查看“︁狄拉克旋量”︁的源代码

{{cleanup-jargon|time=2015-03-18T00:45:44+00:00}}
{{NoteTA
|G1=物理學
|G2=Math
}}
[[量子場論]]中，'''狄拉克旋量'''（{{lang-en|Dirac spinor}}）為一{{link-en|雙旋量|bispinor}}，出現在自由粒子[[狄拉克方程式]]的[[平面波]]解中：
:<math>\psi = \omega_\vec{p}\;e^{-ipx} \;</math>；
自由粒子的狄拉克方程式為：
:<math>(i\gamma^\mu\partial_{\mu}-m)\psi=0 \;,</math>
其中（採用[[自然單位制]]<math>\scriptstyle c \,=\, \hbar \,=\, 1</math>）
:<math>\scriptstyle\psi</math>為[[相對論|相對論性]][[自旋-1/2|自旋½]][[場 (物理)|場]]，
:<math>\scriptstyle\omega_\vec{p}</math>是狄拉克[[旋量]]，與[[波向量]]為<math>\scriptstyle\vec{p}</math>的平面波有關，
:<math>\scriptstyle px \;\equiv\; p_\mu x^\mu</math>,
:<math>\scriptstyle p^\mu \;=\; \{\pm\sqrt{m^2+\vec{p}^2},\, \vec{p}\}</math>為平面波的四維波向量，而<math>\scriptstyle\vec{p}</math>為任意的，
:<math>\scriptstyle x^\mu</math>為一給定[[慣性系]]中的[[四維空間]][[座標]]。

正能量解所對應的狄拉克旋量為
:<math>
\omega_\vec{p} =
\begin{bmatrix}
\phi \\ \frac{\vec{\sigma}\vec{p}}{E_{\vec{p}} + m} \phi
\end{bmatrix} \;,
</math>
其中
:<math>\scriptstyle\phi</math>為任意的雙旋量，
:<math>\scriptstyle\vec{\sigma}</math>為[[包立矩陣]]，
:<math>\scriptstyle E_\vec{p}</math>為正根號<math>\scriptstyle E_{\vec{p}} \;=\; +\sqrt{m^2+\vec{p}^2}</math>

== 源自狄拉克方程式的推導 ==
[[狄拉克方程式]]的形式為：
:<math>\left(-i \vec{\alpha} \cdot \vec{\nabla} + \beta m \right) \psi = i \frac{\partial \psi}{\partial t} \,</math>

推導出4-[[旋量]]<math>\scriptstyle\omega</math>前，可先注意矩陣''α''與''β''的值：
:<math>\vec\alpha = \begin{bmatrix} \mathbf{0} & \vec{\sigma} \\ \vec{\sigma} & \mathbf{0} \end{bmatrix} \quad \quad \beta = \begin{bmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{0} \\ \mathbf{0} & -\mathbf{I} \end{bmatrix} \,</math>
此二為4×4矩陣，與[[狄拉克矩陣]]有關。其中'''0'''與'''I'''為2×2矩陣。

下一步則是找出下式的解：
:<math>\psi = \omega e^{-i p \cdot x}</math>,
此處可將ω分為兩個2-旋量：
:<math>\omega = \begin{bmatrix}  \phi \\ \chi \end{bmatrix} \,</math>.

===結果===
將上方資料帶入狄拉克方程式，可得
:<math>E \begin{bmatrix}  \phi \\ \chi \end{bmatrix} = 
\begin{bmatrix} m \mathbf{I} & \vec{\sigma}\vec{p} \\ \vec{\sigma}\vec{p} & -m \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}  \phi \\ \chi \end{bmatrix} \,</math>.

此矩陣方程式實際上是為兩條[[聯立方程式]]：
:<math>\left(E - m \right) \phi = \left(\vec{\sigma}\vec{p} \right) \chi \,</math>
:<math>\left(E + m \right) \chi = \left(\vec{\sigma}\vec{p} \right) \phi \,</math>

對第二條方程式求<math>\scriptstyle \chi \,</math>的解，可得
:<math>\omega = \begin{bmatrix}  \phi \\ \chi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  \phi \\ \frac{\vec{\sigma}\vec{p}}{E + m} \phi \end{bmatrix} \,</math>.

對第一條方程式求<math>\phi \,</math>的解，可得
:<math>\omega = \begin{bmatrix}  \phi \\ \chi \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}  - \frac{\vec{\sigma}\vec{p}}{-E + m} \chi \\ \chi \end{bmatrix} \,</math>.

此解可展示[[粒子]]與[[反粒子]]的關係。

== 細節 ==
===2-旋量===
2-旋量最常見的定義為：
:<math>\phi^1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \quad \quad \phi^2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \,</math>

與
:<math>\chi^1 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \quad \quad \chi^2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \,</math>

===包立矩陣===
[[包立矩陣]]
:<math>
\sigma_1 = 
\begin{bmatrix}
0&1\\
1&0
\end{bmatrix}
\quad \quad
\sigma_2 = 
\begin{bmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{bmatrix}
\quad \quad
\sigma_3 = 
\begin{bmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{bmatrix}
</math>

利用前述知識可計算出：
:<math>\vec{\sigma}\cdot\vec{p} = \sigma_1 p_1 + \sigma_2 p_2 + \sigma_3 p_3 =
\begin{bmatrix} 
 p_3         & p_1 - i p_2 \\
 p_1 + i p_2 & - p_3
\end{bmatrix}</math>

===4-旋量===
====粒子====
粒子具有正能量。選擇4-旋量ω的歸一化使得<math>\scriptstyle\omega^\dagger \omega \;=\; 2 E \,</math>。這些旋量標記為''u''：
:<math> u(\vec{p}, s) = \sqrt{E+m} 
\begin{bmatrix} 
 \phi^{(s)}\\ 
 \frac{\vec{\sigma} \cdot \vec{p} }{E+m} \phi^{(s)}
\end{bmatrix} \,</math>
其中''s'' = 1或2（[[自旋]]向上或向下）。

明確地寫，其為
:<math>u(\vec{p}, 1) = \sqrt{E+m} \begin{bmatrix}
1\\
0\\
\frac{p_3}{E+m} \\
\frac{p_1 + i p_2}{E+m}
\end{bmatrix} \quad \mathrm{and} \quad
u(\vec{p}, 2) = \sqrt{E+m} \begin{bmatrix}
0\\
1\\
\frac{p_1 - i p_2}{E+m} \\
\frac{-p_3}{E+m} 
\end{bmatrix} </math>

===反粒子===
具有「正」能量<math>\scriptstyle E</math>的反粒子可視為具有「負」能量而逆著時間行進的粒子；因此，將粒子案例的<math>\scriptstyle E</math>與<math>\scriptstyle \vec{p}</math>增加一負號可得到反粒子的結果：

:<math> v(\vec{p},s) = \sqrt{E+m} 
\begin{bmatrix} 
\frac{\vec{\sigma} \cdot \vec{p} }{E+m} \chi^{(s)}\\
\chi^{(s)}
\end{bmatrix} \,</math>

在這裡我們選擇了<math>\scriptstyle\chi</math>解。明確地寫，其為
:<math>v(\vec{p}, 1) = \sqrt{E+m} \begin{bmatrix}
\frac{p_1 - i p_2}{E+m} \\
\frac{-p_3}{E+m} \\
0\\
1
\end{bmatrix} \quad \mathrm{and} \quad
v(\vec{p}, 2) = \sqrt{E+m} \begin{bmatrix}
\frac{p_3}{E+m} \\
\frac{p_1 + i p_2}{E+m} \\
1\\
0\\
\end{bmatrix} </math>

== 相關條目 ==
*[[旋量]]
*[[狄拉克方程]]
*[[旋量群]]

== 參考文獻 ==
{{reflist}}
* {{en}}{{cite book
  | last = Aitchison
  | first = I.J.R.
  | authorlink =
  |author2=A.J.G. Hey
  | title = Gauge Theories in Particle Physics (3rd ed.)
  | publisher = Institute of Physics Publishing
  |date=September 2002
  | location =
  | pages =
  | url =
  | doi =
  | isbn = 0-7503-0864-8 }}
* {{en}}{{Cite web
  | first = David
  | last = Miller
  | title = Relativistic Quantum Mechanics (RQM)
  | year = 2008
  | pages = 26–37
  | url = http://www.physics.gla.ac.uk/~dmiller/lectures/RQM_2008.pdf
  | postscript = <!--None-->
  | access-date = 2015-04-09
  | archive-date = 2020-12-19
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  }}
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