoteFoot}}

==参考文献==
{{reflist}}

{{原子模型}}
{{Hydrogen spectral series-footer}}

[[Category:原子物理学]]
[[Category:基础量子物理学]]
[[Category:基本物理概念]]
[[Category:氫原子物理]]
[[Category:尼尔斯·玻尔]]