查看“︁狄利克雷摺積”︁的源代码

{{noteTA
|G1=Math
}}
在[[算術函數|算術函數集]]上，可以定義一種[[二元運算]]，使得取這種運算為乘法，取普通函數加法為加法，使得算術函數集為一個交換[[環 (代数)|環]]。其中一種這樣的運算便是'''狄利克雷摺積'''。它和一般的[[卷积]]有不少相類之處。

對於算術函數<math>f,g</math>，定義其狄利克雷摺積<math>(f * g)(n) = \sum_{d|n} f(d) g(\frac{n}{d})</math>。

取狄利克雷摺積為運算，[[積性函數]]集是算術函數集的子[[群]]。

==運算==
*[[交換律]]<math>f * g = g * f</math>
*[[結合律]]<math>(f * g) * h = f * (g * h)</math>
*[[分配律]]<math>f * (g + h) = f * g + f * h = (g + h) * f</math>
*存在單位函數ε使得<math>f = f * \epsilon=\epsilon * f</math>。ε(''n'')的值為1若''n''=1，否則ε(''n'')=0。
* 對於任意算術函數<math>f</math>，若<math>f(1)</math>不等於0，都有唯一的[[逆函數]]<math>f^{-1}</math>，使得<math>f * f^{-1} = \epsilon</math>。

<math>f^{-1}</math>的值如下：
: <math>f^{-1}(1)= \frac{1}{f(1)}</math>
: 對於<math>n>1</math>，<math>f^{-1}(n)= \frac{-1}{f(1)} \sum_{d|n , n \ne d} f(\frac{n}{d}) f^{-1}(d)</math>

[[默比乌斯函数]]μ的逆函數為（一般意義上的）1，即對於<math>n \ne 1</math>，<math>\sum_{d|n} \mu(d) \times 1 = 0</math>。這是[[默比乌斯反演公式]]的原理。

狄利克雷摺積得名於數學家[[約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷]]。1857年[[约瑟夫·刘维尔]]曾發表了許多包含這個運算的恆等式。將它視為二元運算這個觀點由[[埃里克·坦普爾·貝爾]]和M.奇波拉1915年提出。

==導數==
若定義<math>f</math>的「導數」<math>f'(n) = f(n) \log(n)</math>，可以發現這個運算和[[連續]][[實數|實]][[函數]]的[[導數]]有不少相似的地方：

* <math>(f+g)' = f' + g'</math>
* <math>(f*g)' = f*g' + f'*g</math>
* <math>(f^{-1})' = \frac{-f'}{f*f}</math>

==級數==

對於算術函數<math>f</math>，定義其[[狄利克雷級數]]

:<math>DG(f;s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}</math>

對於一些算術函數的狄利克雷級數，它們的積，跟那些算術函數的狄利克雷摺積的狄利克雷級數是相等的：

:<math>DG(f;s) DG(g;s) = DG(f*g;s)\,</math>

這跟[[卷积定理]]很相似。

定義<math>f</math>的[[貝爾級數]]
:<math>f_p(x)=\sum_{n=0}^\infty f(p^n)x^n.</math>

也有類似的關係：
* <math>{(f*g)_p}(x) = f_p(x) \times g_p(x)</math>

==參考==
* Introduction to Analytic Number theory, Tom M. Apostol
* http://eom.springer.de/D/d130150.htm {{Wayback|url=http://eom.springer.de/D/d130150.htm |date=20110113025508 }}
[[Category:算術函數]]
[[Category:二元运算]]
[[Category:双线性算子]]