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{{noteTA
|1=zh-hant:甜甜圈;zh-hans:甜甜圈;zh-hk:冬甩;
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[[File:Torus.jpg|thumb|350px|right|一个环面。]]
在[[几何]]上，一个'''环面'''是一个[[手镯]]形状的[[旋转曲面]]，由一个[[圆]]绕一个和该圆[[共面]]的一个轴回转所生成。[[球面]]可以视为环面的特殊情况，也就是旋转轴是该圆的[[直径]]时。若转轴和圆不相交，圆面中间有一个洞，就像一个手镯、[[甜甜圈]]、[[呼啦圈]]，或者一个充了气的[[轮胎]]。另一个情况，也就是轴是圆的一根[[弦 (幾何)|弦]]的时候，就产生一个挤扁了的球面，就像一个圆的座垫那样。英文''Torus''曾是[[拉丁文]]的这种形状的座垫。

== 几何 ==

圆环面可以参数式地定义为：
:<math>x(u, v) =  (R + r\cos{v}) \cos{u} \, </math>
:<math>y(u, v) =  (R + r \cos{v}) \sin{u} \, </math>
:<math>z(u, v) = r \sin{v} \, </math>

其中
:''u'', ''v'' ∈ [0, 2π], 
:''R''是管子的中心到画面的中心的距离，
:''r''是圆管的半径。

[[直角坐标系]]中的关于z-[[坐标轴|轴]]方位角对称的环面方程是
:<math>\left(R - \sqrt{x^2 + y^2}\right)^2 + z^2 = r^2</math>

该圆环面的[[表面积]]和内部[[体积]]如下

:<math>A = 4\pi^2 Rr = \left( 2\pi r \right) \left( 2 \pi R \right) \,</math>
:<math>V = 2\pi^2R r^2 = \left( \pi r^2 \right) \left( 2\pi R \right). \,</math>

根据更一般的定义，环面的[[生成元]]不必是圆，而可以是[[椭圆]]或任何[[圆锥曲线]]。

== 拓扑 ==

[[File:torus_cycles.png|thumb|right|一个环面是两个圆的乘积。]]
[[File:Inside-out torus (animated, small).gif|thumb|将一个有小洞的环面翻转。]]

[[拓扑学]]上，一个'''环面'''是一个定义为两个[[圆]]的[[积拓扑|积]]的闭合[[曲面]]：''S''<sup>1</sup> × ''S''<sup>1</sup>。
上述曲面，若采用'''R'''<sup>3</sup>诱导的[[相对拓扑]]，则[[同胚]]于一个拓扑环面，只要它不和自己的轴相交。

该环面也可用[[欧几里得平面]]的一个[[商空间]]来表述，这是通过如下的等价关系来完成的
:(''x'',''y'') ~ (''x''+1,''y'') ~ (''x'',''y''+1)
或者等价地说，作为[[单位正方形]]将对边粘合的商空间，表述为[[基本多边形]] <math>ABA^{-1}B^{-1}</math>。

环面的[[基本群]]是圆的基本群和自身的[[直积]]：
:<math>\pi_1(\mathbb{T}^2) = \pi_1(\mathbb{S}^1) \times \pi_1(\mathbb{S}^1) \cong \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}</math>
直观地讲，这意味着一个先绕着环面的“洞”（譬如，沿着某个纬度方向的圆）然后绕着环面“实体”（譬如，沿着特定经度方向的圆）的闭[[路径 (拓扑学)|路径]]可以变形成为先绕实体后绕空心的路径。所以，严格的经度方向和严格的纬度方向的路径是可交换的。这可以想象成为两个鞋带互相穿过然后解开再系上。

环面的第一[[同调群]]和基本群[[同构]]（因为基本群是[[交换群]]）。

== 高维度的環面 ==
环面很容易推广到任意维。'''''n''维标准环面'''可以定义为 ''n'' 个标准圆的乘积：
:<math>\mathbb{T}^n = \mathbb{S}^1 \times \mathbb{S}^1 \times \cdots \times \mathbb{S}^1</math>
上面所述的环面就是 <math>n</math> 维环面。 <math>1</math> 维环面就是圆。 <math>3</math> 维环面很难描述。和 <math>2</math> 维环面一样， ''<math>n</math>'' 维环面可以表述为 <math>\mathbb{R}^{n}</math> 在各个坐标方向整数平移下的商空间。也即， ''<math>n</math>'' 维环面是 <math>\mathbb{R}^{n}</math> 模(modulo)整数[[格点]] <math>\mathbb{Z}^{n}</math> 的[[群作用]]（该作用就是向量和）。等价地说，''<math>n</math>'' 维环面是 ''<math>n</math>'' 维[[立方体]]把相对的面两两粘合起来得到的空间。

''<math>n</math>'' 维环是 ''<math>n</math>'' 维[[紧致空间|紧致]][[流形]]的一个例子。它也是紧致[[可交换]][[李群]]的一个例子。这是因为[[单位圆]]是一个紧致可交换李群（如果把它作为定义了乘法的单位长度[[复数 (数学)|复数]]来看）。环面上的群乘法可以定义为各坐标分别相乘。

环面群在紧致李群理论中有重要的作用。部分原因在于所有紧致李群中总是存在一个[[极大环面]]；也就是最大可能维度的闭[[子群]]环面。

''<math>n</math>'' 维环面的[[基本群]]是一个''n''阶[[自由可交换群]]。 ''<math>n</math>'' 维环面的 ''<math>k</math>'' 阶[[同调群]]是 ''<math>n</math>'' [[二项式系数|取]] ''<math>k</math>'' 阶的自由可交换群。因此可以推出 ''<math>n</math>'' 维环面的[[欧拉示性数]] 是0。[[上同调环]]''H''<sup>·</sup>('''T'''<sup>''n''</sup>,'''Z''')可以等同为'''Z'''-[[模]] <math>\mathbb{Z}^{n}</math>上的[[外代数]]，其生成元为 ''<math>n</math>'' 非平凡闭链的对偶。

== 环面着色 ==

如果把环面分成若干区域，那么总是可以用最多7种颜色来着色，使得每对相邻区域有不同的颜色。（这和[[四色问题]]不同。）在下面的例子中，环面被分为7个区域，两两相邻，说明7色是必须的：[[File:Torus-with-seven-colours.png|200px]]

== 参見 ==
* [[代数环面]]
* [[圆环]]
* [[環圈]]
* [[椭圆曲线]]
* [[极大环面]]
* [[周期格]]
* [[球面]]
* [[曲面]]
* [[环体]]
* [[环面 (原子物理)]]
* [[Villarceau圆]]
* [[环面曲线]]

== 外部链接 ==
* [http://www.cut-the-knot.org/shortcut.shtml#torus 环面的建立] {{Wayback|url=http://www.cut-the-knot.org/shortcut.shtml#torus |date=20060419190041 }} 位于网站
* [http://www.mathsisfun.com/geometry/torus.html 更多环的图像] {{Wayback|url=http://www.mathsisfun.com/geometry/torus.html |date=20060517195808 }} ''(位于 [http://www.mathsisfun.com/ 趣味数学] {{Wayback|url=http://www.mathsisfun.com/ |date=20060428075122 }})''
* Eric W. Weisstein. "环面." 位于MathWorld--Wolfram网络资源。 http://mathworld.wolfram.com/Torus.html {{Wayback|url=http://mathworld.wolfram.com/Torus.html |date=20060604035419 }}
* [https://web.archive.org/web/20061011195647/http://www.bubblerings.com/bubblerings/media.cfm 气泡圈的图像和视频] 位于David Whiteis的[http://www.bubblerings.com BubbleRings.com]

{{Authority control}}
[[Category:曲面]]