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{{Otheruses|subject=数论中的定理|other=数学其他领域的'''狄利克雷定理'''|狄利克雷定理 (消歧义)}}
'''狄利克雷定理'''是[[狄利克雷]]于1837年发表的[[数论]]中关于[[质数]]在[[同余#同余类|同余类]]中分布的定理：对于任意[[互质]][[正整数]]对<math>(r,N)</math>，[[模]]<math>N</math>同余<math>r</math>的质数[[集合 (数学)|集合]]<math>\{x|r\equiv x\bmod N; x\ is\ prime\}</math>相对质数集合<math>\{x|x\ is\ prime\}</math>的[[自然密度|密度]]为<math>\frac1{\phi(N)}</math>。

==定理内容==
狄利克雷定理表明：
: 若 <math>r, N</math> 互质，则<math>\lim_{x\to\infty}\frac{\pi(x;N,r)}{\pi(x)}=\frac1{\phi(N)}</math>

: 其中，<math>\phi(N)</math>为[[欧拉函数]]，<math>\pi(x)</math>为质数计数函数，<math>\pi(x;N,r)</math>为模<math>N</math>同余<math>r</math>集合中小于<math>x</math>的质数个数。

===质数在同余类中的分布===
狄利克雷定理揭示了质数在同余类中的分布。

形象地说，在模<math>N</math>同余类中，除去不包含或仅包含有限个质数的同余集合，质数的分布是大致均匀的。

* 以<math>N=6</math>为例：共有<math>[0],[1],[2],[3],[4],[5]</math>共<math>6</math>个模<math>N</math>同余集合，其中同余集合<math>[0], [2], [3], [4]</math>不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合<math>[1], [5]</math>中：
: 在不大于<math>10,000</math>的质数中，质数在<math>[1], [5]</math>中的比率分别为<math>49.67\%</math>和<math>50.16\%</math>；
: 在不大于<math>100,000</math>的质数中，质数在<math>[1], [5]</math>中的比率分别为<math>49.88\%</math>和<math>50.10\%</math>；
: 在不大于<math>1,000,000</math>的质数中，质数在<math>[1], [5]</math>中的比率分别为<math>49.98\%</math>和<math>50.02\%</math>。

* 以<math>N=8</math>为例：共有<math>[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7] </math>共<math>8</math>个模<math>N</math>同余集合，其中同余集合<math>[0], [2], [4], [6]</math>不包含或只含有限个质数，剩下的质数近乎等概率地分布在同余集合<math>[1], [3], [5], [7]</math>中：
: 不大于<math>10,000</math>的质数中，质数在<math>[1], [3], [5], [7]</math>中的比率分别为<math>23.98\%, 25.28\%, 25.53\%</math>和<math>25.12\%</math>；
: 在不大于<math>100,000</math>的质数中，质数在<math>[1], [3], [5], [7]</math>中的比率分别为<math>24.85\%, 25.12\%, 25.01\%</math>和<math>25.01\%</math>；
: 在不大于<math>1,000,000</math>的质数中，质数在<math>[1], [3], [5], [7]</math>中的比率分别为<math>24.91\%, 25.04\%, 25.00\%</math>和<math>25.06\%</math>；

==相關定理==
* [[歐幾里得]]證明了有無限個質數，即有無限多個質數的形式如<math>2n+1</math>。
* 算術級數的質數定理：若<math>a,d</math>互質，則有

: <math>\sum_{p \le x \quad p \equiv a \pmod{d} } 1 \sim \frac{1}{\phi(d)} \frac{x}{\ln(x)} </math>。

其中φ是歐拉函數。取<math>d=2</math>，可得一般的[[質數定理]]。

* [[林尼克定理]]說明了級數中最小的質數的範圍：算術級數<math>a+nd</math>中最小的質數少於<math>cd^L</math>，其中<math>L</math>和<math>c</math>均為常數，但這兩個常數的最小值尚未找到。
* {{link-en|柴伯塔瑞夫密度定理|Chebotarev's density theorem}}是在狄利克雷定理在[[伽羅瓦擴張]]的推廣。

==歷史==
歐拉曾以<math>\sum \frac{1}{p} = \infty</math>，來證明質數有無限個。[[約翰·彼得·狄利克雷]]得以靈感，借助證明<math>\sum_{p \equiv a \pmod{d} } {1/p} = \infty</math>來證明算術級數中有無限個質數。這個定理的證明中引入了[[狄利克雷L函數]]，應用了一些解析數學的技巧，是[[解析數論]]的重要里程碑。
==推廣==

這個定理的一些推廣形式，但是都還只是未被證明的[[猜想]]而已，並不是定理。

* [[布尼亞科夫斯基猜想]]，推廣至>=2次的多項式
* [[狄克森猜想]]，推廣至>=2個多項式
* [[欣策爾假設H]]，上述兩個推廣合併

==參考==
* T. M. Apostol (1976). Introduction to Analytic Number Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90163-9. Chapter 7
[[Category:解析数论]]
[[Category:数学定理|D]]
[[Category:素数]]