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{{Otheruses|subject=数学分析中关于傅里叶级数的定理|other=数论中的'''狄利克雷定理'''|狄利克雷定理}}
在[[数学分析]]中，'''狄利克雷定理'''（或'''若尔当—狄利克雷定理''','''狄利克雷条件'''）是关于[[傅里叶级数]][[逐点收敛]]的一个结果。这个定理的最初版本是由[[德国]][[科学家]][[約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷|狄利克雷]]在公元1829年证明的<ref>[[約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷|狄利克雷]], ''Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données'', Journal de Crelle 4 (1829) p. 157-169</ref>。由于当时还没有出现适合的[[积分理论]]，狄利克雷的证明只能适用于足够规则的函数（除了在有限点以外都[[单调函数|单调]]的函数）。

定理的推广版本则是由[[法国]]数学家[[卡米尔·若尔当]]在1881年的证明的，适用于所有局部[[有界变差]]函数<ref>若尔当, ''Sur la série de Fourier'', C. R. Acad. Sci. Paris, 92 p 228-230</ref>。

== 定理的叙述 ==

设 <math>f</math> 为一个在<math>\mathbb{R}</math>上的[[周期函数|周期性]]的[[局部可积函数]]，其周期为<math>2\pi</math>。给定 <math>x_0 \in \mathbb{R}</math>，假设有以下条件成立：
#函数 <math>f</math> 在 <math>x_0</math> 处有[[极限 (数学)|左极限和右极限]]，分别记为 <math>f(x_0^+)</math> 和 <math>f(x_0^-)</math>。
#存在正实数：<math>\alpha > 0</math>，使得以下的两个积分收敛：
:<math>\int_0^\alpha \frac{|f(x_0+t)-f(x_0^+)|}{t} {\mathrm d} t, \qquad
\int_0^\alpha \frac{|f(x_0-t)-f(x_0^-)|}{t} {\mathrm d} t</math>

那么，函数 <math>f</math> 的傅里叶级数在<math>x_0</math> 处收敛，并且有：
: <math>\lim\limits _n (S_nf(x_0))=\frac12(f(x_0^+)+f(x_0^-))</math>

定理成立的一个特例是当函数 <math>f</math> 在<math>x_0</math> 处有[[导数|左导数和右导数]]的时候，又或者是当函数是分段<math>\mathcal{C}^{1}</math>函数（见[[光滑函数]]）的时候。

== 证明 ==


定理的证明是基于以下事实：傅里叶函数可以通过[[卷积]]以及拥有良好性质的[[三角多项式]]：[[狄利克雷核]]来计算。
:<math>D_n(x)=\sum_{k=-n}^n
e^{ikx}=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)x\right)}{\sin(x/2)},</math>
:<math>S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(t)D_n(x-t) dt=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_n(t)f(x-t) dt</math> 
这里使用的是狄利克雷核的第二种形式：
:<math>S_n(f)(x)=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x-t)}{\sin\frac t 2}  dt</math> 

这种写法接近于使用[[黎曼-勒贝格定理]]所需的条件，唯一需要考虑的地方是函数 <math>\frac{f(x-t)}{\sin(t/2)}</math> 在'''0'''附近并不一定可积。但是由于：
:<math>\tilde{f}(x) = \frac{ f(x^+)+f(x^-)}{2} </math>
存在，可以考虑将区间<math>[ -\pi , 0)</math>上的积分用<math>u = -t</math>换元，这样 <math>S_n(f)(x)</math> 就变成：
:<math>S_n(f)(x) = \int_0^{\pi} 
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)}{\sin\frac t 2}  dt </math>
因此：
:<math>S_n(f)(x)-\tilde{f}(x)=\frac1{2\pi}\int_0^{\pi} 
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)}{\sin\frac t 2}  dt
-\frac{1}{2} \left( f(x^+)+f(x^-) \right)</math>

而由于狄利克雷核在区间<math>[ -\pi, \pi ]</math>上的积分平均值是1，也就是说：
:<math>1 = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} D_n(t) dt=\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin(t/2)} dt = 2 \cdot \frac1{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin(t/2)} dt</math>
:<math>\frac12 = \frac1{2\pi}\int_{0}^{\pi} \frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin(t/2)} dt</math> 
因此：
:<math>\begin{align}
S_n(f)(x)-\tilde{f}(x) &= \frac1{2\pi}\int_0^{\pi} 
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)}{\sin\frac t 2}  dt \\
&- \frac1{2\pi}\int_0^{\pi} \frac{ \sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right)}{\sin\frac t 2} \left( f(x^+)+f(x^-) \right) dt \\
&= \frac1{2\pi}\int_0^{\pi} 
\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)t\right) \frac{f(x+t)+f(x-t)-f(x^+)-f(x^-)}{\sin\frac t 2}  dt
\end{align}</math> 

由条件二，以上的积分中可以使用黎曼-勒贝格定理，因此可以对两边求极限，得到：
:<math> \lim_{n\to \infty} S_n(f)(x) = \tilde{f}(x)</math>

== 参见 ==

* [[傅里叶级数]]
* [[狄利克雷核]]
* [[费耶核]]

== 注释与参考 ==

<references/>

== 参考书籍 ==
*{{en}}{{cite book |title = ''Fourier series and integral transforms'' | author =Allan Pinkus,Samy Zafrany | publisher =Cambridge University Press | year = 1997 | isbn =9780521597715 }}p.46-52.
*{{fr}}{{cite book | title =''Séries de Fourier et ondelettes'' | author = Jean-Pierre Kahane, Pierre-Gilles Lemarié-Rieusset | publisher = Cassini | year = 1998 | isbn = 284225001X }}

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