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[[file:Dirichlet kernel anime.gif|thumb|300px|前几个狄利克雷核的限制于一个周期<math>[-L,L],~L=\pi</math>的绘图，展示了它们收敛于{{en-link|狄拉克采样函数|Dirac comb}}中的一个[[狄拉克δ函数]]]]
[[File:Dirichlet kernels.svg|thumb|300px|前几个狄利克雷核的限制于一个周期（<math>2 \pi</math>）的绘图]]
在[[数学分析]]中，'''狄利克雷核'''得名自[[約翰·彼得·狄利克雷]]，它是指[[函数]]列：

:<math>D_n(x)=\sum_{k=-n}^n
e^{ikx}=1+2\sum_{k=1}^n\cos(kx)=\frac{\sin\left(\left(n +\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}.</math>

这里的{{mvar|n}}是任何[[非负整数]]。这个核函数的周期是<math>2\pi</math>。

==应用==

狄利克雷核的主要应用是在[[傅里叶级数]]中。{{math|''D<sub>n</sub>''(''x'')}}与任何以2{{pi}}为[[周期函数|周期]]的函数{{mvar|f}}的[[卷积]]，是{{mvar|f}}的第{{mvar|n}}阶傅里叶级数逼近，也就是说：

:<math>\begin{align}
(D_n*f)(x) &= \int_{-\pi}^\pi f(y)D_n(x-y)\,dy =\int_{-\pi}^\pi f(y) \left( \sum_{k=-n}^n e^{ik(x-y)} \right) \,dy = \int_{-\pi}^\pi \left( \sum_{k=-n}^n f(y)e^{-iky} \right) e^{ikx} \,dy\\
&=2\pi\sum_{k=-n}^n \hat{f}(k)e^{ikx}
\end{align}</math>
其中

:<math>\hat{f}(k)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)e^{-ikx}\,dx</math>
是<math>f</math>的第<math>k</math>个傅里叶系数。需要特别注意，在傅里叶级数上下文中采用的卷积定义，有时会加上了特有的系数<math display="inline">\frac{1}{2\pi}</math>，从而将上式表达为：
:<math>(D_n*f)(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y)D_n(x-y)\,dy=\sum_{k=-n}^n \hat{f}(k)e^{ikx}</math>

==核的''L<sup>1</sup>''范数==
为了研究傅里叶级数的收敛性质，只需研究相应的狄利克雷核的性质。狄利克雷核的一个重要特征，是当''n''趋于正[[无穷大|无穷]]时，''D<sub>n</sub>''的[[Lp空间|''L''<sup>1</sup>]][[范数]]也趋于正无穷，并且有：

:<math>\| D_n \| _{L^1} = \Omega(\log n)</math>

狄利克雷核的缺乏[[一致收敛]]性质，是导致很多傅里叶级数发散的原因。比如，运用狄利克雷核与[[一致有界原理]]，可以证明连续函数的傅里叶级数甚至不一定[[逐点收敛]]。参见{{en-link|傅里叶级数的收敛|Convergence of Fourier series}}。

==与周期狄拉克δ函数的关系==
狄利克雷核是一个周期函数，它在极限情况下会变成像梳子一样的{{en-link|狄拉克采样函数|Dirac comb}}，即周期[[狄拉克δ函数]]：
:<math> \sum_{m=-\infty}^{\infty} e^{\pm i \omega m T} = \frac{2 \pi}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\omega-2\pi k/T) = \frac{1}{T} \sum_{k=-\infty}^{\infty} \delta(\xi- k/T) </math> 
它采用了角频率<math>\omega=2 \pi \xi</math>。

这可以从狄利克雷核在正向和逆向的[[傅里叶变换]]下保持自共轭性中推导出来：
:<math>\mathcal{F}\left[ D_n(2 \pi x) \right](\xi) = \mathcal{F}^{-1}\left[ D_n(2 \pi x) \right](\xi) =  \int_{-\infty}^{\infty} D_n(2 \pi x) e^{\pm  i 2\pi \xi x} dx = \sum_{k=-n}^{+n} \delta(\xi-k) \equiv \mathrm{comb}_n(\xi)</math>
:<math>\mathcal{F}\left[ \mathrm{comb}_n \right](x) = \mathcal{F}^{-1}\left[ \mathrm{comb}_n \right](x) = \int_{-\infty}^{\infty} \mathrm{comb}_n(\xi) e^{ \pm i 2 \pi \xi x } d\xi = D_n(2 \pi x)</math>
而<math>\mathrm{comb}_n(x)</math>在<math>n \rightarrow \infty</math>时成为了周期<math>T=1</math>的{{en-link|狄拉克采样函数|Dirac comb}}<math>\, \operatorname{\text{Ш}}</math>，它在傅里叶变换下保持不变：<math display="inline">\mathcal{F}[\operatorname{\text{Ш}}]= \operatorname{\text{Ш}}</math>。因此<math>D_n(2 \pi x)</math>在<math>n \rightarrow \infty</math>时也必定收敛为<math>\, \operatorname{\text{Ш}}</math>。

从另一个角度来说，[[狄拉克δ函数]]并不是严格意义上的函数，而更普遍的说是一个“[[广义函数]]”，或者说“分布”。将∆(x)视为是周期为2&pi;的[[卷积]]运算的[[单位元]]，即对于2&pi;为周期的函数''f''，有：

:<math>f*( \Delta)=f </math>

这个“函数”的[[傅立叶级数]]为：

:<math>\Delta(x)\sim\sum_{k=-\infty}^\infty e^{ikx}= \left(1 + 2\sum_{k=1}^\infty \cos(kx)\right).</math>

于是，作为此级数的一个部分和，狄利克雷核可以看作“{{en-link|逼近单位元|Approximate identity}}”。然而，它甚至不是“正元素”的逼近单位元，因此会有逐点收敛失败的情况。

==三角恒等式的证明==

上文中的三角恒等式

:<math>\sum_{k=-n}^n e^{ikx}
=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)}</math>

可以用[[等比数列]]的求和公式得到：首先

:<math>\sum_{k=0}^n a r^k=a\frac{1-r^{n+1}}{1-r}.</math>

因此有：

:<math>\sum_{k=-n}^n r^k=r^{-n}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r}.</math>

在式中将分子和分母各乘 ''r''<sup>&minus;1/2</sup>，便有：

:<math>\frac{r^{-n-1/2}}{r^{-1/2}}\cdot\frac{1-r^{2n+1}}{1-r} =\frac{r^{-n-1/2}-r^{n+1/2}}{r^{-1/2}-r^{1/2}}.</math>

当''r'' = ''e''<sup>''ix''</sup> 时就有：

:<math>\sum_{k=-n}^n e^{ikx}=\frac{e^{-(n+1/2)ix}-e^{(n+1/2)ix}}{e^{-ix/2}-e^{ix/2}} =\frac{-2i\sin((n+1/2)x)}{-2i\sin(x/2)}</math>

等式当 <math>e^{ix}\neq 1</math> 时，即对于不是<math>2\pi</math>整数倍的''x'' 成立。

对于为<math>2\pi</math>整数倍的''x''，由于 <math>\frac{\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)}</math> 在对应点的极限是2n+1
:<math>\lim\limits_{x\to 2k\pi} \frac{\sin((n+1/2)x)}{\sin(x/2)} = 2n+1</math>

因此可以将表达式延伸为连续函数，使得等式对任意''x''都成立。

== 狄利克雷核的性质==

* 狄利克雷核是一个[[三角多项式]]，因此是无穷阶可导的周期函数；
* 狄利克雷核是[[偶函数]]；
* 狄利克雷核的[[平均值]]是1；
* 在正无穷处的平均值为：
:<math>\|D_n\|_1=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} |D_n(t)| d t =\frac4{\pi^2}\ln n+O(1)</math>

==来源==
* Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: ''Real Analysis''. ClassicalRealAnalysis.com 1996, {{ISBN|0-13-458886-X}}, S.620 ([https://books.google.com/books?id=1WY6u0C_jEsC vollständige Online-Version (Google Books)])
* Podkorytov, A. N. (1988), "Asymptotic behavior of the Dirichlet kernel of Fourier sums with respect to a polygon". ''Journal of Soviet Mathematics'', 42(2): 1640–1646. doi: 10.1007/BF01665052
* [[Howard Levi|Levi, H.]] (1974), "A geometric construction of the Dirichlet kernel". ''Transactions of the New York Academy of Sciences'', 36: 640–643. doi: 10.1111/j.2164-0947.1974.tb03023.x
* {{springer|title=Dirichlet kernel|id=p/d032880}}
* [http://planetmath.org/encyclopedia/DirichletKernel.html Dirichlet-Kernel]{{Dead link}} at [[PlanetMath]]{{dead link|date=December 2016 |bot=InternetArchiveBot |fix-attempted=yes }}

[[category:数学分析]]

[[Category:逼近理论]]
[[Category:傅里叶级数]]