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[[File:3D-Link.PNG|thumb|right|这样 (2,4)-[[环面纽结|环面链环]]的两条曲线的环绕数是 4。]]
在[[数学]]中，'''环绕数'''（{{lang|en|linking number}}）是描述[[三维空间]]中两条[[闭曲线]]环绕的一个数值[[不变量]]。直观上，环绕数表示每一条曲线缠绕另一条曲线的次数。环绕数总是[[整数]]，但有可能取正数或负数，取决于这两条曲线的[[曲线定向|定向]]。

环绕数由[[卡尔·弗里德里希·高斯|高斯]]以'''环绕[[积分]]'''的形式引入。它在[[纽结理论]]、[[代数拓扑]]和[[微分几何]]的研究中是重要的对象，并在[[数学]]和[[科学]]中有许多应用，包括[[量子力学]]、[[电磁学]]以及 [[DNA超螺旋]]的研究。

==定义==
空间中任何两条闭曲线都恰好可以[[同伦|移动]]成如下标准位置之一。这决定了环绕数：
{| border=0 cellpadding=5 align="center"
|-valign="center"
|<math>\cdots</math>
|align="center"|[[File:Linking Number -2.svg|140px]]
|align="center"|[[File:Linking Number -1.svg|140px]]
|align="center"|[[File:Linking Number 0.svg|140px]]
|
|
|-valign="center"
|
|align="center"|环绕数 -2
|align="center"|环绕数 -1
|align="center"|环绕数 0
|
|
|-valign="center"
|
|
|align="center"|[[File:Linking Number 1.svg|140px]]
|align="center"|[[File:Linking Number 2.svg|140px]]
|align="center"|[[File:Linking Number 3.svg|140px]]
|<math>\cdots</math>
|-valign="center"
|
|
|align="center"|环绕数 1
|align="center"|环绕数 2
|align="center"|环绕数 3
|
|}
每条曲线在移动过程中可以穿过自身，但这两条曲线保持互相分离。

==计算环绕数==
[[File:Linking Number Example.svg|thumb|六个正交叉与两个负交叉，这两条曲线的环绕数为 2。]]
存在一个算法计算出一个链环[[纽结理论#纽结图标|图表]]的环绕数。按如下法则将每个交叉标记为“正”或“负”
<ref>这与计算一个[[纽结]]的[[绞拧数]]时使用的标记是一致的，不过此情形我们只需标记涉及两条曲线的交叉。</ref>：
<center>[[File:Link Crossings.svg|350px]]</center>
正交叉数总数减去负交叉数总数等于环绕数的两倍，即
:环绕数<math> = \frac{n_1 + n_2 - n_3 - n_4}{2},\,</math>
这里 ''n''<sub>1</sub>, ''n''<sub>2</sub>, ''n''<sub>3</sub>, ''n''<sub>4</sub> 分别表示四类交叉数的个数。两个和 <math>n_1 + n_3\,\!</math> 与 <math>n_2 + n_4\,\!</math> 总相等<ref>如果其中一条曲线是简单的，这由[[若尔当曲线定理]]得到。例如，如果蓝曲线是简单的，则 ''n''<sub>1</sub>&nbsp;+&nbsp;''n''<sub>3</sub> 与 ''n''<sub>2</sub>&nbsp;+&nbsp;''n''<sub>4</sub> 
表示红曲线向内与向外穿过蓝曲线所围区域的次数。</ref>。这样得到了如下另外的公式
:环绕数<math>=\,n_1-n_4\,=\,n_2-n_3.\,</math>
注意到 <math>n_1-n_4</math> 只涉及到蓝曲线被红曲线下交叉，而 <math>n_2-n_3</math> 只涉及到上交叉。

==性质与例子==
[[File:Labeled Whitehead Link.svg|thumb|怀特黑德链环两条曲线环绕数为零。]]
* 任何两条没有链接起来的曲线相交数为零。但环绕数为零的两条曲线仍可能是链接起来的（例如右图的{{le|怀特黑德链环|Whitehead link}}）。
* 逆转任何一条曲线的定向，环绕数改变符号；但两条曲线同时逆转定向，环绕数不变。
* 环绕数具有[[手征性 (数学)|手征性]]：取一个链环的[[镜像]]，环绕数改变符号。我们对正环绕数的约定基于[[右手法则]]。 
* ''x''-''y'' 平面上一条定向曲线的[[卷绕数]]等于它与 ''z''-轴（将 ''z''-轴想象为[[三维球面]]中一条闭曲线）的环绕数。
* 更一般地，如果其中一条曲线是[[曲线#定义|简单]]的，则这个分支的第一[[同调群]]同构于[[整数]] '''Z'''。在此情形，环绕数由另一条曲线的同调类决定。
* 在[[物理学]]中，环绕数是[[拓扑量子数]]之一例，它与[[量子纠缠]]有关。

==高斯的积分定义==
给定两条不交可微曲线 <math>\gamma_1, \gamma_2 \colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^3</math>，定义从[[环面]]到[[单位球面]]'''高斯映射''' <math>\Gamma</math> 为
:<math>\Gamma(s,t) = \frac{\gamma_1(s) - \gamma_2(t)}{|\gamma_1(s) - \gamma_2(t)|}.\,</math>

取单位球面上一点 ''v''，从而链环的正交投影到垂直于 ''v'' 的平面给出一个链环图表。观察到点 (''s'', ''t'') 在高斯映射下映为 ''v'' 对应于链环图表中一个交叉，这里 <math>\gamma_1</math> 在 <math>\gamma_2</math> 上。并且 (''s'', ''t'') 的一个邻域在高斯映射下映为 ''v'' 的一个邻域，保持或逆转定向取决于交叉的符号。从而为了计算这个对应于 ''v'' 的链环图表的环绕数，只需数高斯映射覆盖 ''v'' 的带符号次数。由于 ''v'' 是一个[[正则值]]，这恰是高斯映射的[[映射度|度数]]（即 Γ 的[[像]]盖住球面的带符号次数）。环绕数的[[同痕]]不变性自动由度数在同伦下不变得到。任何其它正则值将得到相同的数，所以环绕数与任何特定的链环图表无关。

曲线 ''γ''<sub>1</sub> 与 ''γ''<sub>2</sub> 的环绕数的这种表述给出了用二重[[线积分]]表示的一个明确公式，即'''[[卡爾·弗里德里希·高斯|高斯]]环绕积分'''：

:环绕数<math>{}\,=\,\phi(\gamma_1, \gamma_2) = \frac{1}{4\pi}
\oint_{\gamma_1}\oint_{\gamma_2}
\frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|^3}
\cdot (d\mathbf{r}_1 \times d\mathbf{r}_2).</math>

这个积分求出了高斯映射像的全部带符号面积（被积函数是 Γ 的[[雅可比矩阵]]），然后除以球面的面积（等于 4π）。

==推广==
* 就像三维中[[链环 (纽结理论)|环绕]]的闭曲线，任何两个维数为 ''m'' 与 ''n'' 的[[闭流形]]，可能在 <math>m + n + 1</math> 维[[欧几里得空间]]中环绕起来。任何这样链环有一个相伴的高斯映射，其[[映射度|度数]]是环绕数的推广。
* 任何{{le|标架纽结|framed knot}}有一个[[自环绕数]]，得自计算纽结 ''C'' 与将曲线 ''C'' 中的点沿着标架向量稍微移动得到一条新曲线的环绕数。由铅直移动（沿着黑板标架）得到的自环绕数称为'''考夫曼自环绕数'''（{{lang|en|Kauffman's self-linking number}}）。

== 量子场论 ==
[[U(1)]] [[陳-西蒙斯理論]]是：

<math>CS = \frac{k}{4\pi} \int_M AdA </math>

若<math>M=R^3</math>，[[路徑積分表述|路徑積分]]是

<math>Z(C_1, C_2) = \int dA \exp{(iCS + i\int_{C_1} A + i\int_{C_2} A)} = \int dA \exp{(iCS + i\int JA) } </math>，

包括C1和C2的[[威爾森迴圈]]。J=J1+J2，而且

<math>J_i^a = \int_{C_i} dx^a \delta^3(x-x_i(t)) </math>

因為這是高斯的積分，所以我們不需要[[重整化]]或[[正規化]]。再說這個積分是拓撲不變。

若J是经典方程就是

<math>dA = (2\pi / k)*J  </math>

或

<math>\nabla \times A = 2\pi J / k </math>

若我们选[[洛伦茨规范]]<math>d*A = 0  </math>

<math>\nabla^2 A = -2\pi \nabla \times J / k </math>

从[[电磁学]]，解是

<math>A(x) = \frac{1}{2k} \int d^3y \frac{\nabla \times J(y)}{|x-y|} </math>

则

<math>Z[C_1, C_2] = \exp(2\pi i \phi(C_1, C_2) / k)</math>

这是最简单的一个[[拓撲量子場論]]。根据[[爱德华·威滕]]的证明，非阿贝尔G的陈-西蒙斯论给其他拓扑不变，例如[[琼斯多项式]]。

==另见==
*[[陳-西蒙斯理論]]
*[[卷绕数]]
* [[绞拧数]]
*[[扭转数]]
* [[曲线的微分几何]]
* {{le|链环 (纽结理论)|Link (knot theory)}}
* [[霍普夫不变量]]
* {{le|吻接数|kissing number}}

==注释==
{{reflist}}

==参考文献==
* {{springer|author=A.V. Chernavskii|title=Linking coefficient|id=L/l059590}}
* {{springer|author=-|title=Writhing number|id=W/w098170}}

[[Category:纽结理论|H]]
[[Category:曲线|H]]
[[Category:纽结不变量]]
[[Category:陈-西蒙斯理论]]