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[[数学]]中，'''猴鞍面'''（monkey saddle）是方程
:<math> z = x^3 - 3xy^2</math>
定义的[[曲面]]。用[[圆柱坐标系]]也可写作
:<math>z = \rho^3 \cos(3\varphi).</math>

[[Image:Monkey Saddle Surface (Shaded).png|thumb|猴鞍面|300px]]

猴鞍面属于鞍面，名称来源于这样的观察：给猴子准备的鞍需要两个凹陷来放腿，一个凹陷来放尾巴。猴鞍面的原点对应<math>z(x,\ y)</math>在原点的退化[[临界点 (数学)|临界点]]。猴鞍面有一个孤立的[[脐点]]，原点处的[[高斯曲率]]为零，而在所有其他点的曲率都是严格负的。
可通过[[复数 (数学)|复数]]将直角坐标与[[圆柱坐标]]联系起来：

:<math> z = x^3 - 3xy^2 = \operatorname{Re} [(x+iy)^3] = \operatorname{Re}[r^3 e^{3i\varphi}] = r^3\cos(3\varphi).</math>

将圆柱方程中的3替换为任意整数<math>k \geq 1</math>，就可以得到具有''k''凹陷的鞍面。
<ref>Peckham, S.D. (2011) Monkey, starfish and octopus saddles, ''Proceedings of Geomorphometry 2011'', Redlands, CA, pp. 31-34, https://www.researchgate.net/publication/256808897_Monkey_Starfish_and_Octopus_Saddles</ref>

猴鞍面的另一个方向是由<math>x+y+z+xyz=0</math>定义的Smelt花瓣，因此猴鞍面的''z''轴对应Smelt花瓣中的<math>(1,1,1)</math>方向。<ref>{{Cite book|last=J.|first=Rimrott, F. P.|title=Introductory Attitude Dynamics|date=1989|publisher=Springer New York|isbn=9781461235026|location=New York, NY|pages=26|oclc=852789976}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Chesser|first=H.|last2=Rimrott|first2=F.P.J.|date=1985|editor-last=Rasmussen|editor-first=H.|title=Magnus Triangle and Smelt Petal|journal=CANCAM '85: Proceedings, Tenth Canadian Congress of Applied Mechanics, June 2-7, 1985, the University of Western Ontario, London, Ontario, Canada}}</ref>

[[File:Shape_petal.svg|alt=Shape petal|thumb|300x300px|Smelt花瓣：<math>x+y+z+xzy=0</math>]]

== 马鞍面 ==
马鞍面（horse saddle）指<math>z(x,\ y)</math>在x-y平面的每个方向上都有一个[[鞍点]]、局部最小值或最大值的普通鞍面。相比之下，猴鞍面在每个方向上都有静止的[[拐点]]。

==参考文献==
<references />

==外部链接==
* {{MathWorld | urlname=MonkeySaddle | title=Monkey Saddle}}

[[Category:多变量微积分]]
[[Category:代数曲面]]