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在[[量子場論]]中，'''狄拉克場'''用於描述[[自旋]]-1/2的[[費米子]]，如：[[電子]]、[[質子]]、[[夸克]]等粒子。並且狄拉克場遵守[[反正則對易關係]]，數學上可以表示成有四的分量的[[旋量]]或一對兩個分量的外爾旋量。

雖然都用於描述[[自旋]]-1/2的[[費米子]]，其與[[馬約拉納方程式|馬約拉那場]]不同。狄拉克場描述的粒子存在[[反粒子]]，然而馬約拉那場描述的粒子即為自身的反粒子。

== 基本性質 ==
{{main|格拉斯曼數}}
自由（沒有交互作用）的狄拉克場遵守[[反正則對易關係]]，數學上使用到[[反交換子]]<math>\{a,b\} = ab+ba</math>而非[[交換子]]<math>[a,b] = ab-ba</math>。其中的反對易關係就暗示了[[費米-狄拉克統計]]，並且也能推導出[[泡利不相容原理]]：兩個相同的費米子不能處於相同的量子態。

== 數學公式 ==
狄拉克場表示成<math>\psi(x)</math>。其自由場的運動方程式為[[狄拉克方程式]]：

:<math>(i\gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m) \psi(x) = 0.\,</math>

其中<math>\gamma^{\mu}\,</math>為[[γ矩陣]]（或稱作[[狄拉克矩陣]]），''m''代表質量。這個方程式最簡單的解為[[平面波]]<math>\psi_{1}(x) = u(p)e^{-ip.x}\,</math>和<math>\psi_{2}(x) = v(p)e^{ip.x}\,</math>。平面波組成了一個<math>\psi(x)</math>的傅立葉基底。我們能以此基底作展開，如下：

<math>\psi(x) = \int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2E_{p}}}\sum_{s} \left(
a^{s}_{\textbf{p}}u^{s}(p)e^{-ip \cdot x}+b^{s \dagger}_{\textbf{p}}v^{s}(p)e^{ip \cdot x}\right).\,</math>

<math>a\,</math>、<math>b\,</math>標示了旋量的指標，<math>s\,</math>表示自旋，s = +1/2或s=−1/2。前面係數中的能量是為了勞倫茲積分的[[勞倫字協變性|協變性]]。由於<math>\psi(x)\,</math>可以視作一個[[算符]]，每個傅立葉基底的係數也必須是算符。因此，<math>a^{s}_{\textbf{p}}</math>以及<math>b^{s \dagger}_{\textbf{p}}</math>為作用子。這些算符的性質可以從這些場的性質中得知。
<math>\psi(x)\,</math>和<math>\psi(y)^{\dagger}</math>遵守反對易關係：

:<math>\{\psi_a(\textbf{x}),\psi_b^{\dagger}(\textbf{y})\} = \delta^{(3)}(\textbf{x}-\textbf{y})\delta_{ab},</math>

藉由將<math>\psi(x)\,</math>和<math>\psi(y)\,</math>作展開，我們可以得到係數間的反對易關係：

:<math>\{a^{r}_{\textbf{p}},a^{s \dagger}_{\textbf{q}}\} = \{b^{r}_{\textbf{p}},b^{s \dagger}_{\textbf{q}}\}=(2 \pi)^{3} \delta^{3} (\textbf{p}-\textbf{q}) \delta^{rs},\,</math>

於非相對論系統中的創造與湮滅算符相類似，從這個代數關係得到了這樣的物理詮釋：
<math>a^{s \dagger}_{\textbf{p}}</math>產生一個動量<math>\textbf{p}\,</math>自旋為s的粒子，而<math>b^{r \dagger}_{\textbf{q}}</math>產生一個動量<math>\textbf{q}\,</math>自旋為r的反粒子。因此，廣義的<math>\psi(x)\,</math>現在看作產生所有可能動量、自旋之粒子的總合，而其共軛<math>\bar{\psi} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \psi^{\dagger} \gamma^{0}</math>與其相反，看作湮滅所有動量、自旋之反粒子的總合。

有了對於場及其共軛的瞭解，我們便能試著架構出[[勞侖茲協變性]]的場。最單純的量為<math>\overline{\psi}\psi\,</math>，當中<math>\bar{\psi} = \psi^{\dagger} \gamma^{0}</math>。其他可能的勞侖茲協變性量<math>\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi</math>。

由於這些量的線性組和同樣符合勞侖茲協變性，很自然地得到了狄拉克場的[[拉格朗日量|拉格朗日密度]]，並且其[[歐拉－拉格朗日方程]]必須回到[[狄拉克方程式]]。

:<math>\mathcal{L}_{D} = \bar{\psi}(i\gamma^{\mu} \partial_{\mu} - m)\psi\,</math>

這樣的表示將指標隱藏了起來。完整的表示如下：

:<math>\mathcal{L}_{D} = \bar{\psi}_{a}(i\gamma^{\mu}_{ab} \partial_{\mu} - m\mathbb{I}_{ab})\psi_{b}\,</math>

由<math>\psi(x)</math>，我們可以建構出狄拉克場的費曼[[傳播子]]：

:<math> D_{F}(x-y) = \langle 0| T(\psi(x) \bar{\psi}(y))| 0 \rangle </math>

我們定義狄拉克場的時間排序如下，當中的負號來自於其反對易關係的性質：

:<math> T(\psi(x) \bar{\psi}(y)) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \theta(x^{0}-y^{0}) \psi(x) \bar{\psi}(y)  - \theta(y^{0}-x^{0})\bar\psi(y) \psi(x) </math>。

對上列的式子作平面波的展開，得到：

:<math> D_{F}(x-y) = \int \frac{d^{4}p}{(2\pi)^{4}} \frac{i(p\!\!\!/ + m)}{p^{2}-m^{2}+i \epsilon}e^{-ip \cdot (x-y)}</math>

在此我們用上了[[費曼斜線標記]]。這個式子相當合理，因為係數

:<math>\frac{i(p\!\!\!/ + m)}{p^{2}-m^{2}}</math> 

即為狄拉克方程式中作用在<math>\psi(x)\,</math>的相反算符。
[[純量場]]的費曼傳播子也具有相同的性質。由於所有合理的觀測量（例如能量、電荷、粒子數等）都由偶數的狄拉克場所構成，兩個觀測量的對易關係在[[光錐]]外為零。就如同我們從[[量子力學]]中學習到的，兩的可交換的觀察量可以同時被觀測。因此，我們確定了狄拉克場的[[勞侖茲協變性]]，並維持了[[因果律]]。

而更複雜、包含交互作用的場論（[[湯川理論]]（Yukawa theory）或[[量子電動力學]]）同樣可以[[微擾理論 (量子力學)|微擾]]或非為擾方法作分析。

在粒子物理[[標準模型]]中，狄拉克場扮演很重要的要素。

== 參閱 ==
*[[狄拉克方程式]]
*[[狄拉克旋量]]

== 參考資料 ==
* Edwards, D. (1981). ''The Mathematical Foundations of Quantum Field Theory: Fermions, Gauge Fields, and  Super-symmetry, Part I: Lattice Field Theories,'' International J. of Theor. Phys., Vol. 20, No. 7.
* Peskin, M and Schroeder, D. (1995). ''An Introduction to Quantum Field Theory,'' Westview Press. (See pages 35-63.)
* Srednicki, Mark (2007). ''[http://www.physics.ucsb.edu/~mark/qft.html Quantum Field Theory] {{Wayback|url=http://www.physics.ucsb.edu/~mark/qft.html |date=20110725093208 }}'', Cambridge University Press, ISBN 978-0521864497.
* Weinberg, Steven (1995). ''The Quantum Theory of Fields,'' (3 volumes) Cambridge University Press.

[[Category:量子場論]]
[[Category:旋量]]