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[[数学]]中，'''狄利克雷问题'''（{{lang|en|Dirichlet problem}}）是寻找一个[[函数]]，使其为给定区域内一个指定的[[偏微分方程]]（PDE）的解，且在边界上取预定值。

对许多偏微分方程，狄利克雷问题都可解，但最初是对[[拉普拉斯方程]]提出来的。在这种情形下问题可如下表述：

:给定定义在'''R'''<sup>''n''</sup>中一个区域的边界上一个函数''f''，是否存在惟一[[连续函数]]''u''在内部两次连续可微，在边界上连续，使得''u''在内部[[调和函数|调和]]并在边界上''u'' = ''f''？

这个条件称为[[狄利克雷边界条件]]。最主要的问题是证明解的存在性，因唯一性可利用{{le|极大值原理||Maximum principle}}证明。

== 历史 ==
'''狄利克雷问题'''以[[狄利克雷|勒热纳·狄利克雷]]命名，他利用变分方法提出了一个解决办法，这便是[[狄利克雷原理]]。唯一解的存在性由物理分析似乎很有理：边界上任何电荷分布，由[[静电学]]定律，将确定一个[[电势]]做为一个解。

但[[魏尔斯特拉斯]]发现了狄利克雷证明的一个漏洞，存在性严格的证明直到1900年才由[[大卫·希尔伯特|希尔伯特]]给出。结论是解的存在性微妙地依赖于边界与预定值的光滑性。

== 一般解 ==
对具有足够光滑边界<math>\partial D</math>一个区域<math>D</math>，狄利克雷问题的一般解由

:<math>u(x)=\int_{\partial D} \nu(s) \frac{\partial G(x,s)}{\partial n} ds\,</math>

给出，这里<math>G(x,y)</math>是这个偏微分方程的[[格林函数]]，而

:<math>\frac{\partial G(x,s)}{\partial n} = \widehat{n} \cdot \nabla_s G (x,s) = \sum_i n_i \frac{\partial G(x,s)}{\partial s_i}\,</math>

是格林函数沿着内单位法向<math>\widehat{n}</math>的导数。在边界上对[[测度]]<math>ds</math>进行积分。函数<math>\nu(s)</math>由第二类{{le|弗里德霍姆积分方程|Fredholm integral equation}}的惟一解给出

:<math>f(x) = -\frac{\nu(x)}{2} + \int_{\partial D} \nu(s) \frac{\partial G(x,s)}{\partial n} ds.\,</math>

上一个积分中的格林函数在边界上为零：

:<math>G(x,s)=0</math>对<math>s\in \partial D</math>与<math>x\in D</math>。

这样的格林函数通常是自由域格林函数与一个微分方程的调和解之和。

=== 存在性 ===
调和函数的狄利克雷问题总有解，当边界足够光滑且<math>f(s)</math>连续则解是惟一的。更准确地说，当

:<math>\partial D \in C^{(1,\alpha)},\,</math>对<math>0<\alpha,\,</math>

时有解。这里<math>C^{(1,\alpha)}</math>表示[[赫尔德条件]]。

== 例子：二维单位圆盘 ==
在一些简单情形狄利克雷问题可以明确地解出来。例如对'''R'''<sup>2</sup>中单位圆盘的狄利克雷问题的解由[[泊松积分公式]]给出。

如果<math>f</math>是单位圆盘<math>D</math>的边界<math>\partial D</math>上一个连续函数，则狄利克雷问题的解<math>u(z)</math>由积分给出：

:{|border="0"
|-
|rowspan=2|<math>u(z) = \begin{cases} \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} f(e^{i\psi})
\frac {1-\vert z \vert ^2}{\vert z-e^{i\psi}\vert ^2} d \psi ,\\
 f(z) ,\end{cases}</math>
| 如果<math>z\in D,\,</math>
|-
| 如果<math> z\in \partial D.\,</math>
|}

解<math>u</math>在闭单位圆盘<math>\bar{D}</math>上连续在<math>D</math>内调和。

被积函数称为[[积分变换|泊松核]]；这个解由二维格林函数导出：

:<math>G(z,x) = -\frac{1}{2\pi} \log \vert z-x\vert + \gamma(z,x)</math>

这里<math>\gamma(z,x)</math>调和

:<math>\Delta_x \gamma(z,x)=0,\,</math>

并使得对<math>x\in \partial D</math>有<math>G(z,x)=0</math>。

==推广==
狄利克雷问题是典型的[[椭圆型微分方程]]、[[位势论]]和[[拉普拉斯方程]]。其他例子包括{{le|双调和方程|Biharmonic equation}}以及[[弹性理论]]中相关方程。

狄利克雷问题是在边界上给出信息的偏微分方程问题中一类，其他类型包括[[诺伊曼问题]]和[[柯西问题]]。

==参考文献==
* {{springer|author=A. Yanushauskas|id=d/d032910|title=Dirichlet problem}}
* S. G. Krantz, ''The Dirichlet Problem.''  §7.3.3 in ''Handbook of Complex Variables''. Boston, MA: Birkhäuser, p. 93, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.
* S. Axler, P. Gorkin, K. Voss, ''[http://www.ams.org/mcom/2004-73-246/S0025-5718-03-01574-6/home.html The Dirichlet problem on quadratic surfaces] {{Wayback|url=http://www.ams.org/mcom/2004-73-246/S0025-5718-03-01574-6/home.html |date=20081013013345 }}'' Mathematics of Computation '''73''' (2004), 637-651.

== 外部链接 ==
* {{MathWorld | urlname=DirichletProblem | title=Dirichlet Problem}}
* [https://web.archive.org/web/20130407080705/http://math.fullerton.edu/Mathews/c2003/DirichletProblemMod.html Dirichlet Problem Module by John H. Mathews]

[[Category:偏微分方程|D]]
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