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'''狄利克雷函数'''（{{lang-en|Dirichlet function}}）是一个判别自变量是有理数还是无理数的函数。定义在[[实数]]范围上、[[值域]]为 <math>\{0,1\}</math> 的[[函数]]，用 <math>D(x)</math> 或者 <math>\mathbf{1}_{\mathbb Q}(x)</math> 表示。這是一個典型的[[處處不連續函數]]。該函數以[[德國]]數學家[[約翰·彼得·古斯塔夫·勒熱納·狄利克雷]]的名字命名。

狄利克雷函数是一个处处不连续的可测函数，其图像关于 <math>y</math> 轴成[[轴对称]]，是一个[[偶函数]]。它处处不连续、处处[[极限]]不存在、不可[[积分]]。

在數學領域，這是一個[[病态 (数学)|病態函數]]。作为很多事情的反例，这个函数在任意一点都不存在极限，並且以任意有理数为周期的周期函数（有理数相加得有理数，无理数加有理数还是无理数）。该函数[[黎曼积分|黎曼不可积]]，而在其它一些积分中是可积的。

== 定義 ==
在[[实数域|實數域]]上，狄利克雷函数 <math>D(x)</math> 定義為
# 自变量 <math>x</math> 为[[有理数]]时，<math>D(x) = 1</math>；
# 自变量 <math>x</math> 为[[无理数]]时，<math>D(x) = 0</math>。<ref>同濟大學數學系，「高等數學」第七版 上冊，第九頁 例10</ref>

狄利克雷函数也可以表达为一个连续函数序列的双重点极限：

<math>\forall x \in \mathbb R,\quad D(x) = \lim_{k\to\infty}\left(\lim_{j\to\infty}\left(\cos(k!\pi x)\right)^{2j}\right)</math>

其中 <math>k</math> 和 <math>j</math> 为整数。

== 性质 ==
* 定义在整个[[数轴]]上。
* 无法画出图像。
* 以任何正有理数为其[[週期函數|周期]]（从而无最小正周期）。
* 处处无[[極限 (數學)|极限]]、不[[連續函數|连续]]、不[[導數|可导]]。
* 在任何有界区间上黎曼不可积。另一方面也作為反例說明了對於黎曼積分，單調收斂定理不成立。
* 是偶函数。
* 它在 <math>[0,1]</math> 上[[勒贝格可积]]。

== 證明 ==

==== 處處不連續 ====
* 若 <math>y</math> 為有理數則 <math>f(y)=1</math>。為證明函數在 <math>y</math> 處不連續，問題轉化為對任意 <math>\varepsilon</math>，無論 <math>\delta</math> 多麼小，在包含 <math>y</math> 的長度為 <math>\delta</math> 的區間內一點 <math>z</math>，<math>|f(z)-f(y)|\leq\varepsilon</math>。試取 <math>\varepsilon=1/2</math>，由於無理數為實數域上的[[稠密集]]，無論 <math>\delta</math> 取何值，總有 <math>z</math> 滿足 <math>f(z)=0</math>，讓 <math>|f(z)-f(y)|=1>\varepsilon=1/2</math>。

* 若 <math>y</math> 為無理數，同理，因為有理數為實數域上的稠密集，無論 <math>\delta</math> 取何值，總有 <math>z</math> 滿足 <math>f(z)=1</math>，讓 <math>|f(z)-f(y)|=1>\varepsilon=1/2</math>。

== 参考资料 ==
{{reflist}}

[[Category:数学分析]]
[[Category:函数]]