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在[[數理邏輯]]上，'''獨立性'''指的是一個[[句子 (数理逻辑)|句子]]相對於其他句子的不可證明性。

若一個句子<math>\sigma</math>獨立於一個一階{{en-link|理論 (數理邏輯)|Theory (mathematical logic)|理論}}<math>T</math>，那就表示說<math>\sigma</math>在<math>T</math>中是不能證明也不能否證的，也就是說不能由<math>T</math>證明<math>\sigma</math>，也不能由<math>T</math>證明<math>\sigma</math>為偽。對於這樣的<math>\sigma</math>，有時會說<math>\sigma</math>在<math>T</math>中是不可判定的，而這裡的「不可判定」跟[[決定性問題]]中的「[[不可判定問題|不可判定]]」是不同的。

若理論<math>T</math>中的每項公設都不能由<math>T</math>中的其他公設證明，則說<math>T</math>是'''獨立的'''，一個有著獨立公設集合的理論又稱'''可獨立公設化'''的。

==用法注意==
在一些作者的用法下，「<math>\sigma</math>獨立於<math>T</math>」只表示「<math>\sigma</math>在<math>T</math>中是不能證明的」，但不表示<math>\sigma</math>是不能否證的，而這些作者在講說「<math>\sigma</math>在<math>T</math>中是不能證明也不能否證的」時候，常會說「<math>\sigma</math>是獨立且自洽於<math>T</math>的。」

==集合論中的獨立結果==
* [[選擇公理]]
* [[連續統假設]]
* [[蘇斯林問題]]

在假定[[ZFC]]（帶有[[選擇公理]]的[[策梅洛-弗兰克尔集合论]]）本身自洽的狀況下，下述的問題是獨立於ZFC的：
* [[不可達基數|強不可達基數]]的存在性
* [[大基數]]的存在性
* {{link-en|庫瑞巴樹|Kurepa tree}}的存在性

下述的問題不相容於選擇公理，故不與ZFC相容；然而這些問題很可能獨立於ZF；換句話說下述的問題不能在ZF中證明，且只有少數的集合論專家期望在ZF中找到這些問題的否證；然而即使ZF是自洽的，也無法以ZF證明下述的問題獨立於ZF：
* [[決定公理]]
* {{link-en|實決定公理|Axiom of real determinacy}}
* {{link-en|AD+|AD+}}

==在物理理論上的應用==
自2000年起，學界開始認為邏輯獨立性在物理基礎上扮演著關鍵角色。<ref>{{citation |last1=Paterek |first1=T. |last2=Kofler |first2=J. |last3=Prevedel |first3=R. |last4=Klimek |first4=P. |last5=Aspelmeyer |first5=M. |last6=Zeilinger |first6=A. |last7=Brukner |first7=Č. |year=2010 |title=Logical independence and quantum randomness |journal=[[New Journal of Physics]] |volume=12 |pages=013019 |arxiv=0811.4542 |bibcode=2010NJPh...12a3019P |doi=10.1088/1367-2630/12/1/013019}}</ref><ref>{{citation |last=Székely |first=Gergely |year=2013 |title=The Existence of Superluminal Particles is Consistent with the Kinematics of Einstein's Special Theory of Relativity |journal=[[Reports on Mathematical Physics]] |volume=72 |issue=2 |pages=133–152 |arxiv=1202.5790 |bibcode=2013RpMP...72..133S |doi=10.1016/S0034-4877(13)00021-9}}</ref>

==參見==
*[[ZFC系統無法確定的命題列表]]
*[[幾何]]等領域的[[平行公設]]

==註解==
{{reflist}}

==參考資料==
* {{Citation | last1=Mendelson | first1=Elliott | title=An Introduction to Mathematical Logic | publisher=[[Chapman & Hall]] | location=London | edition=4th | isbn=978-0-412-80830-2 | year=1997}}
* {{Citation | last1=Monk | first1=J. Donald | title=Mathematical Logic | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-90170-1 | year=1976 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/mathematicallogi00jdon }}
* {{Citation | last=Stabler |first=Edward Russell |title=An introduction to mathematical thought |publisher=[[Addison-Wesley]] |location=Reading, Massachusetts |year=1948}}

{{數理邏輯}}

[[Category:數理邏輯]]
[[Category:证明论]]