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{{NoteTA
|G1 = Math
}}
{{About|數學的環狀構造|交通的環狀道路結構|圓環}}
[[File:Not-star-shaped.svg|thumb|right|150px|圆环]]
[[数学]]中，'''环形'''（annulus）是一个环状的几何图形，或者更一般地，一个环状的对象。[[几何学]]中通常所说的环形就是'''圆环'''，一个大圆盘挖去一个小[[同心 (幾何)|同心]]圆盘剩下的部分。

圆环的对称性非常强，是一个以圆心为对称中心的[[中心对称]]图形，也是有无数条对称轴的[[轴对称]]图形。圆环的[[几何中心]]就是圆心。一个以圆心为中心，半径为内外半径的[[几何平均值]]的[[反演]]保持圆环整体不变，将内外[[邊 (幾何)|边缘]]互换，内圆内部与外圆外部互换。

一个外半径 ''R'' 内半径 ''r'' 圆环的[[面积]]由外圆和内圆面积之差给出：
:<math>A = \pi(R^2 - r^2) = \pi(R+r)(R-r)\,.</math>
后一个等式表明圆环面积等于内外半周长之和乘以宽度。

有趣的是，圆环的面积也等于 π 乘以完全位于圆环内部的最长线段的长度一半的平方，这可由[[勾股定理]]证明。位于圆环内最长的线段必定和内圆[[相切]]，该线段的一半和半径 ''r''、''R'' 能组成一个以 ''R'' 为斜边的[[直角三角形]]。

这个公式也可通过[[积分]]得到，将圆环分解成[[无穷]]个宽 dρ面积  <math>2\pi\rho\, d\rho</math> ( = 周长 &times; 宽) 的小环形，从 <math>\rho = r</math> 到 <math>\rho = R</math> 积分:

:<math>A = \int_r^R 2\pi\rho\, d\rho = \pi(R^2-r^2).</math>

== 拓扑 ==

在[[拓扑]]的意义上来说，平面内一个开环形是由一条[[简单闭曲线]]为外[[边缘]]和其内部一简单闭曲线为内边缘之间围成的[[开集|区域]]。环形是最简单的二连通区域。开环形的[[基本群]]为 <math>\mathbb{Z}</math> ，基本群的生成元是环内绕内边缘内部任一点一周的路径。一個开环形[[同胚|拓扑等价]]于[[圆柱面]] <math>S^1 \times (0,1)</math> 或[[穿孔平面]]。

一个环形的[[万有覆叠]]空间是[[带形]] <math>\mathbb{R} \times (0,1)</math> ，带形到环形（同构于圆柱面）的覆叠映射为：

:<math>\mathbb{R} \times (0,1) \ni (x ,y) \mapsto  (e^{ix},y) \in S^1 \times (0,1)\; .</math>

[[庞加莱-伯克霍夫不动点定理]]指出闭圆环的任一个保持边界不动的保面积自同构映射（[[辛同构]]）在圆环内部至少有两个不动点，更一般的保面积的扭曲映射（两个边缘转动方向相反，[[提升]]到带形上看得更清晰）至少有两个不动点。这个定理来自[[三体问题]]，最早由[[庞加莱]]1912年提出，他给出了不完整的证明，又称为“庞加莱最后的几何定理”；第二年，[[伯克赫夫]]第一次给出了完整的证明。

==复结构==

在[[复分析]]中，[[复平面]]上一个（圆）环域 ann''(a; r, R)'' 是由

:<math> r < |z-a| < R\,</math>

定义的开区域，这里 a 是任意复数，0 < r < R < ∞ 。注意环域常定义为开集。

更一般地，如果允许 ''r'' = 0，''R'' < ∞ 这个区域又称以 ''a'' 为中心半径为 ''R'' 的[[穿孔圆盘]]；''r'' > 0 ，''R'' = ∞ 这个区域共形于 ann(''a''; 0, 1/''r'' )；''r'' = 0，''R'' = ∞ 时这个区域即穿孔复平面。

作为复平面的子集，一个环域可以看作一个[[黎曼曲面]]。环域的[[复结构]]由半径的比值 ''r''/''R'' 刻画。任何 0 < ''r'' < ''R'' < ∞ 的通常圆环 ann''(a; r, R)'' 能[[解析同胚]]于中心为原点外半径为 1 的标准环域，同胚映射为：

:<math>z \mapsto \frac{z-a}{R},</math>
 
内半径 ''r'' / ''R'' < 1。

穿孔圆盘、穿孔复平面和 0 < ''r'' < ''R'' < ∞ 的通常圆域是三类复结构不同的黎曼曲面，三者之间均不存在解析同构。任一个不规则的环形区域，或者说二连通域，均解析同胚于标准的环域。

[[阿达马三圆定理]]是关于一个[[解析函数]]在环域内的最大值与边界值关系的论述。

== 参见 ==
* [[圆柱面]]
* [[环面]]
* [[扇形]]

== 参考资料 ==
*[http://www.mathopenref.com/annulus.html Annulus definition and properties] {{Wayback|url=http://www.mathopenref.com/annulus.html |date=20081218063317 }} With interactive animation.
*[http://www.mathopenref.com/annulusarea.html Area of an annulus, formula] {{Wayback|url=http://www.mathopenref.com/annulusarea.html |date=20081218135147 }} With interactive animation.
*[http://www.allmathwords.org/en/a/annulus.html Annulus] {{Wayback|url=http://www.allmathwords.org/en/a/annulus.html |date=20160310053048 }} All Math Words Encyclopedia for grades 7-10.
*[http://planetmath.org/encyclopedia/Annulus2.html Annulus] {{Wayback|url=http://planetmath.org/encyclopedia/Annulus2.html |date=20081121113715 }} PlanetMath.
{{几何术语}}
[[Category:初等几何|H]]
[[Category:几何形状|H]]
[[Category:复分析|H]]